大学物理实验理论课.pptx

第三部分误差的基本性质与处理 当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。计规律。计规律。计规律。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：成，主要有以下几方面：成，主要有以下几方面：成，主要有以下几方面：测量装置方面的因素测量装置方面的因素测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素环境方面的因素环境方面的因素 人为方面的因素人为方面的因素人为方面的因素人为方面的因素零部件变形及其不稳定零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随性，信号处理电路的随机噪声等。机噪声等。温度、湿度、气压的变温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场化，光照强度、电磁场变化等。变化等。瞄准、读数不稳定，人瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。为操作不当等。第一节随机误差一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因 例如：用秒表测单摆的周期例如：用秒表测单摆的周期T T，将各测量，将各测量值出现的次数列表如下。值出现的次数列表如下。n=n=3030次次n nx xi i测量值测量值x xi i 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 次次 数数 n n 1 1 2 8 8 5 2 2 1 1 1 2 8 8 5 2 2 1 0 0 二、正态分布二、正态分布测量值测量值x xi i 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.101.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10次次 数数 n n 0 2 4 10 14 16 7 5 1 1 0 2 4 10 14 16 7 5 1 1n=n=60 60 次次 10206161.05n n测量值测量值1.0561016202630测量值测量值 次数次数 x xi i n n1.01 11.02 41.03 71.04 231.05 251.06 201.07 111.08 51.09 21.10 2n=n=100100次次n nx xi i 随着测量次数增多，统计显示随着测量次数增多，统计显示 出如下规律。在出如下规律。在1.051.05附近，测量值附近，测量值 出现的次数最多，表现为出现的次数最多，表现为单峰性单峰性。与与1.051.05相差越多，测量值出现的次相差越多，测量值出现的次 数越少，表现为数越少，表现为有界性有界性。偏大的数。偏大的数 据与偏小的数据基本相等表现为据与偏小的数据基本相等表现为对对 称性称性。大部分数据存在于确定的范。大部分数据存在于确定的范 围内，该范围可评价随机误差的大围内，该范围可评价随机误差的大 小。小。可以预计，当可以预计，当测量次数无限增多测量次数无限增多时，曲线将表现为时，曲线将表现为单峰、有界单峰、有界、严格严格对称对称的特征。在有的特征。在有限次测量下，得到限次测量下，得到的所有曲线，是以的所有曲线，是以对称曲线为中心，对称曲线为中心，左右摆动的曲线族。左右摆动的曲线族。n nx xi i3030次次6060次次100100次次在数理统计上在数理统计上,描述具有单峰、有界、对称的统计函数叫描述具有单峰、有界、对称的统计函数叫正态正态分布函数分布函数。常用来解释随机量测量过程中的随机行为与规律。常用来解释随机量测量过程中的随机行为与规律.在在测量次数趋于无穷时，有：测量次数趋于无穷时，有：二、正态分布二、正态分布 误差误差正态分布的分布密度函数为正态分布的分布密度函数为 式中：式中：标准差（或均方根误差）标准差（或均方根误差）e e自然对数的底，基值为自然对数的底，基值为2.71822.7182。