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考点十八 排列与组合
一、选择题
1．“对称数〞是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121,666,54345等，那么在所有的六位数中，不同的“对称数〞的个数是( )
A．100 B．900
C．999 D．1000
答案 B
解析 根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10＝900个．
2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
答案 A
解析 先为甲地选一名老师，有2种选法，再为甲地选两个学生，有C＝6种选法，甲地定了之后，乙地的教师和学生也定了，根据分步计数原理，有2×6＝12种方案．
3．(2022·甘肃第一次诊断考试)?数术记遗?是?算经十书?中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数共14种计算器械的使用方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，那么不同的分配方法有( )
A．种 B．种
C．种 D．CCC种
答案 A
解析 先将14种计算器械分为三组，方法数有种，再排给3个人，有A种排法，所以不同的分配方法数有×A种，应选A.
4．(2022·湖南师大附中模拟三)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，假设化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，那么不同的排表方法共有( )
A．72种 B．144种
C．288种 D．360种
答案 B
解析 第一步排语文、英语、化学、生物4种，且化学排在生物前面，有A＝12种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A＝12种排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144种，应选B.
5．(2022·山东日照第一次模拟考试)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，假设每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，那么不同的站法总数是( )
A．210 B．84
C．343 D．336
答案 D
解析 由题意分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有A种；假设有一个台阶站2人，另一个站1人共有CA种，所以共有不同的站法种数是A＋CA＝336种，应选D.
6．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，那么不同的放球方法有( )
A．6种 B．9种
C．12种 D．18种
答案 C
解析 由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，先确定哪两个球在同一盒子中，有C＝6种方法，再确定放球方法，都是2种方法，由分步乘法计数原理得不同的放球方法有2×6＝12种．
7．(2022·江西名校5月联考)2022年4月25～27日，北京召开第二届“一带一路〞国际顶峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，那么不同的提问方式的种数为( )
A．198 B．268
C．306 D．378
答案 A
解析 分两种情况，假设选两个国内媒体一个国外媒体，有CCA＝90种不同提问方式；假设选两个外国媒体一个国内媒体，有CCA＝108种不同提问方式，所以共有90＋108＝198种提问方式．
8. 现有4种不同颜色对如下图的四个局部进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，那么不同的涂色方法共有( )
A．24种 B．30种
C．36种 D．48种
答案 D
解析 分两种情况：一种情况是用三种颜色有CA种方法；另一种情况是用四种颜色有A种方法．所以不同的着色方法共有48种．
二、填空题
9．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考试，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，那么该生的可能选法总数是________．
答案 18
解析 分两种情况：
①从物、化、生中选两门，剩下的里面选一门，有CC＝9种；
②从物、化、生中选一门，剩下的里面选两门，有CC＝9种．共有9＋9＝18种选法．
10．甲、乙、丙、丁四人站成一排，那么甲乙相邻，甲丙不相邻有________种排法．
答案 8
解析 分两类讨论：
①甲站在边上时，乙的位置就确定了，其余两人全排，故有AA＝4种．
②甲乙丁三人捆绑一起(甲在中间)看作一个元素，与丙全排列，有AA＝4种．
由分类加法计数原理知有8种排法．
11．对坐在一排的4人重新安排座位时，恰有一个人坐在原来的位置上，那么共有________种不同的排法．
答案 8
解析 第一步，先从4个人里选3个进行调换；第二步，因为每个人都不能坐在原来的座位上，因此第一个人有两种坐法，被坐了自己座位的那个人只能坐在第三个人的座位上(一种坐法)，才能保证第三个人也不坐在自己的座位上．因此三个人调换有两种调换方法．故不同的调换方法有C×2＝8种．
12．(2022·湖北1月联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，那么该停车点的车位数为__________．
答案 10
解析 设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成(n－2)个间隔中，故有A种；恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成(n－2)个间隔中，故有A×A种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝A×A，解得n＝10.
三、解答题
13．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教．
(1)4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
(2)一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一所学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
解 (1)根据题意，分3步进行分析：
①在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C＝35种选法；
②在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C＝3种选法；
③将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，那么一共有35×3＝105种分配方案．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①将7人分成3组，人数依次为4,2,1，有C×C×C＝105种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应3个学校，有A＝6种情况，那么一共有105×6＝630种分配方案．
一、选择题
1．某彩票公司每天开奖一次，从1,2,3,4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有( )
A．14种 B．21种
C．24种 D．35种
答案 B
解析 第一天开出4，第五天同样开出4，那么第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，那么第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，那么第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3＋3×2×2＝21种．
2．把7个字符a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a〞两两不相邻，且两个“b〞也不相邻，那么这样的排法共有( )
A．144种 B．96种
C．30种 D．12种
答案 B
解析 先排列b，b，α，β，假设α，β不相邻，有AC种，假设α，β相邻，有A种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空位中选3个插入a，a，a，有C种，所以三个“a〞两两不相邻的排法共有12×C＝120种，假设b，b相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a，a，a，有C种，共有A×C＝24种，所以三个“a〞两两不相邻，且两个“b〞也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种．
3．(2022·广西桂林一模)中国古代的五经是指：?诗经??尚书??礼记??周易??春秋?，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，假设甲、乙都没有选?诗经?，乙也没选?春秋?，那么5名同学所有可能的选择有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．54种
答案 D
解析 ①假设甲选?春秋?，那么有CA＝18种情况；②假设甲不选?春秋?，那么有AA＝36种情况．所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种情况，应选D.
