(精编版)2019年北京中考数学习题：新定义型问题.pdf

2019 年北京中考数学习题精选：新定义型问题一、选择题1、(2018 北京昌平区初一第一学期期末)用“”定义一种新运算：对于任意有理数a 和 b，规定 ab=ab2+a.如：13=132+1=10.则（-2）3 的值为A10 B-15C.-16 D-20答案：D二、填空题3、（2018 北京西城区七年级第一学期期末附加题）1 用“”定义新运算：对于任意有理数 a，b，当 ab 时，都有ab a2b；当 ab 时，都有ab ab2那么，26=，()(3)=答案：24，-64（2018 北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB BC，M是弧ABC的中点，MF23 AB于F，则AF FB BC如图 2，ABC中，ABC 60，AB 8，BC 6，MFADCBCEBD是AB上一点，BD1，作DE AB交ABC的外接圆于E，连接EA，则EAC=_答案答案 60605、(2018 北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，A图1图2两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有_个三、解答题6、（2018 北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a b例如：=ad bcc d123 4 1 4-23=-2.5264的值（1）按照这个规定，请你计算2x421 5时求x的值2（2）按照这个规定，当x2答案（1）5264 =20-12=8 2（2）由2x4x221 52得1(2x4)2(x2)542解得，x=157、（2018 北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：（a，b）（c，d）=bcad.例如：（1，2）（3，4）=2314=2根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，3）（3，2）=;（2）若有理数对（3，2x1）（1，x+1）=7，则 x=;（3）当满足等式（3，2x1）（k，xk）=52k 的 x 是整数时，求整数 k 的值答案.解：（1）5.分（2）1.分（3）等式（3，2x1）（k，xk）=52k 的 x 是整数（2x1）k（3）（xk）=52k（2k3）x=5x 52k 3k 是整数2k+3=1 或5k=1，1，2，4.分8、(2018 北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数 a，b，定义运算：ab=a(a b)1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，25=2（2+5）1=13；(3)(5)3(35)1 23（1）求(2)3的值；（2）对于任意有理数 m，n，请你重新定义一种运算“”，使得 5320，写出你定义的运算：mn（用含 m，n 的式子表示）1211 2(23)122 4.（2）答案不唯一，例如：m n m(n1).答案解：（1）(2)39（2018 北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A 或 B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点 A，B 的“确定圆”如图为点 A，B的“确定圆”的示意图（1）已知点 A 的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,3)，则点 A，B 的“确定圆”的面积为_；（2）已知点 A 的坐标为(0,0)，若直线y xb上只存在一个点 B，使得的“确定圆”的面积为9，求点 B 的坐标；（3）已知点 A 在以P(m，0)为圆心，以 1 为半径的圆上，点B 在直线y A AB B点 A，B3x 3上，3若要使所有点 A，B 的“确定圆”的面积都不小于9，直接写出m的取值范围解：（1）25；2 分（2）直线y xb上只存在一个点B，使得点A,B的“确定圆”的面积为9，A的半径AB3且直线y xb与A相切于点B，如图，ABCD，DCA 45当b 0时，过 点B作在C CE EA ABBB BD D3 3l lx xy yl l则点B在第二象限BE x轴于点E，RtBEA中，BAE 45，AB3，3 22BE AE（B3 2 3 2，）22当b0时，则点B在第四象限同理可得B（3 22，3 22）3 2 3 23 23 2，）（，）或2222 6 分（综上所述，点B的坐标为（3）m5或m11y1)与B(x2，y2)，10（2018 北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系 xOy 中，点A(x1，如果满足x1 x20，y1 y20，其中x1 x2，则称点 A 与点 B 互为反等点已知：点 C(3，4)y（1）下列各点中，与点C 互为反等点；D(3，4)，E（3，4），F（3，4）（2）已知点 G（5，4），连接线段 CG，若在存在两点 P，Q 互为反等点，求点 P 的横取值范围；（3）已知O 的半径为 r，若O 与（2）中线个交点互为反等点，求 r 的取值范围解：(1)F1 分(2)-3xp3 且xp04 分(3)43或x 3.8分16.