【河南省新乡一中】2017届高三(上)第一次月考数学年(理科)试题.pdf

-1-/17 河南省新乡市河南省新乡市 2017 年高考二模年高考二模数学数学（文科）（文科）试卷试卷 答答 案案 一、选择题.15BABDC 610DADBC 1112BA 二、填空题 1322 144 15172 1664 三、解答题 17（12 分）解：(1)1111()2nnnnaSS.2n时,1()2nna,11=2a,因此1n 时也成立.1()2nna,11(1)12211212nnnS.(2)由(1)可得:123137,.248SSS 121323,),(SS SS m SS成等差数列,133717()2()244828m.解得1213m.18（12 分）证明:(1)连 AC1,CB1,在三棱锥111ABC ABC中,侧面11ACC A与侧面11CBBC都是菱形,11160ACCCC B,1ACC和11BCC皆为正三角形.取 CC1中点 O,连 OA,OB1,则111,CCOA CCOB,1OAOBO,11CCOAB平面,11ABOAB平面,11CCAB.解：(2)2 3AC,13 2AB,-2-/17 由(1)知,OA=OB1=3,22211OAOBAB,1OAOB,11OABCC平面,1111112 333 322CCSCCOB B,1111113 333 333A B CCB CCVSAO,D1为线段 A1C1上的点,且三棱锥111C BC D的体积为3,1111111113133 3DB CCA B CCVADACV,1111113 12ADC D.19（12 分）解：(1)根据表中数据计算1(9085746863)765x,1130 125 11095901105y（）,52522222908574686329394iix,5190 13085 12574 11068 9563 9042595iiix y,12221425955 76 1107951.5293945 76514niiiniix ynxybxnx ,110 1.5 764aybx;x、y 的线性回归方程是1.54yx;当 x=80 时,1.5 804116y,即某位同学的物理成绩为 80 分,预测他的数学成绩是 116;(2)抽取的五位学生中成绩高于 120 分的有 2 人,记为 AB,另外 3 名记为 c、d、e,从这 5 人中随机抽取 2 人,基本事件是 AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de 共 10 种,选出的学生的数学成绩至少有一位高于 120 分的基本事件是 AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be 共 7 种,-3-/17 故所求的概率为710P.20（12 分）解：(1)由题意可知:椭圆的离心率222 5e=15cbaa.则 a2=5b2,将点53(,)22代入椭圆222215xybb,解得:221,5,ba 椭圆 E 的标准方程2215xy;(2)证明:由题意可知:直线 l 的斜率存在,且不为 0,2yk x（）,直线 FN:12yxk（）,设112200,),(,(),P x yQ x yM x y（,则22(2)15yk xxy,整理得:2222(1 5202050)kxk xk,由韦达定理可知:21222015kxxk,212220515kx xk,则21200022102,(2);21 51 5xxkkxyk xkk 则直线 OM 的斜率为0015OMykxk,直线 OM:15yxk,1552,11(x2)2yxxkyykk 解得，即有 k 取何值,N 的横坐标均为25,则点 N 在一条定直线52x 上.21（12 分）【解答】解：(1)2()611,(1)15,(1)14,fxxffx 曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为:(14)15(1)yx,即1510 xy 为所求.(2)关于 x 的不等式2()(3)(2a 13)2f xaxx恒成立22ln2220 x axaxx恒成立.令222(1)(1)2ln222,0,222;axxh xx axaxxxh xaxxxx（）（）（）当0a时,0h x（）恒成立,h x（）在(0,)递增,x时,h x（）,不符合题意.-4-/17 当0a时,11(0,)()0,(,)()0,h xxh xaa 故h x（）在1(0,)a递增,在1(,)a递减,11()()2ln0,1maxh xhaaaa符合题意;整数 a 的最小值为 1 22（10 分）解:(1)直线 l 的参数方程为sin2cosxtyt消去参数可得:cossin2sin0 xy;即直线 l 的普通方程为cossin2sin0 xy;曲线 C 的极坐标方程为2cos8sin.可得:22cos8 sin.那么:28.xy 曲线 C 的直角坐标方程为28.xy(2)直线 l 的参数方程带入 C 的直角坐标方程,可得:22cos8 sin160;tt 设 A,B 两点对应的参数为 t1,t2,则121 2228cos16,.sinsinttt t 212121 228(tt)4sin|.