它的数学期望（平均值）为它的数学期望（平均值）为 它的方差为：它的方差为：有有有有 ,可推知分布具有对称性，即可推知分布具有对称性，即可推知分布具有对称性，即可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误绝对值相等的正误差与负误绝对值相等的正误差与负误绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为差出现的次数相等，这称为差出现的次数相等，这称为差出现的次数相等，这称为误差的误差的误差的误差的对称性对称性对称性对称性；虽然函数的存在区间是虽然函数的存在区间是虽然函数的存在区间是虽然函数的存在区间是-,+-,+-,+-,+，但实际上，随，但实际上，随，但实际上，随，但实际上，随机误差机误差机误差机误差只是出现在一个有限的区间内，即只是出现在一个有限的区间内，即只是出现在一个有限的区间内，即只是出现在一个有限的区间内，即-k,+k,-k,+k,-k,+k,-k,+k,称称称称为误差的为误差的为误差的为误差的有界性有界性有界性有界性；从正态分布的随机误差都具有从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、的四个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。由于多数随有界性、抵偿性。由于多数随机误差都服从正态分布，因此机误差都服从正态分布，因此正态分布在误差理论中占有十正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。分重要的地位。随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：这称为误差的这称为误差的这称为误差的这称为误差的补偿性补偿性补偿性补偿性。当当当当=0=0=0=0时时时时 ，即，即，即，即 ，可推知单峰性，即绝对值小，可推知单峰性，即绝对值小，可推知单峰性，即绝对值小，可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的误差比绝对值大的误差出现的误差比绝对值大的误差出现的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的的次数多，这称为误差的的次数多，这称为误差的的次数多，这称为误差的单峰单峰单峰单峰性性性性；数学期望数学期望和和标准差标准差是定量描述统计分布规律是定量描述统计分布规律的两个重要参数。的两个重要参数。（1 1）测量值的）测量值的数学期望数学期望等于真值。等于真值。（2 2）误差的）误差的数学期望数学期望等于零。等于零。（3 3）标准差标准差反映了测量值与真值的偏离程反映了测量值与真值的偏离程度，即测量值之间的离散程度。度，即测量值之间的离散程度。标准差小，离散程度小，测量精度高。标准差小，离散程度小，测量精度高。三、正态发布规律随机误差的数字特征三、正态发布规律随机误差的数字特征 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。的测量结果。设设 为为n n次测量所得的值，则算术平均值为次测量所得的值，则算术平均值为:1、数学期望值、数学期望值(算术平均值算术平均值)算术平均值是真值的最佳估值算术平均值是真值的最佳估值由前面正态分布随机误差的第四特征可知由前面正态分布随机误差的第四特征可知 ，因此，因此下面来证明下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值L Lo o。由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式求一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为行计算。此时的随机误差称为残余误差残余误差，简称简称残差残差：（一）测量列中单次测量的标准偏差（标准偏差）（一）测量列中单次测量的标准偏差（标准偏差）2、测量的标准差、测量的标准差（一）测量列中单次测量的标准偏差（标准偏差）（一）测量列中单次测量的标准偏差（标准偏差）多次测量，多次测量，测量列的标准差为：，测量列的标准差为：2、测量的标准差、测量的标准差 当测量次数当测量次数n n 为有限次时，测量列的算术平均值作为真值的最佳为有限次时，测量列的算术平均值作为真值的最佳估计值；标准差常采用贝塞尔法来估计估计值；标准差常采用贝塞尔法来估计。用残余误差求得用残余误差求得单次测量的标准单次测量的标准差的估值差的估值 由于由于值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此值可作为随机值可作为随机误差的评定尺度。误差的评定尺度。值愈大，函数值愈大，函数 减小得越慢；减小得越慢；值愈小，值愈小，减减小得愈快，即测量到的精密度愈高，如图小得愈快，即测量到的精密度愈高，如图2-22-2所示。所示。标准差标准差不是测量到中任何一个具体测量值的随机误差，不是测量到中任何一个具体测量值的随机误差，的的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于，一般都不等于，但，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差的概的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。其标准差也不相同。