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专题十线性规划专题复习教案

专题八 线性规划专题复习 2016年高三数学复习

专题八 线性规划专题复习

考纲研读
了解二元一次不等式所表示的平面区域;了解线性规划的意义,并会简单的应用.
基础知识梳理
1、二元一次不等式表示平面区域
(1)在平面直角坐坐系中,已知直线,坐标平面内的点
①若,则点在直线的上方;
②若,则点在直线的下方;
若等于零,则比较简单.一般情况下,我们可以将一个二元一次不等式化为的形式,则可利用“大于零在上方,小于零在下方”,画出相应的区域.“直线定界,不等式(点)定域”

2、线性规划的概念
(1) 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
(2) 满足线性约束条件的解叫可行解,由所有可行解组成的集合叫可行域.
(3) 可行解中使目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解.
3、线性规划的应用
用解线性规划解应题的一般步骤
(1)依题意设出变量,分析并将已知数据列出表格;
(2)确定线性约束条件;
(3)确定线性目标函数;
(4)画出可行域;
(5)利用线性目标函数求出最优解;
(6)根据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等).
4.规律与方法
(1)如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是那个顶点为最优解,有两种解定方法:
一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是;
另一种方法是利用围成可行域的直线斜率来判断.
特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边平行时,其最优解可能有无组解.
(2)求整点的最优解方法
①调整优值法,适用于较复杂的问题.
②网格法,精确作图,适用于可行域较小的问题.
③逐点验证法,可行区域是有限区域且整点个数又较少.

三、组型题组教学设计
题型题组一 线性区域问题
【例1】(1)(2005年全国卷)在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域面积( )

x
0
y
A(0,1)
D(0,-1)
C(-1,-2)
B
A. B. C. D.2
【解析】
等价于或
再画线性可行域
(如图所示)于是有

故选(B)

(2)不等式组所表示的平面区域记为D,则平面区域D的面积为

x
0
y
2
2
1
1

【解析】

平面区域D的面积
为:

(关注：以解析几何、三角中的曲线作为
区域边界的非线性约束条件)

题型题组二 线性规划求最值问题
【例2】已知平面内点满足,为坐标原点.请完成下各题
(1) 若求目标函数的最大值和最小值.
(2) 求目标函数的最大值和最小值.
(3) 求目标函数的最大值和最小值.
(4) 求目标函数的最大值和最小值.
(5) 是否存在实数,使得有无穷多个点,使得目标函数取得最小值,若存在,试求出出的取值,若不存在请说明理由.

【直观感觉】目标函数新颖
教材中的目标函数的几何意义一般是直线的斜率或截距。这里有“以向量为背景”，有“绝对值目标函数”，有“二次式目标函数”，有“二元一次商式目标函数”等，较复杂。

【思路方法】关键抓住目标函数它所赋予的几何意义，这里要求有较强的转化意识和数形结合能力。

x
0
y
A(0,4)
C(2,0)
B（6，0）

【解析】

x
0
y
A(0,4)
C(2,0)
B（6，0）
（1）

易得的最大值为6，最小值为2

（2）目标函数是两点间距离公式的型
问题转化为先解决
的最大值和最小值，它是表示点到的距离的平方。
依点到线的距离公式易求得的最小值为

的最大值为

x
0
y
A(0,4)
C(2,0)
B（6，0）
D(3,4)

（3）目标函数是点到线的距离型，也就是目标函数是的形式

x
0
y
A(0,4)
C(2,0)
B（6，0）
可以变其它变为，其几何意义是可行域内的点到直线
的
距离的倍.

求得的最小值为
的最大值为

(4)目标函数是的形式(均不为0)

x
0
y
A(0,4)
C(2,0)
B（6，0）
可以将目标函数化为,它表示可行区域内的点与点的连斜率的倍.

