2018学年高考理科数学年全国卷1.pdf

1/6 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】D【解析】2323iii 2.【答案】C【解析】因为1,3,5,7A,2,3,4,5B,故3,5AB 3.【答案】B【解析】f xfx,所以 f x为奇函数,排除 A,又x,xxee,2x.4.【答案】B【解析】22 13aa baa b（2-）=2.5.【答案】D【解析】记选中的 2 人都是女同学为事件 A,则 2335310CCP A.6.【答案】A【解析】3cea,222223 12bcaaa,2ba.7.【答案】A【解析】5cos25C,213cos2cos121255CC ,2223152 1 5()266325AB ,4 2AB.8.【答案】B【解析】1i 时,120011NT，,2i 时,1111102034NT，,依次下去2ii.9.【答案】C 2/6 【解析】如图：取中点1DD中点为F,连接EF,则EFCD AE与CD所成的角即为AEF,在AEF中,90AEF 52AEtan AEFEF 10.【答案】C【解析】cossin2cos4f xxxx,f x在0,a上单调递减,则34a.34maxa 11.【答案】D【解析】设2PFr,13PFr,122FFr,又32rra,312ar,22rc,cr 31cea 12.【答案】C【解析】11fxfx,yf x图象关于1x 对称,又是奇函数,f x是一个周期函数,且4T;又 12f,2f xfx,200ff,3112fff,400ff,12,20,32,40ffff,12 50122fffff 二、填空题 13.【答案】22yx【解析】2lnxy,2 yx 12xy 在点0,0处的切线方程为：2122yxx.14.【答案】9【解析】当zxy,过点5,4C时,z有最大值9maxz 15.【答案】32【解析】51tan45,即1tan1tan451tantan=32 16.【答案】8 3/6 【解析】ABCSSSl,30,3CClSAA,2ABl.2182ABCSl,4l,4AC,2 3r,24122 h21112 2833Vrh.三、解答题 17.【答案】(1)29nan(2)22()8416nSnnn,最小值为16【解析】解：(1)设 na的公差为1d由题意得133?15ad.由17a 得.所以 na的通项公式为29nan (2)由(1)得22(8416)nSnnn.所以当4n 时,nS取得最小值,最小值为16 18.【答案】(1)模型:30.4 13.5 19226.1y(亿元),模型:99 17.5 9256.5y (亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠.【解析】解：(1)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 3 0.41 3.51 92 2 6.1y(亿元).利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 99 17.5 9256.5y (亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.4 13.5yt上下,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 4/6 99 17.5ty 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.【答案】(1)见解析(2)4 55【解析】证明：(1)因为4APCPAC,O 为 AC 的中点,所以OPAC,且 OP=2 3.连结 OB.因为22ABBCAC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,122OBAC.由222OPOBPB知,OPOB.由OPOB,OPAC知POABC平面.(2)作CHOM,垂足为 H.又由(1)可得OPCH,所以CHPOM平面.故 CH 的长为点 C 到POM平面的距离.由题设可知 OC=12AC=2,23CMBC=4 23,45ACB.所以 OM=2 53,CH=sinOC MCACBOM=4 55.所以点 C 到平面 POM 的距离为4 55.20.【答案】(1)1yx(2)22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy【解析】解：(1)由题意得()1,0F,l的方程为1()(0)yk xk.设11(),A x y,22(),B x y.由2(1)4yk xyx，得2222(24)0k xkxk.216160k,故212224kxxk.5/6 所以212244(1)(1)kABAFBFxxk.由题设知22448kk,解得1,1()kk舍去.因此l的方程为1yx(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx,即5yx.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y,则 00220005(1)(1)16.2yxyxx，解得0032xy，或00116.xy，因此所求圆的方程为 22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy.21.【答案】(1)f x的单调递增区间为,32 3,32 3,f x的单调递减区间为32 3,32 3(2)见解析【解析】解：(1)当3a 时,321()3333xfxxx,2()63xfxx.令)0(fx解得32 3x 或32 3x .6361264 332 322x或32 3x时,)0(fx；32 332 3x,)0(fx.f x的单调递增区间为,32 3,32 3,f x的单调递减区间为32 3,32 3(2)证明：由于210 xx,所以()0f x 等价于32301xaxx.设()g x=3231xaxx,则2222(23)()(10)xgxxxxx,仅当0 x 时)0(g x,所以()g x在(),单调递增.故()g x至多有一个零点,从而()f x至多有一个零点.又221311()626()03661aaaaf,1()0331fa,故()f x有一个零点.6/6 综上,()f x只有一个零点.因为211()(1)(1 3)33f xxxxa,22131()024xxx,所以1(13)03fa,2(23)(1)0faxx.综上,()f x只有一个零点.22.【答案】(1)当cos0时,l的直角坐标方程为tan2tanyx,当cos0时,l的直角坐标方程为1x.(2)直线l的斜率tan2k.【解析】解：(1)曲线C的直角坐标方程为221416xy.当cos0时,l的直角坐标方程为tan2tanyx,当cos0时,l的直角坐标方程为1x.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin)80tt.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为1t,2t,则120tt.又由得1224(2cossin)1 3costt,故2cossin0,于是直线l的斜率tan2k.23.【答案】(1)()0f x 的解集为|23xx.(2)a的取值范围是(,62,)【解析】解：(1)当1a 时,24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx 可得()0f x 的解集为|23xx.(2)()1f x 等价于|2|4xax.而|2|2|xaxa,且当2x 时等号成立.故()1f x 等价于|2|4a.由|2|4a可得6a 或2a,所以a的取值范围是(,62,).