（二）测量列算术平均值的标准差（二）测量列算术平均值的标准差 在在多多次次测测量量的的测测量量列列中中，是是以以算算术术平平均均值值作作为为测测量量结结果果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，每一系列测量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。定标准。算术平均值的标准差算术平均值的标准差标准差的估值标准差的估值 即在即在n n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差单次测量标准差的的 ，当，当n n愈大，算术平均值越接近被测量愈大，算术平均值越接近被测量的真值，测量精度也愈高。的真值，测量精度也愈高。增加测量次数，可以提高测量增加测量次数，可以提高测量 精度，但测量精度是与精度，但测量精度是与n n的平方根成的平方根成 反比，因此要显著提高测量精度，反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图必须付出较大的劳动。由图2-32-3可知可知,一定时，当一定时，当n10n10以后，以后，的减小很的减小很 慢。此外，由于增加测量次数难以慢。此外，由于增加测量次数难以 保证测量条件的恒定，从而引入新的保证测量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此一般情况下取误差，因此一般情况下取n=10n=10以内较为适宜。总之，提高测量以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。四、测量的极限误差四、测量的极限误差 k,k k置信因子置信因子 ,，P=68.3%；2,2 ，P=95.4%；3,3 ，P=99.7%3称称为极限极限误差差 测量的极限误差是测量的极限误差是极端误差极端误差，量，量结果的误差不超过该极端误差的概率结果的误差不超过该极端误差的概率为为P，并使差值（，并使差值（1-P）可以忽略。）可以忽略。1.单次测量的极限误差单次测量的极限误差 物理测量的测量值是随机变量，无法准确确定物理量的真物理测量的测量值是随机变量，无法准确确定物理量的真值是多少，只能做概率意义的推断，即只能说明真值包含在以值是多少，只能做概率意义的推断，即只能说明真值包含在以估值为中心的某个区间的概率是多少，把此区间成为估值为中心的某个区间的概率是多少，把此区间成为置信区置信区间间。该区间内包含真值的概率成为。该区间内包含真值的概率成为置信度置信度或或置信概率置信概率。正态分布中某些正态分布中某些k k值的概率值的概率k k0.67450.67450.79790.79791.0001.0001.6451.6451.9601.9602.0002.0002.5762.5763.0003.0003.2913.291p p0.5000.5000.5750.5750.6830.6830.9000.9000.9500.9500.9540.9540.990.990.9970.9970.9990.999 表明在该区域内存在的概率为表明在该区域内存在的概率为 68.3%68.3%。表明在该区域内存在的概率为表明在该区域内存在的概率为 95%95%。表明在该区域内存在的概率为表明在该区域内存在的概率为99.7%99.7%。2.算术平均值的极限误差算术平均值的极限误差随机变量随机变量t t称自由度为称自由度为 的学生氏的学生氏t t变量。变量。t t分布的分布密度分布的分布密度 为（图为（图2-92-9）：）：五、随机误差的其他分布五、随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分布规律。下面介绍常见的非正态分布布规律。下面介绍常见的非正态分布布规律。下面介绍常见的非正态分布布规律。下面介绍常见的非正态分布t t 分布分布。t t分布的数学期望为零，分布曲分布的数学期望为零，分布曲线对称于纵坐标轴，但它和标准化线对称于纵坐标轴，但它和标准化正态分布密度曲线不同，如图正态分布密度曲线不同，如图2-92-9所所示。可以证明，当自由度示。可以证明，当自由度(测量次数测量次数较少较少)较小时，较小时，t t分布与正态分布有分布与正态分布有明显区别，但当自由度明显区别，但当自由度 时，时，t t分布曲线趋于正态分布曲线。分布曲线趋于正态分布曲线。t t分布分布是一种重要分布，当是一种重要分布，当测量列的测量测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，或次数较少时，极限误差的估计，或者在检验测量数据的系统误差时经者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。常用到它。