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初三数学分类试题—切线与圆
西城1．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
(1)求证：DE⊥AC；
(2)连结OC交DE于点F，假设，求的值．
海淀2.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，,以AB为直径的⊙交AC于点D，交EB于点F.
(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)假设,求AC的长．
东城3．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
〔1〕求证：AP是⊙O的切线；
〔2〕求PD的长．
朝阳4．如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.
〔1〕求证：直线BC是⊙O的切线；
〔2〕连接EF，假设tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.
房山5.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.
〔1〕求证：直线CP是⊙O的切线；
第5题图
〔2〕假设BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长.
门头沟6．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ．
〔1〕求证：CD是⊙O的切线；
〔2〕过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、
F．假设OB=2，求OE和CF的长．
怀柔7．：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
⑴判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；7题图
⑵假设⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．
解：
大兴8．：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
求证：〔1〕∠AOC=2∠ACD；
〔2〕AC2＝AB·AD．
丰台9．：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．
A
B
P
O
C
D
E
〔1〕求证：CD与⊙O相切；
〔2〕假设tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．
石景山10．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
〔1〕求证：点E为BC中点；
〔2〕假设tanEDC=，AD=，求DE的长．
解：
昌平11.如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.
〔1〕求证：AP是⊙O的切线；
〔2〕假设AC=3，求PD的长.
密云12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.
〔1〕求证：AC平分∠DAB；
〔2〕假设∠B=60°，CD=，求AE的长。
O
A
B
C
P
顺义13．：如图，是RtABC的外接圆，ABC=90，点P是外一点，PA切于点A，且PA=PB．
〔1〕求证：PB是的切线；
〔2〕PA=，BC=2，求的半径．
答案;
1．(1)证明：连接OD .
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点， .
∴OD∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE⊥AC .……………………………………………………………… 2分
(2)连接AD .
∵OD∥AC，
∴. …………………………………………………………………… 3分
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC =90° .
又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
∵sin∠ABC==，
故设AD=3x , 那么AB=AC=4x , OD=2x .………………………………………… 4分
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠AED= 90°.
∵∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.…………
2.(1)证明：连接.
∵为直径，
∴∠.
∵，
∴△为等腰三角形.
∴∠∠.
∵，
∴∠∠-------------------------1分
∴∠∠∠∠.
∴∠ .
∴与⊙相切.-------------------------2分
(2) 解：过作于点
∠∠，
∴.
在△中，∠，
∵，
∴∠--------------3分
∴.
在△中，∠，
∴------------------4分
∵，⊥，
∴∥
∴△∽△
∴.
∴
∴
∴
321．解：〔1〕证明：连接OA．
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．
又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．
∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．
∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP．
∴AP是⊙O的切线．…………………2分
〔2〕解：连接AD．
∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．
∴AD=AC•tan30°=．
∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°．∴∠P=∠PAD．
∴PD=AD=．…………………5分
4. 〔1〕证明：在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B.
∵∠CAB+∠B+∠C＝180º，
∴2∠B+∠C＝180º.
∴＝90º.……………………………………………………1分
∵∠BAD＝∠C，
∴＝90º.
∴∠ADB＝90º.
∴AD⊥BC.
∵AD为⊙O直径的，
∴直线BC是⊙O的切线.…………………………………………………2分
〔2〕解：如图，连接DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD= 90º. ……………………………………………………………………3分
∵∠ADC＝90º，
∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.
∴∠ADF＝∠C.…………………………………………………………………4分
∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，
∴tan∠C＝tan∠ADF＝.
在Rt△ACD中，
设AD＝4x，那么CD＝3x.
∴
∴BC＝5x，BD＝2x.
∵AD＝4，
∴x＝1.
∴BD＝2. ……………………………………5分
5.证明：〔1〕连接AN，
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，
∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP，------------------------1分
∵∠CAN＋∠ACN=90°，
∴∠BCP＋∠ACN=90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴CP是⊙O的切线.
