16年高考真题——理科数学(新课标Ⅰ卷).pdf

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷理科数学一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合A x|x 4x3 0，B x|2x3 0，则AI B（）2（A）3,（B）3,（C）1,（D）2设1ix 1 yi，其中x,y是实数，则|x yi|（）（A）1（B）2（C）3（D）2323232 3,323已知等差数列an前 9 项的和为 27，a10 8，则a100（）（A）100（B）99（C）98（D）974 某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）（A）1123（B）（C）（D）3234x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的5已知方程2m n3m2n取值范围是（）（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,36如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条28，则它的表面积是（）3（A）17（B）18（C）20（D）28互相垂直的半径。若该几何体的体积是7函数y 2x e在2,2的图像大致为（）2|x|8若a b 1，0c 1，则（）cc（A）a b（B）ab ba（C）alogbc blogac（D）logac logbccc第 1 页 共 8 页9 执行右面的程序框图，如果输入的x 0，y 1，n 1，则输出x,y的值满足（）（A）y 2x（B）y 3x（C）y 4x（D）y 5x10 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点。已知|AB|4 2，|DE|2 5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2（B）4（C）6（D）811平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，/平面CB1D1，I平面ABCD m，I平面ABB1A1 n，则m,n所成角的正弦值为（）（A）1323（B）（C）（D）323212 已知函数fx sinx 0,|2，x 4为fx的零点，x 4为5y fx图像的对称轴，且fx在,单调，则的最大值为（）18 36（A）11（B）9（C）7（D）5二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。rrrr2r2r213设向量a m,1，b 1,2，且|ab|a|b|，则m。142x（用数字填写答案）x的展开式中，x3的系数是。515设等比数列an满足a1 a310，a2a4 5，则a1a2 an的最大值为。16某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品A的利润为 2100 元，生产一件产品B的利润为 900 元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知第 2 页 共 8 页2acosB+b cosAcosC c。求C；若c 7，ABC的面积为周长。18（本小题满分 12 分）如图，在以3 3，求ABC的2A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF 2FD，AFD 90，且二面角0D AF E与二面角C BE F都是600。证明：平面ABEF平面EFDC；求二面角E BC A的余弦值。19（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图。以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数。求X的分布列；若要求PX n0.5，确定n的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个？20（本小题满分 12 分）设圆x y 2x15 0的圆心为A，直线l过点B1,0且与x22轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。21（本小题满分 12 分）已知fxx2e ax1有两个零点。求a的取值x2范围；设x1,x2是fx的两个零点，证明：x1 x2 2。请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分 10 分）（选修 4-1：几何证明选讲）如图，AOB是等腰三角形，AOB 120。以O为圆心，0第 3 页 共 8 页1OA为半径作圆。证明：直线AB与O相切；点C,D在O上，且A,B,C,D四点2共圆，证明：AB/CD。23（本小题满分 10 分）（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1x acost的参数方程为错误错误!未找到引用源。未找到引用源。（t为参数，a 0）。在以坐标原点为极点，y 1asintx轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos。说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan0 2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。24（本小题满分 10 分）（选修 4-5：不等式选讲）已知函数fx|x1|2x3|。在答题卡第（24）题图中画出y fx的图像；求不等式|fx|1的解集。第 4 页 共 8 页2016 年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷理科数学解答一DBCBAADCCBAB二132；1410；1564；1621600017解：由已知及正弦定理得，2cosCsin AcosBsinBcosAsinC，12cosCsinABsinC。故2sin CcosC sinC，可得cosC，所以C；32由已知，13 3absinC，又C，故ab 6。由已知及余弦定理得，223a2b22abcosC 7，故a2b213，从而ab2 25。故ABC的周长为57。18解：由已知可得AF DF，AF FE，所以AF平面EFDC。