附表正态分布中某些正态分布中某些k k值的概率值的概率k k0.67450.67450.79790.79791.0001.0001.6451.6451.9601.9602.0002.0002.5762.5763.0003.0003.2913.291p p0.5000.5000.5750.5750.6830.6830.9000.9000.9500.9500.9540.9540.990.990.9970.9970.9990.999=n-=n-1 11 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 t t0.6831.8391.8391.3221.3221.1981.1981.1421.1421.1111.1111.0911.0911.0771.0771.0671.0671.0191.0191.0531.0531.0001.000t t0.1006.3146.3142.9202.9202.3532.3532.1322.1322.0102.0101.9431.9431.8951.8951.8601.8601.8331.8331.8121.8121.6451.645t t分布中不同自由度所对应的置信系数分布中不同自由度所对应的置信系数t tp p的值的值 在一系列重复测量数据中，如有个别数据与其它的有明显差异，则它在一系列重复测量数据中，如有个别数据与其它的有明显差异，则它（或它们）很可能含有粗大误差（简称粗差），称其为可疑数据，记为（或它们）很可能含有粗大误差（简称粗差），称其为可疑数据，记为 。根据随机误差理论，出现大误差的概率虽然小，但也是可能的。因此，如。根据随机误差理论，出现大误差的概率虽然小，但也是可能的。因此，如果不恰当剔除含大误差的数据，会造成测量精密度偏高的假象。反之如果对果不恰当剔除含大误差的数据，会造成测量精密度偏高的假象。反之如果对混有粗大误差的数据，即异常值，未加剔除，必然会造成测量精密度偏低的混有粗大误差的数据，即异常值，未加剔除，必然会造成测量精密度偏低的后果。以上两种情况还都严重影响对后果。以上两种情况还都严重影响对 的估计。因此，对数据中异常值的的估计。因此，对数据中异常值的正确判断与处理，是获得客观的测量结果的一个重要方法。正确判断与处理，是获得客观的测量结果的一个重要方法。一、粗大误差产生的原因一、粗大误差产生的原因 产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为：产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为：测量人员的主观原因测量人员的主观原因 客观外界条件的原因客观外界条件的原因测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读书或记录。测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。第三节粗大误差二、判别粗大误差的准则二、判别粗大误差的准则 在测量过程中，确实是因读错记错数据，仪器的突在测量过程中，确实是因读错记错数据，仪器的突然故障，或外界条件的突变等异常情况引起的异常值，然故障，或外界条件的突变等异常情况引起的异常值，一经发现，就应在记录中除去，但需注明原因。这种从一经发现，就应在记录中除去，但需注明原因。这种从技术上和物理上找出产生异常值的原因，是发现和剔除技术上和物理上找出产生异常值的原因，是发现和剔除粗大误差的首要方法。有时，在测量完成后也不能确知粗大误差的首要方法。有时，在测量完成后也不能确知数据中是否含有粗大误差，这时可采用统计的方法进行数据中是否含有粗大误差，这时可采用统计的方法进行判别。判别。统计法的基本思想是：给定一个置信概率，按一统计法的基本思想是：给定一个置信概率，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于偶然误差的范围，而是粗大误差，该数据应为它不属于偶然误差的范围，而是粗大误差，该数据应予以剔除。予以剔除。在判别某个测得值是否含有粗大误差时，要特别慎在判别某个测得值是否含有粗大误差时，要特别慎重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确定。重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确定。常用的判别准则有：常用的判别准则有：（一）（一）准则准则 准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只是一个近视的准则。实际测量中，常以是一个近视的准则。实际测量中，常以 代替真值。对某个可代替真值。对某个可疑数据疑数据 ，若其残差满足：，若其残差满足：则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。