2022高考数学一轮复习课时作业26平面向量的数量积与应用举例文.doc

课时作业26　平面向量的数量积与应用举例
[根底达标]
一、选择题
1．[2022·江西南昌二中期末]向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，假设a与b的夹角为钝角，那么λ的取值范围是(　　)
A．〔－，＋∞ 〕 B．(2，＋∞)
C．〔－，2〕∪(2，＋∞) D．〔－，0〕∪(0，＋∞)
解析：∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是〔－，2〕∪(2，＋∞)．应选C项．
答案：C
2．[2022·黑龙江鹤岗一中月考]△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，M为AB边上的中点，那么·＋·＝(　　)
A．0 B．25
C．50 D．100
解析：解法一　∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2，∴⊥，∴·＝0.又M为AB边上的中点，∴＝，∴·＋·＝＝＝＝50.应选C项．
解法二　如图，＝＋，∵M为AB边上的中点，∴＝＝，∴·＋·＝＝.∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2，∴||＝AB＝10，∴·＋·＝50.应选C项．
解法三　∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2，∴⊥.如图，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，其中＝(0,6)，＝(8,0)，∵M为AB边上的中点，∴＝(4,3)，∴·＋·＝18＋32＝50.应选C项．
答案：C
3．[2022·广西南宁摸底]假设两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，那么向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：结合向量加减法的平行四边形法那么和三角形法那么可知a＋b，a－b分别为以a，b为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的较长边的夹角为，数形结合可知向量a＋b与a－b的夹角为，夹角的余弦值为－.应选B项．
答案：B
4．[2022·辽宁大连期中]O为△ABC的外心，||＝4，||＝2，那么·(＋)＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：∵O是△ABC的外心，∴在上的投影为||＝2，在上的投影为||＝1，∴·(＋)＝·＋·＝2||＋||＝10.应选C项．
答案：C
5．[2022·山西太原期末]平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，假设|a|＝|b|＝2，|c|＝1，那么|a＋b＋c|＝(　　)
A．1 B．2
C. D．5
解析：解法一　∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a·b＝－2，b·c＝a·c＝－1，∴|a＋b＋c|2＝4＋4＋1－4－2－2＝1，∴|a＋b＋c|＝1.应选A项．
解法二　设a＋b＝d，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，∴d＝λc(λ<0)．又|a|＝|b|＝2，∴|d|＝2，又|c|＝1，∴d＝－2c，∴|a＋b＋c|＝|－c|＝1.应选A项．
解法三　如图，建立平面直角坐标系，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°.又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a＝(－1，)，b＝(－1，－)，c＝(1,0)，∴a＋b＋c＝(－1,0)，∴|a＋b＋c|＝1.应选A项．
答案：A
二、填空题
6．[2022·全国卷Ⅲ]a，b为单位向量，且a·b＝0，假设c＝2a－b，那么cos〈a，c〉＝________.
解析：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，那么c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.
答案：
7．[2022·陕西西安二中测试]向量a在b方向上的投影为－1，向量b在a方向上的投影为－，且|b|＝1，那么|a－b|＝________.
解析：设向量a和b所成的角为θ，由题意得|a|cos θ＝－1，|b|cos θ＝－.∵|b|＝1，∴cos θ＝－，|a|＝2，∴|a－b|2＝7，∴|a－b|＝.
答案：
8．[2022·唐山联考]在△ABC中，(－3)⊥，那么角A的最大值为________．
解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0<A<π，所以0<A≤，即角A的最大值为.
答案：
三、解答题
9．|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
解析：由得，a·b＝4×8×〔－〕＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，
∴|a＋b|＝4.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，
∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
10．[2022·广州海珠区摸底考试]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)假设a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
解析：(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.
因为0<A<π，所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，
那么sin B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，又B是△ABC的一个内角，
那么B＝，由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×〔－〕，
解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
[能力挑战]
11．[2022·山东淄博一中期中]||＝3，||＝2，＝m＋n，m，n∈R，假设与的夹角为60°，且⊥，那么的值为(　　)
A. B.
C．6 D．4
解析：通解　∵||＝3，||＝2，与的夹角为60°，∴·＝3.又⊥，∴·＝0.又＝m＋n，＝－，∴(m＋n)·(－)＝0，即－m2＋(m－n)·＋n2＝0，∴－9m＋3m－3n＋4n＝0，∴n＝6m，∴＝.应选B项．
优解　如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，∵||＝3，||＝2，与的夹角为60°，∴＝(1，)，＝(3,0)，∴＝－＝(－2，)，＝(3m＋n，n)．又⊥，∴·＝0，∴－6m－2n＋3n＝0，∴n＝6m，∴＝.应选B项．
答案：B
12．[2022·天津第一中学月考]如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝2，点E为AB的中点，假设在上的投影为－，那么·＝(　　)
A．－2 B．－
C．0 D.
解析：通解　∵在上的投影为－，∴在上的投影为.∵BC＝2，∴AD＝.又点E为AB的中点，∴＝－＝－，又＝＋＝＋，∠ABC＝90°，∴·＝2－·－2＝－2.应选A项．
优解　以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么B(0,0)，C(2,0)，E(0，)，∴＝(－2，)，又在上的投影为－，∴D(，)，∴＝(，)，∴·＝－2.应选A项．
答案：A
13．[2022·重庆一中月考]设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，那么向量a，c的夹角为________．
解析：解法一　∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.
解法二　如图，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，那么a＝(2,0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.
解法三　如图，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.
答案：90°
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