2022年广东省中山市中考数学试卷.docx

2022年广东省中山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题10小题，每题3分，共30分〕
1．〔3分〕〔2022•广东〕在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是〔　　〕

A．
1
B．
0
C．
2
D．
﹣3
考点：
有理数大小比较．
分析：
根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
解答：
解：﹣3＜0＜1＜2，
应选：C．
点评：
此题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
2．〔3分〕〔2022•广东〕在以下交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形；轴对称图形．
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：
解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
应选C．
点评：
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．〔3分〕〔2022•广东〕计算3a﹣2a的结果正确的选项是〔　　〕

A．
1
B．
a
C．
﹣a
D．
﹣5a
考点：
合并同类项．
分析：
根据合并同类项的法那么，可得答案．
解答：
解：原式=〔3﹣2〕a=a，
应选：B．
点评：
此题考查了合并同类项，系数相加字母局部不变是解题关键．
4．〔3分〕〔2022•广东〕把x3﹣9x分解因式，结果正确的选项是〔　　〕

A．
x〔x2﹣9〕
B．
x〔x﹣3〕2
C．
x〔x+3〕2
D．
x〔x+3〕〔x﹣3〕
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：
解：x3﹣9x，
=x〔x2﹣9〕，
=x〔x+3〕〔x﹣3〕．
应选D．
点评：
此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
5．〔3分〕〔2022•广东〕一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是〔　　〕

A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据多边形的外角和公式〔n﹣2〕•180°，列式求解即可．
解答：
解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
〔n﹣2〕•180°=900°，
解得n=7．
应选D．
点评：
此题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
6．〔3分〕〔2022•广东〕一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
概率公式．
分析：
直接根据概率公式求解即可．
解答：
解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．
应选B．
点评：
此题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
7．〔3分〕〔2022•广东〕如图，▱ABCD中，以下说法一定正确的选项是〔　　〕

A．
AC=BD
B．
AC⊥BD
C．
AB=CD
D．
AB=BC
考点：
平行四边形的性质．
分析：
根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．
解答：
解：A、AC≠BD，故此选项错误；
B、AC不垂直BD，故此选项错误；
C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；
D、AB≠BC，故此选项错误；
应选：C．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．
8．〔3分〕〔2022•广东〕关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
根的判别式．
专题：
计算题．
分析：
先根据判别式的意义得到△=〔﹣3〕2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
解答：
解：根据题意得△=〔﹣3〕2﹣4m＞0，
解得m＜．
应选B．
点评：
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．〔3分〕〔2022•广东〕一个等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长为〔　　〕

A．
17
B．
15
C．
13
D．
13或17
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：〔1〕当等腰三角形的腰为3；〔2〕当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
解答：
解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
应选A．
点评：
此题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
10．〔3分〕〔2022•中山〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的大致图象如图，关于该二次函数，以下说法错误的选项是〔　　〕

A．
函数有最小值
B．
对称轴是直线x=

C．
当x＜，y随x的增大而减小
D．
当﹣1＜x＜2时，y＞0
考点：
二次函数的性质；二次函数的图象．
专题：
数形结合．
分析：
根据当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点对A进行判断；由于抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕，〔2，0〕，根据对称性得到抛物线的对称轴为直线x=，那么可对B进行判断；根据二次函数的增减性对C进行判断；观察函数图象得到当﹣1＜x＜2时，图象在x轴下方，那么可对D进行判断．
解答：
解：A、抛物线开口向上，二次函数有最小值，所以A选项的说法正确；
B、抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕，〔2，0〕，那么抛物线的对称轴为直线x=，所以B选项的说法正确；
C、当x＜，y随x的增大而减小，所以C选项的说法正确；
D、当﹣1＜x＜2时，y＜0，所以D选项的说法错误．
应选D．
点评：
此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣，时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
二、填空题〔本大题6小题，每题4分，共24分〕
11．〔4分〕〔2022•广东〕计算2x3÷x=　2x2．
考点：
整式的除法．
分析：
直接利用整式的除法运算法那么求出即可．
解答：
解：2x3÷x=2x2．
故答案为：2x2．
点评：
此题主要考查了整式的除法运算法那么，正确掌握运算法那么是解题关键．
12．〔4分〕〔2022•广东〕据报道，截止2022年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为　6.18×108．
考点：
科学记数法—表示较大的数．
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×108．
故答案为：6.18×108．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．〔4分〕〔2022•广东〕如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，假设BC=6，那么DE=　3　．
考点：
三角形中位线定理．
分析：
由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．
解答：
解：∵D、E是AB、AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴ED=BC=3．
故答案为3．
点评：
此题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．
14．〔4分〕〔2022•广东〕如图，在⊙O中，半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　3　．
考点：
垂径定理；勾股定理．
分析：
作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．
解答：
解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC===3，
即圆心O到AB的距离为3．
故答案为：3．

点评：
此题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
15．〔4分〕〔2022•广东〕不等式组的解集是　1＜x＜4　．
考点：
解一元一次不等式组．
专题：
计算题．
分析：
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共局部即可．
解答：
解：，
由①得：x＜4；由②得：x＞1，
那么不等式组的解集为1＜x＜4．
故答案为：1＜x＜4．
点评：
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
16．〔4分〕〔2022•广东〕如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，假设∠BAC=90°，AB=AC=，那么图中阴影局部的面积等于﹣1　．
考点：
旋转的性质．
分析：
根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影局部的面积．
解答：
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，
∴图中阴影局部的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×〔﹣1〕2=﹣1．
故答案为：﹣1．