（2018 北京平谷区中考统一练习）在点 M 的坐标为x1,y1，点 N 的坐标为Hy4 43 3E2 21 1D 4 4 3 3 2 2 1 1 O 1 1 2 2 3 3 4 41 12 2y=x+by=x+b2 23 34 4xy=x+by=x+b1 1平面直角坐标系 xOy 中，x2,y2，且x1 x2，的两条对角线分别平行菱形”.AB 为边的“坐标菱形”以CD为边的“坐标菱形”y1 y2，以 MN 为边构造菱形，若该菱形于 x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标（1）已知点A（2,0），B（0,23），则以的最小内角为_；（2）若点 C（1,2），点 D 在直线 y=5 上，为正方形，求直线 CD 表达式；（3）O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m).若在O 上存在一点 Q，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求 m 的取值范围解：（1）60；1（2）以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形，直线 CD 与直线 y=5 的夹角是 45过点 C 作 CEDE 于 ED（4,5）或2,5 3直线 CD 的表达式为y x1或y x3 5（3）1 m5或5 m 1 717（2018 北京顺义区初三练习）如图 1，对于平面内的点 P 和两条曲线L1、L2如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值给 出Q2Q1PL1图1OMNPQ1PQ2L2心”同 心为 总心”为 OPQ1为“曲似比”，点 P 为“曲PQ2例如：如图 2，以点 O为圆心，半径分别为r1、r2（都是常数）的两个圆C1、C2，从点 O任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因rOMr1是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为1，有“曲ONr2r2C2C1图2（1）在平面直角坐标系 xOy 中，直线y kx与抛物线y x2、y 12x分别交于点 A、B，如图3 所2示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，B 作 x 轴的垂线，垂足为 C，是否存在 k 值，O 与直线 BC 相切？若存在，求出 k 的值；若在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“y“y 过 点使 不 存12x”改为212，其他条件不变，当存在O 与直线 BC 相切时，直接写出 m 的取值范围及 k 与 mx”m之间的关系式解：（1）是过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为D，C依题意可得 A（k,k2）,B（2k,2k2）2 分因此 D（k,0），C（2k,0）ADx 轴，BCx 轴，8ADBCOAODk1OBOC2k21 3 分26B两抛物线曲似，曲似比是4A2（2）假设存在 k 值，使O 与直线 BC 相切则 OA=OC=2k，又OD=k，AD=k2，并且 OD2+AD2=OA2，k2+（k 2）2=（2k）2k 3（舍负）由对称性可取k 3综上，k 3 6 分（3）m 的取值范围是 m1，k 与 m 之间的关系式为 k 2=m2-1 8 分18、（2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点 P，给出如下定义：记点P 到 x 轴的距离为d1，到y 轴的距离为d2，若d1 d2，则称d1为点 P 的最大距离；若d1 d2，则称d2为点 P 的最大距离.例如：点 P（3，4）到到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，因为 34，所以点 P 的最大距离为4.（1）点 A（2，5）的最大距离为；若点 B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点 C 在直线y x2上，且点 C 的最大距离为5，求点 C 的坐标；（3）若O 上存写出O 的半径解：（1）在点 M，使点 M 的最大距离为5，直接r 的取值范围.y y5 54 43 32 21 155 44 33 22 11O O112233445551 分1 12 23 34 45 5x x53 分（2）点 C的最大距离为 5，当x 5时，y 5，或者当y 5时，x5.4 分分别把x5，y 5代入得：当x5时，y 7，当x5时，y 3，当y 5时，x7，当y 5时，x3，点C（5，3）或（3，5）.5 分（3）5 r 5 2.7 分19、（2018 北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy 中，点A（0,6），点 B 在 x 轴的正半轴上.若点 P,Q 在线段 AB 上，且 PQ 为某个一边与 x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点 P,Q 的“X矩形”.下图为点 P,Q 的“X 矩形”的示意图.（1）若点 B（4,0），点 C 的横坐标为 2，则点 B,C 的“X 矩形”的面积为.