|ABttt t 当2时,|AB|取得最小值为 8 选修 4-5:不等式选讲 23解:(1)由题意,224xx,或224xx,由22 4xx得23xx 或-;由224xx得21xx 或-,原不等式的解集为2|1x xx 或-;(2)原不等式等价于|273xxm的解集非空,|27279,xxxx 3m9,m3 -5-/17 河南省新河南省新乡市乡市 2017 年高考二模数学（文科）试卷年高考二模数学（文科）试卷 解解 析析 一、选择题 1.【考点】并集及其运算.【分析】分别求出集合 AB,根据并集的定义计算即可.【解答】解:(2)00|,2Ax x x,21|1,10,BxxZ,则1,0 1,2AB ,故选:B【点评】本题考查了并集的定义,考查集合的运算,是一道基础题.2【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,结合已知条件即可求出 a 的值.【解答】解:()(3)(31)(3)3133(3)(3)101010aiaiiaa iaaiiiiZ,复数3aiiZ（i 是虚数单位）的实部为 2,31210a,解得:a=7 故选:A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意,由 可得 =0,结合向量的数量积计算公式可得 m（m1）+2（3）=0,解可得 m的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,量=（m1,2）,=（m,3）,若 ,则有 =0,即 m（m1）+2（3）=0,解可得 m=2 或 3;故选:B【点评】本题考查向量数量积的运算,关键是利用向量垂直与向量数量积的关系得到关于 m 的方程.4【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义进行求解即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:的几何意义是区域内的点到定点 D（1,2）的斜率,由图象知 BD 的斜率最大,-6-/17 由得,即 B（1,3）,此时 AD 的斜率 k=,故选:D 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义结合直线的斜率公式是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.5【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行,不难得到输出结果.【解答】解:模拟程序的运行,可得 i=0,S=1 满足条件 i4,执行循环体,i=1,S=满足条件 i4,执行循环体,i=2,S=满足条件 i4,执行循环体,i=3,S=满足条件 i4,执行循环体,i=4,S=不满足条件 i4,退出循环,输出 S 的值为.故选:C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:分析流程图（或伪代码）,从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据（如果参与-7-/17 运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理）,建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型,解模,本题属于基础题.6【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意,线段 PF1的垂直平分线恰好过点 F2,垂足为 D,则 yD=2yA=yP,yA=yP,由=,可得结论.【解答】解:由题意,线段 PF1的垂直平分线恰好过点 F2,垂足为 D,则 yD=2yA=yP,yA=yP,=,故选 D【点评】本题考查三角形面积的计算,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.7【考点】频率分布直方图.【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量,利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数.【解答】解:样本容量为:（150+250+100）20%=100,抽取的户主对四居室满意的人数为:100.故选:A【点评】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意统计图的性质的合理运用.8【考点】三角函数的化简求值.【分析】利用诱导公式得出 cos（）=sin（+）,再利用二倍角公式求出 cos（+2）的值.【解答】解:cos（）=sin（）=sin（+）=,cos（+2）=12sin2（+）=12=.