裂项相消法专项高考真题训练.pdf

裂项相消法专题裂项相消法专题1 1（2014成都模拟）等比数列an的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前 n 项和【答案】（）设数列an的公比为 q，由 a32=9a2a6有 a32=9a42，q2=由条件可知各项均为正数，故 q=由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q=1，a1=故数列an的通项式为 an=（）bn=故则=+=2（=（1+2+n）=）=，=2（1）+（）+（,数列的前 n 项和为2 2，（2013江西）正项数列an满足（1）求数列an的通项公式 an；（2）令 bn=（2n1）an2n=0，求数列bn的前 n 项和 Tn（2n1）an2n=0，【答案】（1）由正项数列an满足：可有（an2n）（an+1）=0an=2n（2）an=2n，bn=Tn=，bn=，数列bn的前 n 项和 Tn为3 3（2013山东）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前 n 项和 Tn【答案】（）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由 S4=4S2，a2n=2an+1 有：，解有 a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，有：当 n=1 时，=，当 n2 时，=（1）（1）=，n=1 时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又 Tn=+，Tn=+，两式相减有：Tn=+（+）=Tn=34.4.（2010山东）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26an的前 n 项和为 Sn（）求 an及 Sn；（）令（nN*），求数列bn的前 n 项和 Tn【答案】（）设等差数列an的公差为 d，a3=7，a5+a7=26，有，解有 a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n；（）由（）知 an=2n+1，bn=Tn=即数列bn的前 n 项和 Tn=，5.5.（2008四川）在数列an中，a1=1，（）求an的通项公式；（）令，求数列bn的前 n 项和 Sn；（）求数列an的前 n 项和 Tn【答案】（）由条件有，又 n=1 时，故数列构成首项为 1，公式为 的等比数列，即（）由两式相减，有：（）由Tn=2Sn+2a12an+1=有，有，6.6.（2010四川）已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4（）求数列an的通项公式；（）设 bn=（4an）qn1（q0，nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn【答案】（1）设an的公差为 d，由已知有解有 a1=3，d=1故 an=3+（n1）（1）=4n；（2）由（1）的解答有，bn=nqn1，于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若 q1，将上式两边同乘以 q，有qSn=1q1+2q2+3q3+nqn上面两式相减，有（q1）Sn=nqn（1+q+q2+qn1）=nqn于是 Sn=若 q=1，则 Sn=1+2+3+n=，Sn=7.（2010四川）已知数列an满足 a1=0，a2=2，且对任意m、nN*都有 a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求 a3，a5；（2）设 bn=a2n+1a2n1（nN*），证明：bn是等差数列；n1（3）设 cn=（an+1an）q（q0，nN*），求数列cn的前 n 项和 Sn【答案】（1）由题意，令 m=2，n=1，可有 a3=2a2a1+2=6再令 m=3，n=1，可有 a5=2a3a1+8=20（2）当 nN*时，由已知（以 n+2 代替 m）可有a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8即 bn+1bn=8bn是公差为 8 的等差数列（3）由（1）（2）解答可知bn是首项为 b1=a3a1=6，公差为 8 的等差数列则 bn=8n2，即 a2n+1a2n1=8n2另由已知（令 m=1）可有an=an+1an=（n1）22n+1=2n+1=2n于是 cn=2nqn1当 q=1 时，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）当 q1 时，Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以 q，可有qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减，有（1q）Sn=2（1+q+q2+qn1）2nqn=22nqn=2Sn=2综上所述，Sn=8.（2009湖北）已知数列an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a6=55，a2+a7=161）求数列an的通项公式；2）数列an和数列bn满足等式 an=【答案】（1）设等差数列an的公差为 d，则依题意可知 d0 由 a2+a7=16，有，2a1+7d=16由 a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55由联立方程求，有d=2，a1=1/d=2，a1=（排除）（nN*），求数列bn的前 n 项和 Snan=1+（n1）2=2n1（2）令 cn=，则有 an=c1+c2+cn an+1=c1+c2+cn+1两式相减，有an+1an=cn+1，由（1）有 a1=1，an+1an=2cn+1=2，即 cn=2（n2），即当 n2 时，bn=2n+1，又当 n=1 时，b1=2a1=2bn=于是 Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，