（2）点 M，N 的“X 矩形”是正方形，当此正方形面积为 4，且点 M 到 y 轴的距离为 3 时，写出点 B 的坐标，点 N 的坐标及经过点 N 的反比例函数的表达式；当此正方形的对角线长度为3，且半径为 r 的O 与它没有交点，直接写出r 的取值范围.y yy y7 77 7A A6 66 65 55 5P P4 44 43 33 3备用图2 22 2Q Q1 11 1答案：（1）6；1 分O O1 12 23 3B B4 45 5 x x（2）B（6,0）分x x-1-1-1-1O O1 12 23 34 45 526 6-1-1-1-1N（1,5）或 N（5,1）4 分y 5；5 分x9 23或r.8 分220 r 3 2 20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点 M 和图形 G，若在图形 G 上存在一点N，使 M，N 两点间的距离等 于 1，则称 M 为图形 G 的和睦点（1）当O 的半径为 3 时，在点 P1（1,0），P2（3,1），P3（7,0），P4（5,0）中，O 的和睦点是_；2（2）若点 P（4,3）为O 的和睦点，求O 的半径 r 的取值范围；（3）点 A 在直线 y=1 上，将点 A 向上平移 4 个单位长度得到点B，以 AB 为边构造正方形 ABCD，且 C，D 两点都在 AB 右侧已知点E（2,2），若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点 A 的横坐标xA的取值范围答案：解：（1）P2，P3；2 分（2）由勾股定理可知，OP=5，以点 O 为圆心，分别作半径为 4 和 6 的圆，分别交射线 OP 于点 Q，R，可知 PQ=PR=1，此时 P 是O 的和睦点；若O 半径 r 满足 0r1，此时，P 不是O 的和睦点；若O 半径 r 满 r6 时，r-OP1，此时，P 也不是O 的和睦点；若O 半径 r 满足 4r6 时，设O 与射线 OP 交于点 T 即 PT1 时，可在O 上找一点 S，使PS=1，此时P 是O 的和睦点；综上所述，4r64 分（3）52xA3，或2 1xA1 8 分21、（2018 北京丰台区第一学期期末）28对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和C，给出如下定义：如果C 的半径为 r，C 外一点 P 到C 的切线长小于或等于 2r，那么点 P 叫做C 的“离心点”.（1）当O 的半径为 1 时，31，），P2（0，2），P3（5，0）中，O 的“离心点”是；22点 P（m，n）在直线y x 3上，且点 P 是O 的“离心点”，求点 P 横坐标 m 的取值范围；在点 P1（2）C 的圆心 C 在 y 轴上，半径为2，直线y 1x 1与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B.如果线段 AB 上的2所有点都是C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解：（1）P2，P3；2 分2设P（m,m3），则m m 3 5.3 分2解得m11，m2 2.4 分故 1m2.6 分（2）圆心 C 纵坐标yC的取值范围为：12 5yC1 5或3yC4.8 分22、（2018 年北京海淀区第一学期期末）对于C 与C 上的一点 A，若平面内的点 P 满足：射线AP 与C 交于点 Q（点 Q 可以与点 P 重合），且1PA 2，则点 P 称为点 A 关于C 的“生长点”QA已知点 O 为坐标原点，O 的半径为 1，点 A（-1，0）（1）若点 P 是点 A 关于O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标_；（2）若点 B 是点 A 关于O 的“生长点”，且满足tanBAO12，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；（3）直线y 3xb与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在点 A 关于O 的“生长点”，直接写出 b 的取值范围是_y5432y5432321O123456A112345x321O123456A112345x解：（1）（2，0）(答案不唯一).1 分（2）如图，在 x 轴上方作射线 AM，与O 交于 M，且使得tanOAM 1，并在 AM 上取点 N，使2AM=MN，并由对称性，将 MN 关于 x 轴对称，得MN，则由题意，线段 MN 和MN上的点是满足条件的点 B.yNMAOx作 MHx 轴于 H，连接 MC，MHA=90，即OAM+AMH=90.AC 是O 的直径，AMC=90，即AMH+HMC=90.OAM=HMC.1tanHMC tanOAM.2MHHC1.HAMH2设MH y，则AH 2y，CH HCMN1y，2544AC AH CH y 2，解得y，即点 M 的纵坐标为.5528又由AN 2AM，A 为（-1，0），可得点 N 的纵坐标为，548故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足：t.3 分5584由对称性，在线段MN上，点 B 的纵坐标 t 满足：t .4 分558448点 B 的纵坐标 t 的取值范围是 t 或t.5555（3）43 b 1或1 b 43.7 分23、（2018 北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为 x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点 A(1,2)、B(2,1)、M(11，1)、N(1，)中，是“关系点”的；22(2)O 的半径为 1，若在O 上存在“关系点”P，求点 P 坐标；(3)点 C 的坐标为(3，0)，若在C 上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P 的横坐标满足-2x2.