-8-/17 故选:D【点评】本题考查了三角恒等变换应用问题,是基础题目.9【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是组合体:前面是直三棱柱、后面是三棱锥,画出直观图,并求出各个棱长以及底面的形状,判断出线面的位置关系、由勾股定理求出侧面上的高,代入面积公式分别求出三棱柱、三棱锥的表面积,即可求出答案.【解答】解:根据三视图知几何体是组合体:前面是直三棱柱、后面是三棱锥,直观图如图所示:直三棱柱 ABCABC:底面是等腰直角三角形:直角边为,几何体的高是 2,三棱锥 PACD:底面是等腰直角三角形:直角边为,且 PO面 ACD,PO=2AO=OC=OD=1,所以三棱锥 PACD 的侧棱 PA=PAC=PD=,在等腰PAD 中,底边 AD 上的高 h=,则直三棱柱 ABCABC 的表面积:S1=4+,三棱锥 PACD 的表面积 S2=4,所以几何体的表面积 S=4+4=8+,故选 B 【点评】本题考查由三视图求简单组合体的表面积,由三视图正确复原几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力.10【考点】正弦函数的图象.【分析】由 x0,求出 2x+的范围,由正弦函数的图象画出函数的大致图象,由函数的图象,以及正弦图象的对称轴求出 x1+x2x2+x3的值,即可求出 x1+2x2+x3的值.【解答】解:由题意 x0,则 2x+,-9-/17 画出函数的大致图象:由图得,当时,方程 f（x）=a 恰好有三个根,由 2x+=得 x=,由 2x+=得 x=,由图知,点（x1,0）与点（x2,0）关于直线对称,点（x2,0）与点（x3,0）关于直线对称,x1+x2=,x2+x3=,即 x1+2x2+x3=+=,故选 C 【点评】本题考查正弦函数的图象,以及正弦函数图象对称性的应用,考查整体思想,数形结合思想.11【考点】球的体积和表面积.【分析】求出PAD 所在圆的半径,利用勾股定理求出球 O 的半径 R,即可求出球 O 的表面积.【解答】解:令PAD 所在圆的圆心为 O1,则圆 O1的半径 r=,因为平面 PAD底面 ABCD,所以 OO1=AB=2,所以球 O 的半径 R=,所以球 O 的表面积=4R2=.故选 B【点评】本题考查球 O 的表面积,考查学生的计算能力,比较基础.12【考点】根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】根据题意,可以将原问题转化为方程 a+1=x331nx 在区间,e上有解,构造函数 g（x）=x331nx,利用导数分析 g（x）的最大最小值,可得 g（x）的值域,进而分析可得方程 a+1=x331nx 在区间,e上有解,必有 1a+1e33,解可得 a 的取值范围,即可得答案.【解答】解:根据题意,若函数 f（x）=x3+1+a（xe,e 是自然对数的底）与 g（x）=3lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,-10-/17 则方程x3+1+a=3lnx 在区间,e上有解,x3+1+a=3lnxa+1=x331nx,即方程 a+1=x331nx 在区间,e上有解,设函数 g（x）=x331nx,其导数 g（x）=3x2=,又由 x,e,g（x）=0 在 x=1 有唯一的极值点,分析可得:当x1 时,g（x）0,g（x）为减函数,当 1xe 时,g（x）0,g（x）为增函数,故函数 g（x）=x331nx 有最小值 g（1）=1,又由 g（）=+3,g（e）=e33;比较可得:g（）g（e）,故函数 g（x）=x331nx 有最大值 g（e）=e33,故函数 g（x）=x331nx 在区间,e上的值域为1,e33;若方程 a+1=x331nx 在区间,e上有解,必有 1a+1e33,则有 0ae34,即 a 的取值范围是0,e34;故选:A【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已知存在关于 x 轴对称的点转化为方程 ax3=3lnxa=3lnxx3在上有解.二、填空题（共二、填空题（共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 20 分）分）13【考点】函数的值.【分析】由已知得 f（1）=121=,从而 ff（1）=f（）,由此能求出结果.【解答】解:函数 f（x）=,f（1）=121=,ff（1）=f（）=.故答案为:.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.14【考点】直线与圆的位置关系.-11-/17 【分析】先求与直线 xy+c=0 平行的直线 l 的方程,再求圆心到直线 l 的距离,进而可求直线 l 被圆（x6）2+（y）2=7 截得的弦长.【解答】解:设与直线 xy+3=0 平行的直线 l 的方程为 xy+c=0,直线过点（1,0）,c=1,直线的方程为 xy1=0,圆心到直线 l 的距离为=,直线 l 被圆（x6）2+（y）2=7 截得的弦长为 2=4,故答案为 4【点评】本题的考点是直线和圆的方程的应用,主要考查直线方程,考查直线与圆相交时的弦长得计算,关键是求与已知直线平行的直线方程,掌握圆中的弦长的求解方法.15【考点】数列的应用.