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考点规范练9 对数与对数函数
考点规范练A册第6页
基础巩固组
1.(2015四川内江三模)lg=( )
A. B.- C.- D.4
答案:B
解析:lg=lg 1-(23-4=-.
2.在对数式b=lo(5-a)中,实数a的取值范围是( )
A.a>5或a<2 B.2<a<5
C.2<a<3或3<a<5 D.3<a<4
答案:C
解析:由题意得解得2<a<5,且a≠3.
3.(2015福州模拟)函数y=lg|x-1|的图像是( )
答案:A
解析:因为y=lg|x-1|=
当x=1时,函数无意义,故排除B,D.
又当x=2或0时,y=0,所以A项符合题意.
4.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( )
A.b<a<c B.c<a<b
C.c<b<a D.a<c<b
答案:B
解析:∵log33<log37<log39,∴1<a<2;
∵21.1>21,∴b>2;
∵0<0.83.1<0.80,∴0<c<1,故c<a<b.
5.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为( )
A. B.
C.2 D.4〚导学号32470719〛
答案:C
解析:显然函数y=ax与y=logax在[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.
6.(2015长春质检)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是增加的,则( )
A.f(3)<f(-2)<f(1)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(-2)<f(1)<f(3)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
答案:B
解析:因为f(x)=loga|x|在(0,+∞)上递增,
所以a>1,f(1)<f(2)<f(3).
又函数f(x)=loga|x|为偶函数,
所以f(2)=f(-2),所以f(1)<f(-2)<f(3).
7.已知函数y=f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当x∈[2,3)时,f(x)=log2(x-1),给出以下结论:
①函数y=f(x)的图像关于点(k,0)(k∈Z)对称;
②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;
③当x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x);
④函数y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上递增.
其中,正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④〚导学号32470720〛
答案:A
解析:
因为f(x)是周期为2的奇函数,奇函数的图像关于原点(0,0)对称,故函数y=f(x)的图像也关于点(2,0)对称,
又y=f(x)是周期为2的奇函数,所以f(-1)=f(-1+2)=f(1),且f(-1)=-f(1),所以f(1)=0.先作出函数f(x)在[1,3)上的图像,左右平移即得到f(x)的草图如图所示,由图像可知f(x)关于点(k,0)(k∈Z)对称,故①正确;由y=f(x)的图像可知y=|f(x)|的周期为2,故②正确;当x∈(-1,0)时,2<2-x<3,f(2-x)=log2(1-x)=-f(x),即f(x)=-log2(1-x),故③正确;y=f(|x|)在(-1,0)上是减少的,故④错误.
8.已知函数f(x)=|lg x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
答案:C
解析:画出函数f(x)=|lg x|的图像如图,由a≠b,且f(a)=f(b),不妨设0<a<1,b>0,
则-lg a=lg b,即b=.
a+b=a+≥2,又0<a<1,故a+b>2.
9.f(x)=的定义域为 .
答案:(2,12]
解析:∵1-lg(x-2)≥0,∴lg(x-2)≤1,
∴0<x-2≤10,∴2<x≤12,
∴f(x)=的定义域为(2,12].
10.已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在[1,3]上是增加的,则a的取值范围是 .
答案:∪(1,+∞)
解析:令t=ax2-x+3,则原函数化为y=f(t)=logat.
当a>1时,外层函数递增,
所以要保证内层函数也要递增,
所以⇒a>1;
当0<a<1时,外层函数递减,
所以要保证内层函数也要递减,
所以⇒0<a≤,
故a>1或0<a≤.
11.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是 .
答案:(-∞,-2)∪
解析:由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).
当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,
即为log2x<-1,解得0<x<;
当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,
即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.
所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪.
能力提升组
12.(2015天津,文7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<a<b
C.a<c<b D.c<b<a〚导学号32470721〛
答案:B
解析:∵f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,
∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,解得m=0.
∴f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.
∵a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25,
∴f(0)<f(log23)<f(log25),
即c<a<b.
13.设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
答案:A
解析:∵a>0,∴2a>1,∴loa>1,∴0<a<.
又∵b>0,∴0<<1,
∴0<lob<1,∴<b<1.
又∵>0,∴log2c>0,∴c>1,
∴0<a<<b<1<c,故选A.
14.已知f(x)=-x2+log2ax在上恒为正,则正实数a的取值范围是( )
A.0<a<
B.0<a≤
C.≤a<
D.a≥,且a≠1
答案:C
解析:如果2a>1,则log2ax<0,又-x2<0,故不符合题意,当0<2a<1时,f(x)=-x2+log2ax为一个减函数,所以只需满足f=-+log2a≥0,所以≤a<,故选C.
15.(2015上海,文8)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为 .〚导学号32470722〛
答案:2
解析:设3x-1=t(t>0),则log2(t2-5)=log2(t-2)+2⇒t2-5=4(t-2)>0⇒t2-4t+3=0,t>⇒t=3⇒3x-1=3⇒x-1=1⇒x=2.
16.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(x)定义域为R,求a的取值范围;
(2)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:(1)因为f(x)的定义域为R,
所以ax2+2x+3>0对任意x∈R恒成立.
显然a=0时不合题意,
从而必有解得a>.
即a的取值范围是.
(2)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,
因此a+5=4,a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,即函数的定义域为(-1,3).
令t=-x2+2x+3,
则t=-x2+2x+3在(-1,1]上递增,在(1,3)上递减.
又y=log4t在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)的递增区间是(-1,1],递减区间是(1,3).
(3)假设存在实数a,使f(x)的最小值为0.
令h(x)=ax2+2x+3,则h(x)有最小值1,
因此应有解得a=.
故存在实数a=,使f(x)的最小值为0.
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