【河南省】2017学年天一大联考高考模拟数学年(理科)试题(五).pdf

-1-/14 河南省河南省 2017 年年天一天一大联考高考大联考高考模拟模拟数学数学(理科理科)试卷（五）试卷（五）答答 案案 一、选择题 15DCBDA 610ACDAB 1112CB 二、填空题 136 1432 153 72 162 或2 33 三、解答题 17解：（）设90BAD，在RtABD中，tanBDAB，tanBDAB，在RtABE中，tan2BEAB，tan2BEAB，tantan2BDBE，则5tan2tan2，即22 tan25tan1tan，即25tan1，解得5tan=5（负值舍去），因此2AB=2 5tan（）由题意知02390 因为5tan=5，则6sin=6，30cos=6，则5sin2=2sin cos=3，222cos2=cossin3，即5sin2=3，2cos2=3 sinsin()2CBAC，3026530coscos(2)cos cos2sin sin2=636318BAC，30sinC18 -2-/14 18解：（）证明：90AB ，PEPDPEPC，PDPCPPCPDPCDPEPCD交于点，在平面内，平面，PEPEDPEDPCD在平面内，平面平面（）设正方形ABCD的边长为 2，取DC中点F，连接PF，EF，过点P作POEF于点O，易证CDPEF平面，所以CDPO，又CDEFFPOCDE，所以平面，PEPCDPFPCDPEPF平面，在平面内，22EFPE，30=3PFEPF且，32OF，3sin602POPE 以 F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则33(0,)22P，C(1,0,0)，E(0,2,0)，所以(1,2,0)EC，13(0,)22EP，设平面 PCE 的法向量为(,)mx y z，则203022m ECxyyzm EP 令1z，得(2 3,3,1)m，又平面CDE的一个法向量为(0,0,1)n，记二面角P CE D的平面角为，则2222 3 03 0 1 11cos41(2 3)(3)1 -3-/14 19解：（）依题意，该金匠加工饰品的废品率为15，他加工的 4 个饰品中，废品的数量不超过 1 的概率为：1344144512()()555625pC（）设 X 为加工出的成品数，则 X 可能的取值为 0，1，2，3，311(0)()=5125P X，1234112(1)()=55125P XC，2234148(2)()=55125P XC，3464(3)()=5125P X，112486433()(3)(32)(6 1)91251251251255E X ，故该金匠所获利润的数学期望是335万元 20.解：（）依题意有222cabb，把上式移项平方并把222abc，代入得2bc，又由222abc；所以椭圆的离心率225e=5ccabc（）设直线 l 的方程为()yk xc，先研究0k 的情况，要使|MFFP，则2Mxc，2215MMxbyba ，因此0()2 55(2c)5bkc 将直线 l 的方程和椭圆方程联立可得22222(15)5yxyabxc解得2MNxcxc -4-/14 由于点 N 的横坐标为 c，因此|PN也等于|PF，同理，当0k 时，由对称性可知2 55k ；直线 l 的斜率为2 55或2 55 21解：（）31()=2afxxx，0 x，设切点坐标为0(),0 x，由题意得320000002()=ln0331()=02f xaxxafxxx，解得0123xa；（）证明：3221()|(1)ln|3g xxxxx，令3221()(1)ln3h xxxxx，则2111()()()2h xxxxx，当1x 时，10 xx，()0h x，()h x又可以写成211()2xxxx，当01x时，210 xx，()0h x.因此()h x在(0),上大于 0，在(0),上单调递增，又(1)0h，因此()h x在(0),1上小于 0，在(1),上大于 0，(),1()(),01h x xg xh xx且()g x在(0),1上单调递减，在(1),上单调递增，(1)0g.当1x 时，101x，记1()()()()()()()(1+(11)xxG xg xgh xhf xfxfxfx，记函数()yfx的导函数为()yfx，则221()()111)()()G xfxfxffxxxx 2222111111()()22xxxxxxxxxx -5-/14 211(1)02xxxxxxx，故()G x在(1),上单调递增，所以()(1)0G xG，所以1()()0g xgx，不妨设1201xx，则122()()()1gggxxx，而101x，2101x，有单调性知121xx，即121x x 22解：（）曲线1C的普通方程为22()4xya，表示一个以(0,)a为圆心，2 为半径的圆；曲线2C的极坐标方程可化为22cossin，故对应的直角坐标方程为2yx（）将两方程联立得222()4xxyay得22(1 2)(4)0ya ya，由于两方程表示的曲线均关于 y 轴对称，所以只要关于 y 的方程有两个大于 0 的不等实根，即代表两个曲线有 4 个不同交点，因此有222401 20(1 2)4(4)0aaaa 解得1724a 23解：（）由1412()abab，可得116ab，11228116abab，当且仅当14ab时等号成立，因此11ab的最小值为 8（）因为123313322224aaaaababbb，即123314ab，变形可得216729a b，即2a b的最大值为16729，当且仅当2ab，即49a 且19b 时，等号成立 -6-/14 -7-/14 河南省天一市河南省天一市 2017 年大联考高考数学模拟理科试卷（五）年大联考高考数学模拟理科试卷（五）解解 析析 1【考点】1E：交集及其运算【分析】求解一元二次不等式化简集合 A，可知 A 是数集，集合 B 是点集，则 AB 是空集【解答】解：集合 A=x|x23x+20=x|1x2，B=（x，y）|xA，yA=（x，y）|，A 为数集，B 为点集，AB=故选：D【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化成 a+bi（a、bR）的形式，再求其模即可【解答】解：=i，=|i|=，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算和模的计算，是基础题 3【考点】CF：几何概型【分析】由题意，利用区间的长度比求概率即可【解答】解：在区间3，3上随机选取一个实数 