在在n10n10的情形，用的情形，用 准则剔除粗误差可能失败。为此，在测量准则剔除粗误差可能失败。为此，在测量次数较少时，最好不要选用次数较少时，最好不要选用 准则。下表是准则。下表是 准则的准则的“弃真弃真”概率，从表中看出概率，从表中看出 准则犯准则犯“弃真弃真”错误的概率随错误的概率随n n的增大而减的增大而减小，最后稳定于小，最后稳定于0.3%0.3%。表表1 1 准则准则 “弃真弃真”概率概率a an 11n 11 16 61 121 333 16 61 121 333a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.003a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.003第四部分误差的合成与分配间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量算出被测量 第一节函数误差间接测量的数学模型间接测量的数学模型 与被测量有函数关系的各个直接测量值与被测量有函数关系的各个直接测量值 y y 间接测量值间接测量值一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算由由 y 的全微分，函数系统误差的全微分，函数系统误差 的计算公式的计算公式误差的合成误差的合成 间接测量数据处理的任务：间接测量数据处理的任务：根据直接测量量的测量值估计出根据直接测量量的测量值估计出间接测量量的数学期望；间接测量量的数学期望；根据直接测量量的测量值和误差估根据直接测量量的测量值和误差估计出间接测量量的误差。计出间接测量量的误差。对于这种有确定关系的误差的计算，常称为误差的合成。对于这种有确定关系的误差的计算，常称为误差的合成。为各个输入量在该测量点处的误差传播系数为各个输入量在该测量点处的误差传播系数 关于直接测量量关于直接测量量x xi i的分误差的分误差 二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算变量中只有随机误差时的误差传递公式变量中只有随机误差时的误差传递公式函数的一般形式函数的一般形式 第第i i个直接测得量个直接测得量 的标准差的标准差 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的相关系数个测量值之间的相关系数 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的协方差个测量值之间的协方差 第第i i个直接测得量个直接测得量 对间接量对间接量 在该测量点在该测量点 处的误差传播系数处的误差传播系数 极限误差合成极限误差合成 单项极限误差单项极限误差:单项随机误差的标准差单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差:合成标准差合成标准差 合成极限误差的置信系数合成极限误差的置信系数 合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目的数目q q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布误差接近于正态分布合成极限误差：合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式广泛使用的极限误差合成公式 时：此时第五部分 测量不确定度1 1、不确定度的概念、不确定度的概念 用误差来评估测量结果的可靠程度，这种做法不尽完善，用误差来评估测量结果的可靠程度，这种做法不尽完善，往往有可能遗漏一些影响测量结果准确性的因素，如未定系统往往有可能遗漏一些影响测量结果准确性的因素，如未定系统误差、仪器误差等。而且误差是一个不确定量（不可知性）。误差、仪器误差等。而且误差是一个不确定量（不可知性）。鉴于上述原因，为了更准确地表述测量结果的可靠性，国际上鉴于上述原因，为了更准确地表述测量结果的可靠性，国际上提出了采用不确定度的建议和规定。提出了采用不确定度的建议和规定。不确定度表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯不确定度表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，或者说它是被测量值在某一范围内的一个评定。定的程度，或者说它是被测量值在某一范围内的一个评定。它它是建立在误差理论基础上的一个新概念，是误差的数字指标。是建立在误差理论基础上的一个新概念，是误差的数字指标。客观地说：客观地说：不确定度是对经典误差理论的一个补充，是不确定度是对经典误差理论的一个补充，是现代误差理论的内容之一，但它还有待进一步研究、完善与发现代误差理论的内容之一，但它还有待进一步研究、完善与发展。