请直接写出C 的半径 r 的取值范围解：(1)A、M.2 分(2)过点 P 作 PGx 轴于点 G3 分设 P（x，2x）OG2+PG2=OP24 分x2+4x2=15x2=1y y1x=521O OP P5x=5P(x x1G G1155，2 55)或P(55，2 5)5 分56 5或17 r5417 分(3)r=y7 76 65 54 43 32 21 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111x沟区第一学期期末调研试卷）以点P的一条射线PN，以它为对称轴向左右对PN1，PN2，N1PN2为点P的我们规定：“摇 4 4 3 3 2 2 1 1O 1 124、（2018 北京门头 2 2为端点竖直向下 3 3 4 4称摆动形成了射线 5 5摆角”，射线PN摇摆 6 6PN2）.扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，在平面直角坐标系 xOy 中，点P(2,3).（1）当点P的摇摆角为60时，请判断O(0,0)、A(1,2)、B(2,1)、C(23,0)属于点P的摇摆区域内的点是_（填写字母即可）；5,0)（2）如果过点D(1,0)，点E(的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为_；（3）W的圆心坐标为(a,0)，半径为1，如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，求a的取值范围y y备用图解：（1）点 B，点 C；2 分O O3 分（2）90 x x（3）当W运动到摇摆角的内部，与PF 左边的射线相切时如图 28-1点P(2,3)的摇摆角为 60KPF 30，PF 3在 RtPFK 中，tanKPF tan30 可求得KF 3KPF 30，PKF 60KF在PFy yP PQW，在 RtPFK 中，sin QKF sin 60 Q QKWO O K KWWF Fx x可求得KW 233OW OF KF KW 2 3 23 2 1333当W运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图 28-2同理可求得OW=2+1332 13a2+1333y yP PQQx xF F WWKKO O25、（2018 北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy中的点 P 和图形 G,给出如下的定义：若在图形 G 上存在一点Q,使得P、Q之间的距离等于 1，则称 P 为图形 G 的关联点.（1）当O的半径为 1 时，12点P3(0,3)中，1(,0),P2(1,3),PO的关联点有_.O的关联点，求点 P 的横坐标x的取直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点 P 在直线上.若 P 是值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为 4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围.y54321-5-4-3-2-1y5432112345-5-4-3-2-1O O-1-2-3-4-5xO O-1-2-3-4-512345x备用图备用图答案：（1）P1、P22 分（2）如图，以O为圆心，2 为半径的圆与直线 y=1 交于P1,P2两点.线段P1P2上的动点 P（含端点）都是以O为圆心，1 为半径的圆的关联点.故此 3 x 3.y y5 54 43 3P12 21 11 1P22 23 34 45 5x xO O-5-5-4-4-3-3-2-2-1-1O O-1-1-2-2-3-3-4-4-5-56分（3）由已知，若 P 为图形 G 的关联点，图形 G 必与以 P 为圆心 1 为半径的圆有交点.正方形 ABCD 边界上的点都是某圆的关联点该圆与以正方形边界上的各点为圆心1 为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以 O 为圆心，3 为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以 O 为圆心，2 2 1为半径的圆.综上所述，2 2 1 r 3.8分26、（2018 北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”（1）以 O 为圆心，半径为 5 的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点 M,N 是一对“互换点”，点 M 的坐标为(m,n)，且(mn)，P 经过点 M,N点 M 的坐标为(4,0)，求圆心 P 所在直线的表达式；P 的半径为 5，求 mn 的取值范围解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）；.2（2）连结 MN，OM=ON=4，Rt OMN 是等腰直角三角形过 O 作 OAMN 于点 A，点 M,N 关于直线 OA 对称.3由圆的对称性可知，圆心P 在直线 OA 上.4圆心 P 所在直线的表达式为 y=x.5当 MN 为P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知mn=5 2；.6当点 M,N 重合时，即点 M,N 横纵坐标相等，所以mn=0；.7mn 的取值范围是 0mn5 2.827、（2018 北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，点P 的坐标为(x1,y1)，点Q 的坐标为(x2,y2)，且x1 x2，y1 