x，对应事件的为区间才 6，而满足事件“2x30”发生的事件为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选 B【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键 4【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b，i 的值，当 i=3 时，满足条件 i3，退出循环，输出 a 的值为 4【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=，b=1，i=1，不满足条件 i3，-8-/14 a=，b=，i=2，不满足条件 i3，a=4，b=1，i=3，满足条件 i3，退出循环，输出 a 的值为 4 故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的 a，b，i 的值是解题的关键，属于基础题 5【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】由抛物线的准线方程，求得 p 的值，求得抛物线的方程及焦点坐标当 x=1 时，y=2，即可求得 M和 N 点坐标，即可求得线段 MN 的长【解答】解：由点 A（1，2）在抛物线 C：y2=2px 的准线上，则=1，则 p=2，则抛物线方程 y2=4x，焦点 F（1，0），当 x=1 时，y=2，则 M（1，2），N（1，2），线段 MN 的长丨 MN 丨=4，故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单性质，抛物线的通径求法，考查计算能力，属于基础题 6【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】分别平方，再相减即可求出答案【解答】解：，|2+2+|2=25，|22+|2=9，4=16，=4，故选：A【点评】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题 7【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：-9-/14 的几何意义为区域内的点到 P（3，2）的斜率，由图象知，PA 的斜率最大，由，得 P（2，0），故 PA 的斜率 k=2 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 8【考点】3O：函数的图象【分析】0a1，x0，的最小值大于等于 2，函数 y=ax和的图象不可能有两个交点，可得结论【解答】解：a0，是对勾函数，0a1，x0，的最小值大于等于 2，函数 y=ax和的图象不可能有两个交点，故选 D【点评】本题考查指数函数、对勾函数图象，考查了两个函数图象间的关系，是基础题 9【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，利用所给数据，即可求出体积【解答】解：由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，体积为=，故选 A【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键 10.【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数 f（x）的部分图象求出 A、B 的值，-10-/14 再根据 x=时 f（x）取得最大值，x=2 时 f（x）=0，列出方程组求出、的值，写出 f（x）的解析式，再计算 f（）【解答】解：由函数 f（x）=Asin（x+）+B 的部分图象知，2A=3（1）=4，解得 A=2，B=1；又 x=时，f（x）取得最大值 3，+=；x=2 时，f（x）=0，2+=；由组成方程组，解得=，=；f（x）=2sin（x+）+1，f（）=2sin（+）+1=2（）+1=0.故选：B【点评】本题考查了函数 f（x）=Asin（x+）+B 的图象与性质的应用问题，是基础题 11【考点】88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式【分析】由an是等差数列，bn是等比数列，且 a1=b1=1，a2017=b2017=2017，推导出 an=n，bn=（）n1，由此能求出结果【解答】解：an是等差数列，bn是等比数列，且 a1=b1=1，a2017=b2017=2017，a2017=1+2016d=2017，解得 d=1，a1018=1+2017=1018，a1019=1+1018=1019，a1018a1019，故 A 错误；b2017=2017，q=，a2016=1+2015=2016，a2016b2016不一定成立，故 B 错误；nN*，1n2017，an=n，anbn，故 C 正确；-11-/14 当 an=n=bn=（）n1时，n=1 或 n=2017，不存在 nN*，1n2017，使得 an=bn，故 D 不正确 故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题 12【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】画函数 f（x）的图象，利用数形结合的思想探讨方程 f2（x）+2a2=3a|f（x）|的根的情况，即可得出结论【解答】解：f（x）=的图象，如图所示，极小值点 x=1，f（1）=e f（x）0，方程 f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为 f（x）=a 或 f（x）=2a；f（x）0，方程 f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为 f（x）=a 或 f（x）=2a；方程 f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有 4 个不等实根，ae 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合、函数与方程的相互转化思想解题，属于高档题 二、二、13【考点】84：等差数列的通项公式【分析】设第一个人分到的橘子个数为 a1，由等差数列前 n 