【分析】第 1 关收税金:x;第 2 关收税金:（1）x=x;第 3 关收税金:（1）x=x;,可得第 8 关收税金.【解答】解:第 1 关收税金:x;第 2 关收税金:（1）x=x;第 3 关收税金:（1）x=x;,可得第 8 关收税金:x,即x.故答案为:.【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16【考点】正弦定理.【分析】由已知可得A=ABD,BDC=2A,设 AD=BD=x,由正弦定理在BCD 中,在AED 中,可得,联立即可解得 cosA 的值.【解答】解:C=,BC=4,点 D 在边 AC 上,AD=DB,DEAB,E 为垂足,DE=2,A=ABD,BDC=2A,设 AD=BD=x,在BCD 中,=,可得:,在AED 中,=,可得:,联立可得:=,解得:cosA=.-12-/17 故答案为:.【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想和计算能力,属于基础题.三、解答题 17【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】（1）由 an+1=Sn+1Sn=.可得 n2 时,an=,n=1 时也成立.利用求和公式可得 Sn.（2）由（1）可得:S1=,S2=,S3=.根据 S1+S2,S1+S3,m（S2+S3）成等差数列即可得出.【解答】解:(1)1111()2nnnnaSS.2n时,1()2nna,11=2a,因此1n 时也成立.1()2nna,11(1)12211212nnnS.(2)由(1)可得:123137,.248SSS 121323,),(SS SS m SS成等差数列,133717()2()244828m.解得1213m.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18（12 分）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】（1）证明:连 AC1,CB1,证明 CC1OA,CC1OB1,得到 CC1平面 OAB1,即可证明 CC1AB1（2）推导出 OA平面 B1C1C,从而=,由此能求出的值.【解答】证明:(1)连 AC1,CB1,在三棱锥111ABC ABC中,侧面11ACC A与侧面11CBBC都是菱形,11160ACCCC B,1ACC和11BCC皆为正三角形.-13-/17 取 CC1中点 O,连 OA,OB1,则111,CCOA CCOB,1OAOBO,11CCOAB平面,11ABOAB平面,11CCAB.解:(2)2 3AC,13 2AB,由(1)知,OA=OB1=3,22211OAOBAB,1OAOB,11OABCC平面,1111112 333 322CCSCCOB B,1111113 333 333A B CCB CCVSAO,D1为线段 A1C1上的点,且三棱锥111C BC D的体积为3,111113133 3DB CCA B CCVADACV,1111113 12ADC D.【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线段的比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.19（12 分）【考点】线性回归方程.【分析】（1）根据表中数据计算、,求出回归系数、,写出回归方程,利用回归方程计算 x=80 时 的值即可;（2）利用列举法计算从 5 人中随机抽取 2 人的基本事件数,求出所求的概率值.【解答】解:(1)根据表中数据计算1(9085746863)765x,1130 125 11095901105y（）,52522222908574686329394iix,5190 13085 12574 11068 9563 9042595iiix y,12221425955 76 1107951.5293945 76514niiiniix ynxybxnx ,110 1.5 764aybx;-14-/17 x、y 的线性回归方程是1.54yx;当 x=80 时,1.5 804116y,即某位同学的物理成绩为 80 分,预测他的数学成绩是 116;(2)抽取的五位学生中成绩高于 120 分的有 2 人,记为 AB,另外 3 名记为 cde,从这 5 人中随机抽取 2 人,基本事件是 ABAcAdAe、BcBdBe、cdce、de 共 10 种,选出的学生的数学成绩至少有一位高于 120 分的基本事件是 ABAcAdAe、BcBdBe 共 7 种,故所求的概率为710P.【点评】本题考查列举法求古典概型的概率,以及线性回归方程的求法与应用问题,属基础题.20.