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考点六 不等式及线性规划
一、选择题
1．若a<b<0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A.> B.>
C．ac>bc D．a2<b2
答案 A
解析 由a<b<0得－＝＞0，故A正确；由a<b<0，得a<a－b<0，即<，故B错误；当c>0时，由a<b<0，得ac<bc，故C错误；由a<b<0得|a|>|b|，即a2>b2，故D错误．故选A.
2．(2019·安徽六安舒城中学模拟)集合P＝，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝( )
A．(1,2] B．[1,2]
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．[1,2)
答案 A
解析 因为P＝{x|x<－3或x>1}，Q＝{x|4－x2≥0}＝{x|－2≤x≤2}，所以P∩Q＝(1,2]．
3．已知点A(－3，－1)与点B(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是( )
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
D．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
答案 B
解析 由题意可得(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以－7<a<24.故选B.
4．如果关于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于( )
A．－81 B．81 C．－64 D．64
答案 B
解析 不等式x2<ax＋b可化为x2－ax－b<0，
其解集为{x|1<x<3}，
所以1,3是方程x2－ax－b＝0的根，
所以解得
所以ba＝(－3)4＝81.
5．设x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y取最小值时的最优解是( )
A．(6,0) B．(3,0) C．(0,6) D．(2,2)
答案 B
解析 作出表示的可行域(如图，三角形ABC内部及边界即为所作可行域)，由图知平移y＝－x＋z至B点处达到最小值，联立
解得即B(3,0)，目标函数z＝x＋y取最小值时的最优解是(3,0)．故选B.
6．下列函数中，最小值是4的函数是( )
A．y＝x＋ B．y＝sinx＋(0<x<π)
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
答案 C
解析 当x＜0时，y＝x＋≤－4，排除A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1.y＝sinx＋≥4，但sinx＝无解，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在ex＝，即ex＝2时成立．∴x＝ln 2，C正确；若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，∴排除D.故选C.
7．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
所以解得－<m<0，
即实数m的取值范围是.
8．(2019·安徽宣城期末)若实数x，y满足则(x＋1)2＋y2的最小值为( )
A．2 B. C．8 D．10
答案 C
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，(x＋1)2＋y2的几何意义为可行域内的动点与定点(－1，0)的距离的平方，由图可知，最小值为点(－1，0)到直线x＋y＝3的距离的平方，即2＝8.故选C.
二、填空题
9．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值是________．
答案 3
解析 画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则直线y＝－x＋经过A点时z最小，由得A(1,1)，所以zmin＝1＋2×1＝3.
10．不等式≥2的解集是________．
答案 ∪(1,3]
解析 －2≥0等价于≤0等价于等价于－≤x≤3且x≠1.
所以原不等式的解集为∪(1,3]．
11．(2019·江苏沭阳期中调研)有下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④≥.其中恒成立的有________个．
答案 2
解析 因为2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，①正确；因为a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，所以②正确；当a，b同号时，有＋≥2，当a，b异号时，＋≤－2，所以③错误；ab＜0时，≥不成立．其中恒成立的个数是2个．
12．已知f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围为________．
答案 [5,10]
解析 解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
则解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，又∵1≤f(－1)≤2，
2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
解法二：由确定的平面区域如图中阴影部分所示，
当f(－2)＝4a－2b过点A时，取得最小值4×－2×＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f(－2)≤10.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝(a，b为常数)．
(1)若b＝1，解不等式f(x－1)<0；
(2)若a＝1，当x∈[－1,2]时，f(x)>恒成立，求b的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝，b＝1，∴f(x)＝，
∴f(x－1)＝＝，∵f(x－1)<0，
∴<0，等价于x[x－(1－a)]<0，
①当1－a>0，即a<1时，不等式的解集为(0,1－a)；
②当1－a＝0，即a＝1时，不等式的解集为∅；
③当1－a<0，即a>1时，不等式的解集为(1－a,0)．
(2)∵a＝1，f(x)>，
∴>⇔(x＋b)(x＋1)>－1， (※)
显然x≠－b，易知当x＝－1时，不等式(※)显然成立；
当－1<x≤2时，
b>－－x＝1－，
∵x＋1>0，∴＋(x＋1)≥2＝2，
当且仅当x＝0时，等号成立，故b>－1.
∵x＋b≠0，∴x≠－b，而－b∉[－1,2]，
故b<－2或b>1.综上所述，b>1.
14．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长
(分钟)
广告播放时长
(分钟)
收视人次
(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
解 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
将z＝60x＋25y变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一组平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，
当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
一、选择题
1．(2019·河北石家庄模拟一)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋3y的最小值为( )
A．6 B．8 C．4 D．3
答案 C
解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．
联立解得A(－2,2)，化目标函数z＝x＋3y为y＝－＋，由图可知，当直线y＝－＋过A时，直线y＝－＋在y轴上的截距最小，z有最小值为4.故选C.
2．(2019·广东六校第四次联考)若x，y满足
则|x－y|的最大值为( )
A．4 B．2 C．1 D．0
答案 A
解析 不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－y，则y＝x－z，当直线y＝x－z经过点B(2，－2)时，直线的纵截距－z最小，|－z|＝4，当直线过点A(1，－1)时，纵截距－z最大，|－z|＝2，故选A.