4．(2022·辽宁丹东质量测试二)从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有1名女生，不同选法共有( )
A．156种 B．168种
C．180种 D．240种
答案 B
解析 从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队有CCC＝6×5×＝180种选法，效劳队中没有女生的选法有CCC＝4×3×1＝12种，所以要求效劳队中至少有1名女生，不同选法共有180－12＝168种，应选B.
5．(2022·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)2022年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛工程，比赛的规那么是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运发动参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运发动完成，且每名运发动都要出场，假设中国队确定了备战该工程的4名运发动名单，其中女运发动甲只能承当仰泳或者自由泳，男运发动乙只能承当蝶泳或者自由泳，剩下的2名运发动四种泳姿都可以承当，那么中国队的排兵布阵的方式共有( )
A．144种 B．24种
C．12种 D．6种
答案 D
解析 由题意，假设甲承当仰泳，那么乙运发动有A＝2种安排方法，其他两名运发动有A＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法，假设甲承当自由泳，那么乙运发动只能安排蝶泳，其他两名运发动有A＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法，应选D.
6．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加?中国诗词大会?的现场录制，5人坐成一排．假设小明的父母至少有一人与他相邻，那么不同坐法的种数为( )
A．60 B．72
C．84 D．96
答案 C
解析 根据题意，分3种情况讨论：①假设小明的父母只有1人与小明相邻且父母不相邻，先在其父母中选一人与小明相邻，有C＝2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A＝2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A×A＝12种安排方法，此时有2×2×12＝48种不同坐法；②假设小明的父母只有1人与小明相邻且父母相邻，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，那么这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A＝6种情况，此时有2×2×6＝24种不同坐法；③小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A＝2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A＝6种情况，此时，共有2×6＝12种不同坐法；那么一共有48＋24＋12＝84种不同坐法．
7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数〞合称“六艺〞，“礼〞，主要指德育；“乐〞，主要指美育；“射〞和“御〞，就是体育和劳动；“书〞，指各种历史文化知识；“数〞，数学．某校国学社团开展“六艺〞课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数〞必须排在前三节，且“射〞和“御〞两门课程相邻排课，那么“六艺〞课程讲座不同排课顺序共有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
答案 A
解析 当“数〞排在第一节时有AA＝48种排法，当“数〞排在第二节时有AAA＝36种排法，当“数〞排在第三节时，当“射〞和“御〞两门课程排在第一、二节时有AA＝12种排法，当“射〞和“御〞两门课程排在后三节时有AAA＝24种排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120种排法．
8．如下图的阴影局部由3个小方格组成，我们称这样的图形为L形(每次旋转90°仍为L形图案)，那么由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是( )
A．16 B．32
C．48 D．64
答案 C
解析 每个2×2的正方形有4个这样的L形图案，4×5个小方格组成的方格纸上有3×4＝12个不同的2×2的正方形(以正方形中心计数即可)，所以一共有48个不同位置的L形图案．应选C.
二、填空题
9．根据党中央关于“精准〞脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，那么不同的派遣方案种数为________．(用数字作答)
答案 36
解析 由题意可知，可分为两类：
一类：甲乙在一个地区时，剩余的三人分为两组，再把三组派遣到三个地区，共有CA＝18种不同的派遣方案；
另一类：甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区，另外两人分别在两个地区，共有CA＝18种不同的派遣方案；由分类计算原理可得，共有18＋18＝36种不同的派遣方案．
10．(2022·河北衡水四月大联考)现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，那么所有选座方法有________种．(用数字作答)
答案 8
解析 先安排甲，其选座方法有C种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A种，所以选座方法共有CA＝4×2＝8种．
11．(2022·浙江温州2月适应性测试)某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，假设顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．
答案 20
解析 当乙选择支付宝时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1＋CC＝5，而乙选择支付宝时，丙、丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1＋CC＝5，此时共有5＋5＝10种，当乙选择微信时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1＋CC＝5，而乙选择微信时，丙、丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1＋CC＝5，此时共有5＋5＝10种，综上共有10＋10＝20种．
12．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，那么女生乙必须入选．那么不同的组队形式有________种．
答案 930
解析 假设甲、乙都入选，那么从其余6人中选出2人，有C＝15种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，那么有A－2A＋A＝14种，故共有15×14＝210种；假设甲不入选，乙入选，那么从其余6人中选出3人，有C＝20种，女生乙不适合担任四辩手，那么有CA＝18种，故共有20×18＝360种；假设甲、乙都不入选，那么从其余6人中选出4人，有C＝15种，再全排，有A＝24种，故共有15×24＝360种，综上所述，共有210＋360＋360＝930种．
三、解答题
13．(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图1所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？
(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图2所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．
①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
②记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求它的分布列及其数学期望E(ξ)．
解 (1)根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：4×3×2×2＝48种．
(2)①设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花〞，A，B，C，D，E分别表示花圃的五个不同区域，如下图，当区域A，D同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；当区域A，D不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；
因此，所有根本领件总数为180＋240＝420种，由于只有A和D或B和E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出根本领件总数为A＋2A＋A＝420种，它们是等可能的，又因为A，D为红色时，共有4×3×3＝36种；B，E为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M包含的根本领件有36＋36＝72种，所以P(M)＝＝.
②随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
所以，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
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