（12 分）【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】（1）由椭圆的离心率求得 a2=5b2,将点（,）代入椭圆方程,即可求得 a 和 b 的值,即可椭圆方程;（2）设直线方程 l,则直线 FN:y=（x+2）,将直线 l 代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式,根据直线 OM 方程,求得直线 FN 和 OM 的交点 N,即可得证.【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率222 5e=15cbaa.则 a2=5b2,将点53(,)22代入椭圆222215xybb,解得:221,5,ba 椭圆 E 的标准方程2215xy;(2)证明:由题意可知:直线 l 的斜率存在,且不为 0,2yk x（）,直线 FN:12yxk（）,设112200,),(,(),P x yQ x yM x y（,则22(2)15yk xxy,整理得:2222(1 5202050)kxk xk,由韦达定理可知:21222015kxxk,212220515kx xk,则21200022102,(2);21 51 5xxkkxyk xkk -15-/17 则直线 OM 的斜率为0015OMykxk,直线 OM:15yxk,1552,;11(x2)2yxxkyykk 解得 即有 k 取何值,N 的横坐标均为25,则点 N 在一条定直线52x 上.【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,注意运用联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理,同时考查点在定直线上的求法,注意运用直线方程求交点,考查运算能力,属于中档题.21【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】（1）求出切点,利用导数求出切线斜率,用点斜式写方程;（2）关于 x 的不等式 f（x）（a3）x2+（2a13）x2 恒成立2lnxax22ax+2x+20 恒成立.令 h（x）=2lnxax22ax+2x+2,（x0）,h（x）=,分当 a0,a0 时讨论即可.【解答】解:(1)2()611,(1)15,(1)14,fxxffx 曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为:(14)15(1)yx,即1510 xy 为所求.(2)关于 x 的不等式2()(3)(2a 13)2f xaxx恒成立22ln2220 x axaxx恒成立.令222(1)(1)2ln222,0,222;axxh xx axaxxxh xaxxxx（）（）（）当0a时,0h x（）恒成立,h x（）在(0,)递增,x时,h x（）,不符合题意.当0a时,11(0,)()0,(,)()0,h xxh xaa 故h x（）在1(0,)a递增,在1(,)a递减,11()()2ln0,1maxh xhaaaa符合题意;整数 a 的最小值为 1【点评】本题考查了导数的综合应用,属于中档题.22【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】（1）直接消去直线 l 的参数可得普通方程;根据 cos=x,sin=y,2=x2+y2,进行代换即得曲线 C 的直角坐标方程.（2）将直线 l 的参数方程带入 C 的直角坐标方程;设出 A,B 两点的参数,利用韦达定理建立关系求解最值即可.-16-/17 【解答】解:(1)直线 l 的参数方程为sin2cosxtyt消去参数可得:cossin2sin0 xy;即直线 l 的普通方程为cossin2sin0 xy;曲线 C 的极坐标方程为2cos8sin.可得:22cos8 sin.那么:28.xy 曲线 C 的直角坐标方程为28.xy(2)直线 l 的参数方程带入 C 的直角坐标方程,可得:22cos8 sin160;tt 设 A,B 两点对应的参数为 t1,t2,则121 2228cos16,.sinsinttt t 212121 228(tt)4sin|.|ABttt t 当2时,|AB|取得最小值为 8【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及利用平面几何知识解决最值问题.利用直角坐标与极坐标间的关系.选修选修 4-5:不等式选讲不等式选讲 23【考点】绝对值三角不等式.【分析】（1）由题意,x24x2,或 x2x24,分别解不等式,即可求不等式 f（x）+x240 的解集;（2）原不等式等价于|x2|+|x+7|3m 的解集非空,求出左边的最小值,即可求实数 m 的取值范围.【解答】解:(1)由题意,224xx,或224xx,由22 4xx得23xx 或-;由224xx x2x24 得21xx 或-,原不等式的解集为2|1x xx 或-;(2)原不等式等价于|273xxm的解集非空,|27279,xxxx 3m9,m3【点评】本题考查不等式的解法,考查绝对值不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.-17-/17