展。2.2.测量不确定度的评定方法测量不确定度的评定方法A A类评定：通过对一系列观测数据的统计分析类评定：通过对一系列观测数据的统计分析 来评定来评定用符号用符号A表示表示B B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率类评定：基于经验或其他信息所认定的概率 分布来评定分布来评定,用符号用符号B表示。表示。3.3.测量不确定度与误差测量不确定度与误差联系：测量结果的精度评定参数；所有的不确定度分量都用标准差表征，由 随机误差或系统误差引起；误差是不确定度的基础。区别：区别：误差以真值或约定真值为中心，不确定度以误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心；被测量的估计值为中心；误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量 不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。若测量若测量同一物理量同一物理量时，同时含有不确定度时，同时含有不确定度A类分量和不类分量和不确定度确定度B类分量时，则合成的不确定度为如下式所示：类分量时，则合成的不确定度为如下式所示：注意：式中所有注意：式中所有A A类分量和类分量和B B类分量必须是测同一物理量时类分量必须是测同一物理量时的不确定度。否则，合成不确定度无实际意义。的不确定度。否则，合成不确定度无实际意义。4 4、合成不确定度、合成不确定度 5 5、相对不确定度、相对不确定度 为为表表示示测测量量结结果果的的好好坏坏，在在测测量量结结果果中中应应表表示示出出相相对对不不确确定定度。即度。即：相对不确定度越小，表示测量质量越好。相对不确定度越小，表示测量质量越好。二、直接测量的结果评价直接测量的结果评价 直接测量是将待测量与标准量进行比较，得到待测量的直接测量是将待测量与标准量进行比较，得到待测量的大小。如米尺测长度、天平称质量、秒表测时间等，都属于大小。如米尺测长度、天平称质量、秒表测时间等，都属于直接测量。为了减小误差，直接测量一个物理量一般要重复直接测量。为了减小误差，直接测量一个物理量一般要重复测量多次测量多次。怎样合理对所测量的物理量给出一个合理结果评怎样合理对所测量的物理量给出一个合理结果评价呢？价呢？需要做以下两步工作（需要做以下两步工作（假设所有测量数据都已经进行合理性估假设所有测量数据都已经进行合理性估计，也即系统误差和粗大误差的大小可以忽略计，也即系统误差和粗大误差的大小可以忽略）：）：1、求最佳估计值；、求最佳估计值；2、求测量不确定度。、求测量不确定度。算术平均值可表示为式：算术平均值可表示为式：当测量次数当测量次数n 趋于无穷时，算术平均值趋于真值趋于无穷时，算术平均值趋于真值。1、用算术平均值作为真值的用算术平均值作为真值的最佳估计值最佳估计值其中其中 xi 为第为第 i 次测得值。次测得值。2、直接测量的不确定度处理直接测量的不确定度处理不确定度不确定度A类类标准标准分量：分量：A、相同条件下相同条件下多次多次重复测量的情形重复测量的情形 假定某一相同条件下的测量列为假定某一相同条件下的测量列为xi(i=1n)。置信概率和置信区间测量次数量次数n，正正态分布分布，A类不确定度不确定度为：表明在该区域内存在的概率为表明在该区域内存在的概率为95%95%。表明在该区域内存在的概率为表明在该区域内存在的概率为99.7%99.7%表明在该区域内存在的概率为表明在该区域内存在的概率为68.3%68.3%。测量次数量次数较少，少，t分布分布，A类不确定度不确定度为：t t为一个大于为一个大于1 1的因子，是与测量次数，置信概率有的因子，是与测量次数，置信概率有关的量。关的量。不不确确定定度度的的B类类分分量量处处理理：在在物物理理实实验验中中B类类不不确确定定度度一一般般只考虑由仪器引入的极限误差来确定，常用只考虑由仪器引入的极限误差来确定，常用 B来表示。来表示。而不确定度而不确定度B类类标准标准分量由仪器的极限误差估算出，分量由仪器的极限误差估算出，C称置信系数称置信系数均匀分布函数：均匀分布函数：测量值误差落在测量值误差落在-SB，SB 内的置信概率为内的置信概率为P=0.58 三角分布函数：三角分布函数：测量值误差落在测量值误差落在-SB，SB 内的置信概率为内的置信概率为P=0.74 正态分布函数：正态分布函数：测量值误差落在测量值误差落在-SB，SB 内的置信概率为内的置信概率为P=0.68 正态分布条件下测量值的正态分布条件下测量值的B类不确定度为类不确定度为k为置信因子。为置信因子。