6．〔1〕证明：连结OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°． ………………………………………………………1分
∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°．
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠BDC =．
∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°．
∴CD是⊙O的切线．………………………………………………………2分
〔2〕解： ∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°． ………………………………………3分
∵BD=OB=2，
∴．
∴．……………………………………………4分
∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，
∴，．
∴．
7解：〔1〕DE与⊙O相切，理由如下：
连接CD、OD
∵BC为直径， 7题图
∴∠BDC=90°……………………1分
∴CD，
又AC = BC
∴AD = BD……………………2分
∴DO是△ABC的中位线
∴DO∥AC
又∵DE；
∴DE……………………3分
∴DE是⊙O的切线；
〔2〕∵AC = BC
∴∠B =∠A
∴cos∠B = cos∠A =
∵cos∠B =， BC = 18，
∴BD = 6 ……………………4分
∴AD = 6
∵cos∠A =
∴AE = 2，
在中，DE=．……………………5分
8证明：
A. 连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC= 90° .………………………………………1分
∵ CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°. ……………
∴∠ACD = ∠BCO .
∵ OC=OB，
∴∠BCO=∠B .
∴∠AOC=∠BCO+∠B .
∴∠AOC = 2∠BCO = 2∠ACD.……………………3分
B. 由〔1〕可知，△ACD和△ABC均为直角三角形，
∴ 在中，
A
B
P
O
C
D
E
G
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴ Rt△ACD∽△Rt△ABC .…………………………4分
∴ .
∴． ……
9.〔1〕证明：连结OC.
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴
∵，∴，有.
∵AC平分∠PAE，∴
∴---------1分
∴
∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线. ---------2分
〔2〕解:过点O作OG⊥AB于G.
∵,,∴四边形OCDG是矩形.
∴OG=CD,GD=OC. ---------3分
∵⊙O的直径为10，∴OA=OC=5.∴DG=5.
∵tan∠ACD，设AD=x, CD=2x ,那么OG=2x.∴AG=DG-AD=5-x.
在中，由勾股定理知
∴解得.-------------------------4分
∴.---------------------
10解: (1)连结OD，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，
∴BC是⊙O切线 ………………………………………..1分
∵DE是⊙O切线
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴BE=CE.………………………………………..2分
(2)∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，
∴∠C=∠ABD=∠EDC，
Rt△ABD中，DB=， …………………………..3分
Rt△BDC中，BC=，………………………..4分
又点E为BC中点，∴=3 .……………………………..5分
11解：〔1〕证明:如图， 连接OA.
∵∠B=600，
∴∠AOC=2∠B=1200. ……………1分
∵OA=OC,
∴∠ACP=∠CAO=300.
∴∠AOP=600.
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=300.
∴∠OAP=900.
即OA⊥AP.………………………………………………………2分
∵ 点O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线. …………………………………………… 3分
(2) 解：连接AD.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=900.
∴AD=AC∙tan300=.………………………………………4分
∵∠ADC=∠B=600，
∴∠PAD=∠ADC-∠P=300.
∴∠P=∠PAD.
∴PD=AD=.…………
12．〔1〕证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线∴OC⊥CD
∵AD⊥CD∴AD∥OC∴∠1=∠2
∵OA=OC∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
即AC平分∠DAB.………………5分
〔2〕如图2
∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°
又∵∠B=60°∴∠1=∠3=30°
在Rt△ACD中，CD=
∴AC=2CD=
在Rt△ABC中，AC=
∴…4分
连接OE
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE
∴△EAO是等边三角形
∴AE=OA==4.………………5分
13．解：〔1〕证明：连接
O
A
B
C
P
D
∴，
∴．
即………………1分
又∵是的切线，
∴
∴
∴
又∵是的半径，
∴是…………………2分
〔2〕解：连接，交于点
∵
∴点和点都在线段的垂直平分线上．
∴垂直平分线段
∴
∵
∴……………………………………3分
∵，
∴
∴
∴……………………………………4分
∴
即解得
在中，
即的半径为2． …………………………………………5分
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