3．(2019·安徽合肥第三次质检)若直线y＝k(x＋1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[0,2] C．[－2,1] D．(－2,2]
答案 B
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
直线y＝k(x＋1)过定点A(－1,0)，要使得直线y＝k(x＋1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则0≤k≤kAC，∵kAC＝＝2，∴k∈[0,2]．故选B.
4．(2019·河南重点高中4月联合质检)已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝2y－3x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 作出约束条件
表示的可行域如图中阴影区域所示，
求得点A的坐标是，点B的坐标是，由z＝2y－3x，得y＝x＋，平移直线y＝x，当直线z＝2y－3x经过点A时，
z＝2×2－3×＝，当直线z＝2y－3x经过点B时，
z＝2×－3×＝－，所以z的取值范围是.故选A.
5．(2019·河北衡水质检四)设x，y满足约束条件则下列恒成立的是( )
A．x≥3 B．y≥4
C．2x－y＋1≥0 D.的最小值为1
答案 D
解析 可行域如图阴影部分，其中A(2,3)，显然A，B，C选项都不成立，表示可行域内点到点(0,1)的斜率，由图可得最小值为1，故选D.
6．(2019·福建龙岩质检)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A．3 B．5 C．7 D．9
答案 C
解析 由x＋y＝(x＋1)＋y－1＝[(x＋1)＋y]·1－1＝[(x＋1)＋y]·2－1＝2－1≥3＋4＝7.当且仅当x＝3，y＝4时取得最小值7.故选C.
7．已知实数x，y满足条件若z＝y－ax取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a的取值集合为( )
A．{2，－1} B．{a∈R|a≠2}
C．{a∈R|a≠－1} D．{a∈R|a≠2且a≠－1}
答案 D
解析 不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
由z＝－ax＋y得y＝ax＋z，若a＝0，直线y＝ax＋z可化为y＝z，此时取得最大值时的最优解有且只有一个，满足条件．若a>0，则直线y＝ax＋z的纵截距最大时，z取得最大值，若z＝y－ax取得最大值时的最优解有且只有一个，则a≠2.若a<0，则直线y＝ax＋z的纵截距最大时，z取得最大值，若z＝y－ax取得最大值时的最优解有且只有一个，则a≠－1.故选D.
8．设0<b<1＋a，若关于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中的整数恰有4个，则的取值范围为( )
A．(3,4] B．(3,4) C．(2,3] D．(2,3)
答案 A
解析 整理不等式得[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0，因为整数解只有4个，且1＋a>0，可得1－a<0，所以a>1.其解集为，又0<b<1＋a，所以<1，欲使解集中的整数只有4个，则－4≤<－3，所以∈(3,4]．
二、填空题
9．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．
答案 [－5，＋∞)
解析 由题意得，a≥－，设f(x)＝－，x∈(0,1]，则只要a≥f(x)max，由于函数f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝－5，故a≥－5.
10．(2019·河北衡水中学模拟)已知实数x，y满足且m＝，则实数m的取值范围为________．
答案 [2,7]
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
m＝＝＝1＋3·，可看作(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，观察图象可知，kPC≤≤kPB，即≤≤2，所以2≤m≤7.
11．已知正数a，b满足a2＋ab－3＝0，则4a＋b的最小值为________．
答案 6
解析 因为正数a，b满足a2＋ab－3＝0，所以3a·(a＋b)＝9，则4a＋b＝3a＋(a＋b)≥2＝2＝6，当且仅当3a＝a＋b时等号成立．
此时由解得所以4a＋b的最小值为6.
12．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A，B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产产品A，B分别为x，y件，利润之和为z元，
那么 ①
目标函数z＝2100x＋900y，
二元一次不等式组①等价于 ②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域如图中阴影部分：
将z＝2100x＋900y变形，得y＝－x＋，当直线y＝－x＋经过点M时，z取得最大值．
解方程组得点M(60,100)．
所以当x＝60，y＝100时，zmax＝2100×60＋900×100＝216000.
故生产产品A，B的利润之和的最大值为216000元．
三、解答题
13．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
解 (1)设需要修建k个增压站，
则(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160.
因为x表示相邻两增压站之间的距离，所以0<x<240.
故y与x的函数关系是y＝＋240x－160(0<x<240)．
(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4800－160＝9440，
当且仅当＝240x，即x＝20时等号成立，
此时k＝－1＝－1＝11.
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．
14．(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)求不等式f(2x)－f(x＋1)≥2的解集；
(2)若a>0，b>0且a＋b＝f(3)，求证：＋≤2.
解 (1)因为f(x)＝|x－1|，
所以f(2x)－f(x＋1)＝|2x－1|－|x|
＝
由f(2x)－f(x＋1)≥2，
得或或
得x≤－1或x≥3，
所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(2)证明：a＋b＝f(3)＝2，又a>0，b>0，
所以·＝，·≤，
故·＋·≤＋＝4，
所以＋≤2成立．
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