又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC；过D作DG EF，垂足为G，由知uuu r以G为坐标原点，GF的方DG 平面ABEF。uuu r向为x轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示空间直角坐标系G xyz。由知DFE为二面角D AF E的平面角，故DFE 60，则0|DF|2，|DG|3，可得A1,4,0，B3,4,0，E3,0,0，D 0,0,3。由已知，AB/EF，所以AB/平面EFDC。又平面ABCD平面EFDC DC，故AB/CD，CD/EF。由BE/AF，可得BE 平面EFDC，所以CEF为二面角C BE F的平uuu ruuu r0面 角，CEF 60，从 而C 2,0,3。所 以EC 1,0,3，EB 0,4,0，r uuu ruuu ruuu rrnEC 0AC 3,4,3，AB 4,0,0。设n x,y,z是平面BCE的法向量，则r uuu，rnEB 0u r uuu ru rrx3z 0mAC 0即，所以可取n 3,0,3。设m是平面ABCD的法向量，则u，r uuu r4y 0mAB 0r u ru rr u rnm2 19r 同理可取m 0,3,4。则cos n,m r u，所以二面角E BC A的余弦19|n|m|值为2 19。19第 5 页 共 8 页19解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别是0.2,0.4,0.2,0.2，从而PX 160.20.2 0.04，PX 17 20.20.40.16，PX 18 20.20.20.40.40.24，PX 19 20.20.220.40.20.24，PX 20 20.20.40.20.2 0.2，PX 21 20.20.20.08，PX 220.20.20.04。因此X的分布列如下表所示；171819X16P0.040.160.240.242021220.20.080.04由知PX 18 0.44，PX 19 0.68，故n的最小值为 19；记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）。当n 19时，EY 192000.68192005000.21920025000.081920035000.04 4040，当n 20时，EY 202000.88202005000.082020025000.04=4080。可知当n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值，所以应选n 19。20解：因|AD|AC|，EB/AC，故EBD ACD ADC，|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|。又圆A的方程为x1 y216，故|AD|4，所2以|EA|EB|4。由题设得A1,0，B1,0，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方x2y21y 0；程为：43y kx1Mx1,y1，Nx2,y2，当l与x轴不垂直时，设l：y kx1k 0，由x2y213 48k24k212得4k 3x 8k x4k 12 0，故x1 x2，x1x2，所以224k 34k 3222212 k211 B 1,0|MN|1k|x1 x2|x1，点y 。过点且与 垂直的直线：lm4k23k2第 6 页 共 8 页44k23，故|PQ|2 42，从而四边形MPNQA到直线m的距离为422k1k1k122面积S11|MN|PQ|12 12。可知当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的24k3取值范围是12,8 3。当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为 12。综上，四边形MPNQ面积的取值范围是12,8 3。21解：由题fxx 1 e2a x 1x 1 e2a。若a0，则xxf xx2 ex，f x只有一个零点；若a0，则当x 1时，fx0；当x1时，fx0。所以f x在,1单调递减，在1,单调递增。又f 1e，f 2a，取b满足b0且blnaa223，则f bb2a b 1a bb0，故f x存222在两个零点；若a0，由fx0得x1或xln2a。如果ae 2，则ln2a1，故当x1时，fx0，因此f x在1,单调递增。当x 1时，f x0，故f x不存在两个零点。如果ae 2，则ln2a1，故当1xln2a时，fx0；当xln2a时，fx0。因此f x在1,ln2a单调递减，在ln2a,单调递增。又当x 1时，f x0，故f x不存在两个零点。综上，a的取值范围是0,；不妨设x1x2，由知x1,1，x21,，2x2,1，f x在,1单调递减，所以x1x22等价于f x1f 2x2，即f 2x20。由于f 2x2x2e2 x2a x21，而x22 ex2a x210，故f 2x2x2e2 x2x22 ex2。22设g xxe2 xx2 ex，则g xx 1 e2 xex。所以当x1时，g x0，故g xg 10，从而g x2f 2x20，所以x1x22。22解：设E是AB的中点，连OE。因OAOB，AOB120，故OEAB，0第 7 页 共 8 页AOE 600。在RtAOE中，OE 1AO，即O到直线2AB的距离等于e O的半径，所以直线AB与O相切；因OA 2OD，故O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心。设O是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO。由题知O在线段AB的中垂线上，又O在线段AB的中垂线上，故OO AB。同理可证OO CD，所以AB/CD。2223解：消去参数t得到C1的普通方程x y 1 a，C1是以0,1为圆心，a为2半径的圆。将x cos，y sin代入C1的普通方程，即得到C1的极坐标方程为22sin1a2 0；22sin1a2 022由得16cos8sincos1a 0。由已知可得 4cos。tan 2，故16cos28sincos 0，因此1a2 0，从而a 1（舍负）x4x 124解：fx3x21 x 3 2，故y fx的图像如图（略）；x 3 24 x由fx的表达式及图像，当fx1时，可得x 1或x 3；当fx 1时，可得x 1 3或x 5。故fx1的解集为x|1 x 3，fx1的解集为x|x 1 3或x 5。所以|fx|1的解集为x|x 1 3或1 x 3或x 5。第 8 页 共 8 页