y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q 的“相关等腰三角形”下图为点 P，Q 的“相关等腰三角形”的示意图yQPOx（1）已知点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(3,0)，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为_；（2）若点 C 的坐标为(0,3)，点 D 在直线y 4 3上，且 C，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线 CD 的表达式；（3）O 的半径为2，点N 在双曲线y 3上若在O 上存在一点 M，使得点M、N 的“相关等腰三x角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标xN的取值范围解：（1）120；2分（2）C,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60，底边与x轴平行，4 3)或(3，4 3)，进直线 CD 与x轴成 60角，与y轴成 30角，通过解直角三角形可得D的坐标为(3，一步得直线CD的表达式为y 3x 3或y 3x 3.5分（3）3 xN1或1 xN3.8 分28、（2018 北京通州区第一学期期末）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为dP.特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为 0.当O的半径为 2 时：（1）若点C1,0，D3,4，则dC_，dD_；2（2）若在直线y 2x2上存在点P，使得dP 2，求出点P的横坐标；（3）直线y 3xbb 0与x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得2 dP 3，3请你直接写出b的取值范围.答案：29、（2018 北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 两点的坐标分别为A(2,2)，B(2,2)对于给定的线段AB 及点 P，Q，给出如下定义：若点 Q 关于 AB 所在直线的对称点Q落在ABP 的内部（不含边界），则称点 Q 是点 P 关于线段 AB 的内称点（1）已知点P(4,1)在Q1(1,1)，Q2(1,1)两点中，是点 P 关于线段 AB 的内称点的是_；若点 M 在直线y x1上，且点 M 是点 P 关于线段 AB 的内称点，求点 M 的横坐标xM的取值范围；（2）已知点C(3,3)，C 的半径为 r，点D(4,0)，若点 E 是点 D 关于线段 AB 的内称点，且满足直线 DE与C 相切，求半径 r 的取值范围答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A(2,0)，点B(1,1)，点C(1,2)，则A、B、“横长”a=|1(2)|=3，A、B、C三点的“纵长”C三点的y4321B4xA4 3 2 1O1231C234b=|1(2)|=3.因为a=b，所以A、B、C三点为正方点.（1）在点R(3，5)，S(3，2)，T(4，3)中，与点A、B为正方点的是；（2）点 P(0，t)为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为；（3）已知点D(1，0).平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；若直线l：y 1x m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m 的取值范围2y543245x5432yDA5 4 3 2 1O 1231234511DA5 4 3 2 1O 1231234545x（备用图）解：（1）点R1 分（2）2 或 33 分（3）画出如图所示的图像5 分my54321AD5 4 3 2 1O1231234545x5或m 27 分231、（2018 北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线 m，给出如下定义：若存在一点 P，使得点 P 到直线 m 的距离等于，则称 P 为直线 m 的平行点（1）当直线 m 的表达式为 y=x 时，在点 P1（1，1），P2（0，2），P3（22，）中，直线 m 的平行点是；22O 的半径为10，点 Q 在O 上，若点 Q 为直线 m 的平行点，求点 Q 的坐标.（2）点 A 的坐标为（n，0），A 半径等于 1，若A 上存在直线y 3x的平行点，直接写出 n 的取值范围答案：（1）P2，P32 分解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m，且到直线 m 的距离为 1 的直线.设该直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.如图 1，当点 B 在原点上方时，作OHAB 于点 H，可知 OH=1.由直线 m 的表达式为 y=x，可知OAB=OBA=45.所以 OB=2.直线 AB 与O 的交点即为满足条件的点Q.连接 OQ1，作 Q1Ny 轴于点 N，可知 OQ1=10.在 RtOHQ1中，可求 HQ1=3.所以 BQ1=2.在 RtBHQ1中，可求 NQ1=NB=2.所以 ON=2 2.所以点 Q1的坐标为（2，2 2）.