得的最大值为; 最小值为

题型题组三 线性规划中的整点问题
【例3】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格,每种钢板可同时截得小钢板块数如下表所示:
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3

今需要A,B,C三种规格成品分别为15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品,且使所用的钢板张数最少?

【解析】
建模:设需截第一种钢板张,第二种钢板张

x
0
y
C(4,8)
B（3，9）
5
10
15
25
20
10
15
可得 目标函数.作可行域如下图,

平行直线可知直线经过,此时但都不是整数,故不是最优解,那么怎样求最优解呢?

方法一:平移求解法
首先在可行域内打网格,其次描出附近所有的整点,接着平移直线,会发现移至
时,直线与原点的距离最近.即的最小值为12.

方法二:调整优值法
`由非整解最优解得,故
令,即,代入线性约束条件整理得
.这时最优整点为
调整优值法思想是先求非整点最优解,再借助不定方程调整最优解,最后筛选出来整点最优解.

【例3-2】设某运输公司7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨B型卡车,有9名驾驶员,在建某高速公路中,该公司承包了每天至少搬运360吨土方的任务,已知每辆卡车每天往返次数是:A型卡车为8次,B型卡车为6次.每辆卡车每天往返的成本费用情况是:A型卡车160元,B型卡车252元,试问,A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低.

【解析】设每天出动的A型卡车为辆,则,每天出动B型卡车辆,则.
因为每天出动的驾驶员最多9名,则.
每天要完成搬运任务,则,
每天公司所花费的成本费用为
本题就是求满足不等组
且使取得最小值时的非负整数与的值.

不等式组表示的平面区域如图所示,其可行域为四边形ABCD区域(含边界)其顶点是
,结合图形可知,在四边形区域上,横坐标和纵坐标都是非负整数的点有: 、、、、、、、、共10个点.

x
0
y
A
B

C
D

作直线,将其向向上的方向平移,可发现与上述10个点中最先接触到的是点,处,得到的最小值.

即A型卡车和 B型卡车在每天分别出动5辆和4辆时公司成本费用最低.

题型题组四 线性规划中的综合与交汇
【例4】(1)直线过点,若可行域的外接圆直径为,则实数值是
【解析】

x
0
y

B（n，0）
直线过点,与轴交于,而直线也过点.可行域如图所示,现在的问题是解三角形

依题意得,
再由余弦定理得,
即,解得或,
故实数的值是3或5.

(2)设,若当时, 取得极大值,当时,取得极小值,则的取值范围是
【解析】依题意知:该问题可转化为的两根分别在和内,因为,由方程根分布知识得问题转化为在线性约束条件下,求的取值范围.

x
0
y

A（-3,1）
B(-1,0)

求得的取值范围为

(3)设命题
命题,若命题是命题的充分非必要条件,则的最大值是

【解析】由简易逻辑知但推不出,由命题关系知图形关系,三角形ABC区域应在圆外的区域内,半径最大的圆应是与直线相切的圆.故最大值应是原点到直线的最大距离,即为

x
0
y
A
B

C

专题八 强化训练

一、选择题
1、(2006年湖北)已知平面区域D,由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成,若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值,则=( )
A. -2 B. -1 C.1 D. 4

2．(北京考题)在直角坐系中,已知三角形AOB三边所在直线方程分别为,则三解形AOB内部和边上整点(即横纵坐标均为整数的点)的总数是( )
A. 95 B. 91 C.88 D. 75

二、填空题
y
A(1,0)
x x
o
B(0,1)

3.(2007年湖南十校联考)给出平面区域如图所示,目标函数,
若当且仅当时,
目标函数取得最
小值,则实数的取值范
围是　　　　　

4.如直线与圆相交于M，N两点,且两点关于直线对称,则的值为 ;不等式组表示的平面区域的面积为

三、解答题
5.对,不等式所表示的平面区域为,把内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列:
① 求;
② 数列满足,且时, ，证明:
时,.

6.(江苏高考题)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的利益,而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大的盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

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