项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子-12-/14 个数【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为 a1，由题意得：，解得 a1=6 得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6 故答案为：6【点评】本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 14【考点】DC：二项式定理的应用【分析】展开（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+42ab3+b4，即可得出 a2b3项的系数【解答】解：（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+42ab3+b4，a2b3项的系数=8+622=32 故答案为：32【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15【考点】LG：球的体积和表面积【分析】求出 P 到平面 ABC 的距离为 3，可得球心 O 到平面 ABC 的距离，即可求出三棱锥的外接球半径【解答】解：设球心 O 到平面 ABC 的距离为 h，则 由 P 到平面 ABC 的距离为 3，可得球心 O 到平面 ABC 的距离为 h=，该三棱锥的外接球半径为=，故答案为【点评】本题考查三棱锥的外接球半径，考查面面垂直，比较基础 16【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出切线方程，与渐近线方程联立，利用该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，建立方程，即可得出结论【解答】解：由题意，切线方程为 y=（x+c），与 y=x 联立，可得（，），-13-/14 与 y=x 联立，可得（，），该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，（+）2+（）2=3a2，化简求得 e=2 或 故答案为 2 或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 17【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（）根据 tan=，tan2=，利用正切函数的二倍角公式，即可求得 tan，即可求得 AB 的长；（）sinC=sin（BAC）cosBAC=cos（+2），利用二倍角公式即可求得 sinC【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题 18【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）由 PEPD，PEPC得 PE平面 PCD，即可得平面 PED平面 PCD（）设正方形 ABCD 的边长为 2，取 DC 中点 F，连接 PF，EF，过点 P 作 POEF 于点 O，易证 CDPO，PEPF，由 EF=2PE=2，得PFE=30 且，以 F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，C（1，0，0），E（0，2，0），利用向量法求解【点评】本题考查了空间面面垂直，向量法求二面角，属于中档题 19【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C5：互斥事件的概率加法公式【分析】（）依题意，该金匠加工饰品的废品率为，由此利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出他加工的 4 个饰品中，废品的数量不超过 1 的概率（）设 X 为加工出的成品数，则 X 可能的取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该金匠所获利润的数学期望【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题 -14-/14 20.【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（）依题意有，将其变形可得 b=2c，结合椭圆的几何性质以及离心率公式可得，计算可得答案；（）设直线 l 的方程为 y=k（x+c），当 k0 时，表示出 k 和 xM、yM，将直线 l 的方程和椭圆方程联立，解可得 xM、yM的值，由斜率公式计算可得 k 的值，同理分析 k0 时可得 k 的值，综合可得答案【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是依据题意，求出椭圆的标准方程 21【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）设出切点坐标，得到关于 a 的方程组，求出 a 的值即可；（）令，根据函数的单调性求出 g（x）的表达式，令 G（x）=g（x）g（），根据函数的单调性得到，从而证明结论即可【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题 22【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（）利用三种方程的转化方法，求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（）由于两方程表示的曲线均关于 y 轴对称，所以只要关于 y 的方程有两个大于 0 的不等实根，即代表两个曲线有 4 个不同交点，即可求 a 的取值范围【点评】本题考查三种方程的转化，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键 23【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】（）根据题意，由基本不等式可得，进而可得 ab 的最大值，由基本不等式分析可得，即可得答案；（）根据题意，将变形可得 1=+=+，由基本不等式分析可得答案【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件