同理可求点 Q2的坐标为（2 2，2）.4 分如图 2，当点 B 在原点下方时，可求点Q3的坐标为（2 2，2）点 Q4的坐标为（2，2 2）.6 分综上所述，点Q 的坐标为（2，2 2），（2 2，2），（2 2，2），（2，2 2）.（2）32、（2018 北京东城区二模）研究发现，抛物线y 距离相等.如图 1 所示，若点 P 是抛物线y 4 34 3n.8 分3312x上的点到点 F(0，1)的距离与到直线 l：y 1的412x上任意一点，PHl 于点 H，则PF PH.4基于上述发现，对于平面直角坐标系 xO y 中的点 M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为 d，称 d 为点 M 关于抛物线y 关联点.121x的关联距离；当2d4时，称点M 为抛物线y x2的444)中，抛物线y 0)，M2(1，2)，M3(4，5)，M4(0，（1）在点M1(2，12x的关联点是_；41)，点A(t 1，3)C(t.（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，点A(t，若 t=4，点 M 在矩形 ABCD 上，求点 M 关于抛物线y 若矩形 ABCD 上的所有点都是抛物线y 12x的关联距离 d 的取值范围；412x的关联点，则 t 的取值范围是_.4(1)M1，M2；-2分（2）当t 4时，A41，3，D4，3，B51，C5，此时矩形ABCD上的所有点都在抛物线y d MF.AFdCF.AF=4，CF=29，4d 29.-5分-2 3t2 3 1.-8 分33、（2018 北京房山区二模）已知点P，Q 为平面直角坐标系 xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作P，则称点 Q 为P 的“关联点”，P 为点 Q 的“关联圆”.13（1）已知O 的半径为 1，在点 E（1，1），F（2，2），M（0，1）中，O 的“关联点”为；（2）若点 P（2，0），点 Q（3，n），Q 为点 P 的“关联圆”，且Q 的半径为 5，求 n 的值；（3）已知点 D（0，2），点 H（m，2），D 是点 H 的“关联圆”，直线y 12x的下方，44x4与3x 轴，y 轴分别交于点 A，B.若线段 AB 上存在D 的“关联点”，求 m 的取值范围.解：（1）F，M.2（注：每正确 1 个得 1 分）（2）如图 1，过点 Q 作 QHx 轴于 H.PH=1，QH=n，PQ=5222由勾股定理得，PH+QH=PQ即1 n 2252解 得，n 2或 2.4（3）由y 可得 AB=5I.如图 2（1），当D 与线段 AB 相切于点 T 时，连接 DT.则 DTAB，DTB=90sinOBA D DO O4x4，知 A（3，0），B（0，4）3y yB BT TH H1 1A Ax xOADTABBD图图2 2(1 1)6可得 DT=DH1=5m1y y655B BII.如图 2（2）,当D 过点 A 时，连接 AD.由勾股定理得 DA=OD2+OA2=DH2=13 6综合 I，II 可得：-13m-34、（2018 北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点Px1,y1与QD DO OA AH H2 2x x66或m 13855图图2 2(2 2)x2，y2之间的“直距”定义为：DPQ x1 x2 y1 y2.例如：点 M（1，2），点 N（3，5），则DMN已知点 A(1，0)、点 B(-1，4).（1）则DAO 13 2(5)5._，DBO _；（2）如果直线 AB 上存在点 C，使得DCO为 2，请你求出点 C 的坐标；（3）如果B 的半径为3，点E 为B 上一点，请你直接写出DEO的取值范围.y654321答案.（1）DAO1，DBO5；分54321O123456x7261（2）如图：23解法 1：由点 A 和点 B 坐标可得，直线 AB 的解析式为 y=-2x4+2.设点 C 的坐标为（x，-2x+2），则x 2x 2 2，则点 C 的坐标为（0，2）或(,).7+2.解法 2：由点 A 和点 B 坐标可得，直线 AB 的解析式为 y=-2x8564323点 C 与点 O 之间的“直距DCO”为 2 的运动轨迹为以点 O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为 4 的正方形.设点 C 的坐标为（x，-2x+2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2）或(,).5 分（3）DEO的取值范围为42 2 DEO53 27 分35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任4323意两点(a,b1)，(a 1,b2)，b2b1 k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数 例如，函数y x 2，当x取值a和a1时，函数值分别为b1 a 2，b2 a 1，故b2b1 1 k，因此函数y x 2是限减函数，它的限减系数为1（1）写出函数y 2x1的限减系数；（2）m 0，已知y 1（1 x m,x 0）是限减函数，且限减系数k 4，求m的取值范围x（3）已知函数y x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k 1，直接写出P点横坐标n的取值范围答案 28解：（1）函数y 2x1的限减系数是 2；（2）若m 1，则m1 0，（m1，11）和（m，）是函数图象上两点，m1m111 0，与函数的限减系数k 4不符，m 1mm1m(m1)若0 m 111，（t 1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点，则0t