点评：
此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
三、解答题〔一〕〔本大题3小题，每题6分，共18分〕
17．〔6分〕〔2022•广东〕计算：+|﹣4|+〔﹣1〕0﹣〔〕﹣1．
考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析：
此题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．
解答：
解：原式=3+4+1﹣2
=6．
点评：
此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．〔6分〕〔2022•广东〕先化简，再求值：〔+〕•〔x2﹣1〕，其中x=．
考点：
分式的化简求值．
分析：
先根据分式混合运算的法那么把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=•〔x2﹣1〕
=2x+2+x﹣1
=3x+1，
当x=时，原式=．
点评：
此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法那么是解答此题的关键．
19．〔6分〕〔2022•广东〕如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
〔1〕作∠BDC的平分线DE，交BC于点E〔用尺规作图法，保存作图痕迹，不要求写作法〕；
〔2〕在〔1〕的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系〔不要求证明〕．
考点：
作图—根本作图；平行线的判定．
分析：
〔1〕根据角平分线根本作图的作法作图即可；
〔2〕根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．
解答：
解：〔1〕如下列图：

〔2〕DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．

点评：
此题主要考查了根本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．
四、解答题〔二〕〔本大题3小题，每题8分，共24分〕
20．〔8分〕〔2022•广东〕如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°〔A、B、D三点在同一直线上〕．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度〔结果精确到0.1m〕．〔参考数据：≈1.414，≈1.732〕
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：
首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
解答：
解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10〔米〕．
在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7〔米〕．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
点评：
此题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21．〔8分〕〔2022•广东〕某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
〔1〕求这款空调每台的进价〔利润率==〕．
〔2〕在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元
考点：
分式方程的应用．
分析：
〔1〕利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；
〔2〕用销售量乘以每台的销售利润即可．
解答：
解：〔1〕设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
=9%，
解得：x=1200，
经检验：x=1200是原方程的解．
答：这款空调每台的进价为1200元；

〔2〕商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．
点评：
此题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．
22．〔8分〕〔2022•广东〕某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动〞，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了局部同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如下列图的不完整的统计图．
〔1〕这次被调查的同学共有　1000　名；
〔2〕把条形统计图补充完整；
〔3〕校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐
考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：
〔1〕用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；
〔2〕用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
〔3〕根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．
解答：
解：〔1〕这次被调查的同学共有400÷40%=1000〔名〕；
故答案为：1000；
〔2〕剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，
补图如下；

〔3〕18000×=3600〔人〕．
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
点评：
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
五、解答题〔三〕〔本大题3小题，每题9分，共27分〕
23．〔9分〕〔2022•中山〕如图，A〔﹣4，〕，B〔﹣1，2〕是一次函数y=kx+b与反比例函数〔m≠0，m＜0〕图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
〔1〕根据图象直接答复：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值
〔2〕求一次函数解析式及m的值；
〔3〕P是线段AB上的一点，连接PC，PD，假设△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：
计算题．
分析：
〔1〕观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
〔2〕先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；
〔3〕设P点坐标为〔t，t+〕，利用三角形面积公式可得到••〔t+4〕=•1•〔2﹣t﹣〕，解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．
解答：
解：〔1〕当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
〔2〕把A〔﹣4，〕，B〔﹣1，2〕代入y=kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y=x+，
把B〔﹣1，2〕代入y=得m=﹣1×2=﹣2；
〔3〕设P点坐标为〔t，t+〕，
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴••〔t+4〕=•1•〔2﹣t﹣〕，即得t=﹣，
∴P点坐标为〔﹣，〕．

点评：
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
24．〔9分〕〔2022•广东〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
〔1〕假设∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；〔结果保存π〕
〔2〕求证：OD=OE；
〔3〕求证：PF是⊙O的切线．
考点：
切线的判定；弧长的计算．
分析：
〔1〕根据弧长计算公式l=进行计算即可；
〔2〕证明△POE≌△ADO可得DO=EO；
〔3〕连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．
解答：
〔1〕解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴==2π；

〔2〕证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
，
∴△POE≌△AOD〔AAS〕，
∴OD=EO；

〔3〕证明：如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由〔1〕得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．
点评：
此题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．
25．〔9分〕〔2022•广东〕如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒〔t＞0〕．
〔1〕当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
〔2〕在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
〔3〕是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形假设存在，请求出此时刻t的值；假设不存在，请说明理由．
考点：
相似形综合题．
分析：
〔1〕如答图1所示，利用菱形的定义证明；
〔2〕如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
〔3〕如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
解答：
〔1〕证明：当t=2时，DH=AH=2，那么H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

〔2〕解：如答图2所示，由〔1〕知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得：EF=10﹣t．
S△PEF=EF•DH=〔10﹣t〕•2t=﹣t2+10t=﹣〔t﹣2〕2+10
∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．

〔3〕解：存在．理由如下：
①假设点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②假设点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．
∵PF∥AD，∴，即，解得t=；

③假设点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，那么EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=〔2t〕2+〔t〕2=t2．
∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=〔2t〕2+〔10﹣t〕2=t2﹣85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：〔10﹣t〕2=〔t2〕+〔t2﹣85t+100〕
化简得：t2﹣35t=0，
解得：t=或t=0〔舍去〕
∴t=．
综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．
点评：
此题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第〔1〕问考查了菱形的定义；第〔2〕问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第〔3〕问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．