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专题01 集合
集合间的基本关系
【背一背基础知识】
一.集合的基本概念:
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个总体,这个总体就叫集合,其中每一个对象叫元素.
2、集合中元素的三个特性: 确定性、互异性、无序性.
(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素,这叫集合元素的确定性;
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素,这叫集合元素的互异性;
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,这叫集合元素的无序性.
3、元素与集合之间只能用“”或“”符号连接.
4、集合的表示常见的有四种方法.
(1)自然语言描述法:用自然的文字语言描述.如:英才中学的所有团员组成一个集合.
(2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,然后用一个花括号全部括上.如:
(3)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号内表示集合的方法.它的一般格式为,“|”前是集合元素的一般形式,“|”后是集合元素的公共属性.如、 、、.
(4)Venn图法:如:
5、常见的特殊集合:(1)非负整数集(即自然数集)N(包括零)(2)正整数集N*或 (3)整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集 (5)实数集R (5)复数集
6、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合.(3)空集 :不含任何元素的集合
二.集合间的基本关系
1、子集
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集.记为或.
2、真子集
对于两个集合A与B,如果,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则称集合A是集合B的真子集.记为.
3、空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
4、若一个集合含有n个元素,则子集个数为个,真子集个数为.
【讲一讲基本技能】
1. 必备技能:
(1)解题常用的方法:数形结合的方法,含不等式的题型常用数轴表示解集,或者用韦恩图表示两个集合的关系或者是大小关系.有限个元素的集合常用列举的方法,通过列举找到答案或找到解题思路.
(2)能力要求:解二次方程,解二次不等式得能力要具备.含对数指数的方程不等式也要会处理.分类的思想.
(3)知识要求:由于集合方面的知识主要是依托其它知识作为背景的题型,所以涉及知识较多,可以是函数方面,立几知识,解几知识等.
2. 注意点:(1)注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验.
(2)注意描述法给出的集合的元素,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他集合.如,,表示不同的集合.
3.典型例题
例1.若,集合,求的值________.
分析:本小题利用集合相等,元素相同,从元素入手,由题意,则只能,从而可解.
【答案】2
例2设集合,,则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
分析:本小题是求函数值域,利用配方,表示出集合即可得结论.
【答案】A
【练一练趁热打铁】
1. 已知集合A={x|x2+mx+4=0}为空集,则实数m的取值范围是( )
A.(-4,4) B.[-4,4] C.(-2,2) D.[-2,2]
【答案】A
【解析】依题意知一元二次方程无解,所以,解得.故选A.
2. 设P、Q为两个非空集合,定义集合.若,则中元素的个数是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B
【解析】=,故中元素的个数是8.
集合的基本运算
【背一背基础知识】
集合的基本运算及其性质
1、交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做A、B的交集. 记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A、B的并集.记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质
, , ,,,.
4、全集与补集
(1)全集:如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
(2)补集:设是一个集合,A是的一个子集,由中所有不属于A的元素组成的集合,叫做中子集A的补集. 记作:.
5、补集的性质
,,.
6、重要结论
, , , .
【讲一讲基本技能】
1.必备技能:
(1)解题常用的方法:集合的基本运算包括集合间的交、并、补集运算,解决此类运算问题一般应注意以下几点:一是看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提.二是对集合化简.有些集合是可以化简的,如果先化简再研究 其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易于解决.三是注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(2)能力要求:解二次方程,解二次不等式得能力要具备.含对数指数的方程不等式也要会处理.分类的思想.
(3)知识要求:由于集合方面的知识主要是依托其它知识作为背景的题型,所以涉及知识较多,可以是函数方面,立几知识,解几知识等.
2.典型例题
例1设集合,,则的子集的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
分析:作图可知有两个交点,利用若一个集合含有n个元素,则子集个数为个,可得结论.
【答案】A
例2已知全集,集合, ,则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. , C. D.
分析:根据图可知,阴影部分所表示的集合为,利用集合的运算即可求解.
【答案】C
【练一练趁热打铁】
1. 设集合,,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】,故,故选B.
2. 若集合,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使函数有意义需,所以;由,得,所以;所以,故选.
(一) 选择题(12*5=60分)
1. 已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,4,5},则( )
A.{2,3,4} B.{0,2,3,4,5} C.{0,5} D.{3,5}
【答案】C
【解析】由于N={0,2,3,4,5},M={2,3,4},所以{0,5}.故选C.
2. 已知全集,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
3.设全集为,集合,则( )
【答案】C
4.已知集合,,则 ( )
A. B.{ } C.{ } D.{}
【答案】B
【解析】,{ }.
5. 已知函数的定义域为M,的定义域为N,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,故,故选A
6. 已知集合,若,则实数的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
7. 已知集合,,若,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】,,,则,.
8. 设和是两个集合,定义集合或且.若, ,那么等于( )
A.[-1,4] B.(-∞,-1]∪[4,+∞) C.(-3,5) D.(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞)
【答案】D
9.已知集合A={x|4≤≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )
A. (-∞,-2] B. C. (-∞,2] D.
【答案】A
【解析】集合是不等式的解集,由题意,集合,因为,故,,故,即的取值范围是.故A正确.
10.定义集合与的运算“*”为:或,但.设是偶数集,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先求出,的并集再去掉交集即得.同理可得.
11. 定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={1,2},B={3,4},则集合A⊙B所有元素之积为 ( )
A.4 500 B.342 000 C.345 600 D.135 600
【答案】C
12. 已知集合,若,使得成立,则实数b的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
(二) 填空题(4*5=20分)
13. 已知全集,,则的子集个数为 .
【答案】2
【解析】,,子集个数为2.
14. 已知集合,,则=_____________.
【答案】
【解析】,,
15. 已知集合,,则= .
【答案】
【解析】由题意得:,
16. 设集合是上的增函数},B=,则= .
【答案】
9
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