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第四节 直接证明与间接证明
A级·根底过关|固根基|
1.(2023届衡阳示范高中联考)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数〞的正确假设为( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
解析：选B “自然数a，b，c中恰有一个是偶数〞说明有且只有一个是偶数，其否认是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c中至少有两个偶数〞．
2．分析法又称执果索因法，x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是( )
A．x2>2 B．x2>4
C．x2>0 D．x2>1
解析：选C 因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，显然x2>0成立，故原不等式成立．
3．设a＝－，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小顺序是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选A 因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，＋>＋>＋>0，所以a>b>c.
4．设x，y，z＞0，那么三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
解析：选C 因为＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2.应选C.
5．在△ABC中，sin Asin C<cos Acos C，那么△ABC一定是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选C 由sin Asin C<cos Acos C，得
cos Acos C－sin Asin C>0，
即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，
从而B>，故△ABC必是钝角三角形．
6．用反证法证明命题“假设x2－(a＋b)x＋ab≠0，那么x≠a且x≠b〞时，应假设为________________．
解析：“x≠a且x≠b〞的否认是“x＝a或x＝b〞，因此应假设为x＝a或x＝b.
答案：x＝a或x＝b
7．(2023届福州模拟)如果a＋b>a＋b，那么a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．(一题多解)假设二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)>0，那么实数p的取值范围是________．
解析：解法一(补集法)：令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的取值范围为.
解法二(直接法)：依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－<p<1或－3<p<，
故满足条件的p的取值范围是.
答案：
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A·sin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)假设C＝，求证：5a＝3b.
证明：(1)由得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，
因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有3b2－5ab＝0，所以5a＝3b.
10．四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？假设存在，确定F点的位置；假设不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由得SA2＋AD2＝SD2，
所以SA⊥AD.
同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，
AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，
使得BF∥平面SAD.
因为BC∥AD，BC⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，
所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，
所以平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
所以假设不成立．
所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.
B级·素养提升|练能力|
11.以下四个命题中错误的选项是( )
A．在△ABC中，假设∠A＝90°，那么∠B一定是锐角
B.，，不可能成等差数列
C．在△ABC中，假设a>b>c，那么∠C>60°
D．在n为整数且n2为偶数，那么n是偶数
解析：选C 显然A、B、D命题均真；C项中假设a>b>c，那么∠A>∠B>∠C，假设∠C>60°，那么∠A>60°，∠B>60°，∴∠A＋∠B＋∠C>180°与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，应选C.
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，假设x1＋x2>0，那么f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.
13．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，那么S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故数列{Sn}是等差数列；
当q≠1时，假设{Sn}是等差数列，那么2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{Sn}不是等差数列．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；
当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．
14．假设f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，那么称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军〞函数．
(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军〞函数，求常数b的值；
(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军〞函数？假设存在，求出a，b的值；假设不存在，请说明理由．
解：(1)由得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴方程为x＝1，所以函数在区间[1，b]上单调递增，由“四维光军〞函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设存在常数a，b，使得函数h(x)＝是区间[a，b](a>－2)上的“四维光军〞函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与矛盾．故不存在．
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