几种常见仪器的指标几种常见仪器的指标P P0.5000.500 0.6830.683 0.9000.900 0.9500.950 0.9550.955 0.9900.990 0.9970.997k k0.6750.675 1 11.651.651.961.962 22.582.583 3仪器名称器名称 米尺米尺游游标卡尺卡尺 千分尺千分尺物理天平物理天平 秒表秒表误差分布差分布 正正态分布分布 均匀分布均匀分布 正正态分布分布 正正态分布分布 正正态分布分布C3333直接直接测量量量量不确定度不确定度估算估算过程（小程（小结）求测量数据列的平均值求测量数据列的平均值 根据使用仪器得出根据使用仪器得出 B 用贝塞耳公式求标准偏差用贝塞耳公式求标准偏差S 标准偏差标准偏差S乘以因子来求得乘以因子来求得 A=tS 给出直接测量的最后结果：给出直接测量的最后结果：由由 A、B合成总不确定度合成总不确定度 相对不确定度：相对不确定度：展伸不确定度展伸不确定度 将合成不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的包含因将合成不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的包含因子子K，得到增大置信概率的不确定度，叫做，得到增大置信概率的不确定度，叫做展伸不确定度展伸不确定度。合成标准不确定度：合成标准不确定度：对于正态分布，取置信概率为对于正态分布，取置信概率为0.95时，时，k=1.96 2取置信概率为取置信概率为0.997时，时，k=3 注意注意不确定度一般最后结果取不确定度一般最后结果取1 1位位,有有效数字最后一位与不确定度对齐。效数字最后一位与不确定度对齐。B、单次测量的情形单次测量的情形 有有时时因因条条件件所所限限不不可可能能进进行行多多次次测测量量，往往往往只只进进行行一一次次测量。测量。一次测量的表示结果为：一次测量的表示结果为：（单位）（单位）其中测量不确定度的大小由仪器的极限误差来确定其中测量不确定度的大小由仪器的极限误差来确定电流、电压表不确定度的计算电流、电压表不确定度的计算 按按照照我我国国国国家家标标准准规规定定，电电表表的的准准确确度度等等级级分分为为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5共共7个个级级别别，级级数越小的电表越准确。数越小的电表越准确。若用若用表示电表本身的极限误差：表示电表本身的极限误差：如果只测一次，其不确定度为：如果只测一次，其不确定度为：其相对不确定度为：其相对不确定度为：从从上上式式可可以以看看出出，为为了了使使测测量量精精度度最最高高（即即相相对对不不确确定定度最小），应该选择的电表量程，必须使测量值接近量程。度最小），应该选择的电表量程，必须使测量值接近量程。电阻的不确定度计算电阻的不确定度计算电阻不确定度的计算目前可以分成两种：电阻不确定度的计算目前可以分成两种：另另一一种种：由由于于电电阻阻箱箱用用PPM形形式式表表示示其其精精度度，所所以以在在计计算算不不确确定定度度时时，需需要要根根据据不不同同数数量量级级的的精精度度来来计计算算各各个个级级别别的的输输出出极极限限误误差差，然然后后再再除除以以平平均均分分布布置置信信因因子子 得得出出电电阻阻箱箱的的输输出出不不确定度。确定度。特别强调的是：电阻不确定度没有相对不确定度的概念，特别强调的是：电阻不确定度没有相对不确定度的概念，其计算方法与电表不确定度的计算方法不同。其计算方法与电表不确定度的计算方法不同。一一种种：较较早早生生产产的的电电阻阻箱箱或或测测量量电电阻阻的的万万用用表表用用级级别别的的方方式式表表示示其其精精度度，那那么么这这样样的的读读数数值值或或测测量量值值最最后后的的不不确确定定度度计计算算应使用如下公式：应使用如下公式：直接测量量数据处理举例直接测量量数据处理举例1.1.某长度测某长度测5 5次次,分别为分别为29.18 29.27 29.25 29.2629.18 29.27 29.25 29.26 29.24(cm)29.24(cm)B=0.02cm=0.02cm不确定度保留不确定度保留1 1位位,且与平均值的最后一位对齐且与平均值的最后一位对齐.取一位取一位取一位取一位 设设y为为某某一一间间接接测测量量量量，x1,x2,，xk为为k个个直直接接测量量。遵循的函数形式为：测量量。遵循的函数形式为：各直接测量量的测量结果为：各直接测量量的测量结果为：三、三、间接测量的数据处理间接测量的数据处理间接测量数据处理，主要解决以下两个问题间接测量数据处理，主要解决以下两个问题：由上可知，间接测量的最佳估计值如下式所示由上可知，间接测量的最佳估计值如下式所示：由由于于间间接接测测量量量量y与与k个个直直接接测测量量量量有有关关，k个个直直接接测测量量量量的的误误差差必必然然对对间间接接测测量量量量y有有影影响响，也也即即y的的值值也也存存在在着着误误差差。因因此此，间间接接测测量量量量y的的不不确确定定度度也也是是与与各各直直接接测测量量量量的的不不确确定定度度有有关关的的，它它们们之之间间的的关关系系式式被被称称为为不确定度传播公式或传递