m，2t 1t111，tt 1t(t 1)11111t(t 1)0，且t(t 1)(t)2(m)2，2424411 4，与函数的限减系数k 4不符.tt 11m 2111若 m 1，（t 1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点，则0t m，2t 1t111，tt 1t(t 1)111t(t 1)0，且t(t 1)(t)2，2441111 4，当t 时，等号成立，故函数的限减系数k 4tt 1t(t 1)2m的取值范围是（3）-1 n 11 m 1236（2018 北京市东城区初二期末）定义：任意两个数a,b，按规则c abab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”.（1）若a 2,b 1,直接写出a,b的“如意数”c；（2）如果a m4,b m,求a,b的“如意数”c，并证明“如意数”c 0232（3）已知a=x 1(x 0)，且a,b的“如意数”c x 3x 1,，则b(用含x的式子表示).解：（1）c 2 2 1.2分（2）a m4,b mc (m4)(m)(m4)(m)m24m4c 0 5分（3）b x 26分4分c m24m4 (m2)237.（2018 北京市平谷区初二期末）对于实数 a，我们规定：用符号为 a 的根整数，例如：93，10 3.(1)仿照以上方法计算：4 _;26 _.（2）若x 1，写出满足题意的 x 的整数值_.a表示不大于a的最大整数，称a如果我们对 a 连续求根整数，直到结果为 1 为止.例如：对 10 连续求根整数 2 次10 3 3 1，这时候结果为 1.（3）对 100 连续求根整数，_次之后结果为 1.（4）只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为1 的所有正整数中，最大的是_.解：(1)2,5(2)1,2,3(3)3(4)25538.（2018 北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.x1a2bx ya2b2（1）下列分式:2；2；2；.其中是“和谐分式”是(填写序号即可)；222x yx 1a b(ab)x1（2）若a为正整数，且2为“和谐分式”，请写出a的值;x ax44a2ab时，（3）在化简23ab bb4小东和小强分别进行了如下三步变形:22234a2a44a24a4a b 4aab b小东：原式=2232ab b3bbab2b3b2ab bb24a2a44a24a4a 4aa b2小强：原式=2232ab bbbba bba bb显然，小强利用了其中的和谐分式,第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简请你接着小强的方法完成化简.解：（1）1 分（2）4，53 分（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简最简公分母.4 分4a24a2 4ab原式2a bb4a4ab4a5 分a bb2a bbabb239（2018 北京市西城区八年级期末附加题）我们把正n 边形（n3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正 n 边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n 边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an如图 1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3=12图 3、图 4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”图 1图 2图 3图 4（1）如图 2，在 55 的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图 2 中用实线画出此正方形的“扩展图形”；（2）已知a3=12，a4=20，a5=30，则图 4 中a6=_，根据以上规律，正n 边形的“扩展图形”中an=_；（用含 n 的式子表示）111111111111（3）已知，且a334a445a556a3a4a5解：（1）如图所示；2 分（2）42，n(n1)；4 分（3）99 6 分40.（2018 北京西城区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点Q(x,y)（x0），将它的纵坐标 y 与横坐标 x197，则 n=_an300y2称为点 Q 的“理想值”，记作LQ.如Q(1,2)的“理想值”LQ 2.1x（1）若点Q(1,a)在直线y x4上，则点 Q 的“理想值”LQ等于_；的比如图，C(3,1)，C 的半径为 1.若点 Q 在C 上，则点 Q 的“理想值”LQ的取值范围是.（2）点 D 在直线y 3x+3上，D 的半径为 1，点 Q 在D 上运动时都有30LQ3，求点 D 的横坐标xD的取值范围；（3）M(2,m)（m0），Q 是以 r 为半径的M 上任意一点，当0LQ2 2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径 r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）解：（1）1 分0LQ2 分（2）设直线y 3x+3与 x 轴，y 轴的交点分别为点 A，点 B，可得A(3 3,0)，3B(0,3)OA3 3，OB3，