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课时跟踪练(十二)
A组 基础巩固
1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
解析：由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)．
答案：B
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元 C．106元 D．108元
解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
答案：D
3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
解析：由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D错误．
答案：D
4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的( )
A.倍 B．10倍 C．10倍 D．ln 倍
解析：由η＝10lg 得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍．
答案：C
5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：设该死亡物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．
答案：C
6．某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得解得
所以y＝2log4x－2，
令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024.
答案：1 024
7．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．
解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．
答案：a2
8．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝则总利润最大时，该门面经营的天数是________．
解析：由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.
综上，当x＝300天时，总利润最大．
答案：300
9．(2019·邯郸调研)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝求该服装厂所获得的最大效益是多少元？
解：设该服装厂所获效益为f(x)元，
则f(x)＝100xq(x)＝
当0<x≤20时，f(x)＝＝126 000－，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.
当20<x≤180时，f(x)＝9 000x－300·x，
则f′(x)＝9 000－450·，
令f′(x)＝0，得x＝80.
当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.
由于120 000<240 000.
故该服装厂所获得的最大效益是240 000元．
10．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解：(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)，
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝.
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，
即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
B组 素养提升
11．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
解析：M≈3361，N≈1080，≈，
则lg ≈lg ＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈93.
所以≈1093.
答案：D
12．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( )
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．
答案：B
13．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 小时，在22 ℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________．
解析：由已知条件，得192＝eb，
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，
所以e11k＝＝＝，
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案：24
14．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人(a∈N*)．
(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元．
则y＝(a∈N*，1≤x≤10)．
假设该企业的人均年终奖会超过3万元，又a＝10，则>3，解得x>>10.
所以10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．
(2)设1≤x1<x2≤10，
则f(x2)－f(x1)＝－＝>0，
所以60×800－2 000a>0，得a<24.
所以为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．
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