2022南开数学二模参考答案.docx

2021—2021 学年度第二学期南开区九年级模拟
数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
（1）D
（2）A
（3）C
（4）D
（5）D
（6）B
（7）B
（8）A
（9）A
（10）C
（11）B
（12）B
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
1
3
（13） x(x - 5)
（14） 2 - 2
（15）
6
（16） 2 （17） (- 4 , 12 ) G
5 5 E
Q
5
（18）（Ⅰ） ; F C
B
（Ⅱ）如图所示，AB 交网格线于点 D，取格点 F，G，连接 P D
A
FG 交网格线于点 E，则直线 DE 垂直平分 AB；取格点 P，Q，连
接 PQ 交直线 DE 于点 C，连接 AC，BC．点 C 即为所求．
第（18）题
.三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．（本小题 8 分）
解：（Ⅰ） x ³ -1； 2 分
（Ⅱ）x p 3 ； 4 分
（Ⅲ） 6 分
（Ⅳ）
-1 £ x p 3． 8 分
20．（本小题 8 分）
解：（Ⅰ） m = 20 ， 1 分
54 2 分
（Ⅱ）观察条形统计图，
∵ x = 0.5 ´12 + 1´ 24 + 1.5 ´15 + 2 ´ 9 = 1.175 ，
60
∴ 这组数据的平均数是1.175 小时． 4 分
∵ 在这组数据中，1出现了12 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为1小时． 6 分
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1，
有1 + 1 = 1，
2
∴ 这组数据的中位数为1小时． 8 分
21．（本小题 10 分）
（Ⅰ）结论： DE 是⊙ O 的切线 1 分
证明：如图 1 中，连接 OD．
∵ ÐC = 45°，
∴ ÐAOD = 2ÐC = 90° ，
∵ DE ∥ AB ，
∴ ÐAOD + ÐODE = 180°，
∴ ÐODE = 90°，
∴ OD ^ DE ，
又∵点 D 在⊙ O 上
∴ DE 是⊙ O 切线． 4 分
（II）如图 2 中，连接 BC ，
∵ AB 是⊙ O 的直径
∴ ÐACB = 90°
在 RtDACB 中，
∵ ÐACB = 90° ， ÐCAB = 30° ， AB = 2 ，
∴ BC = 1，
AB2 - BC 2
∴ AC =
= ， 5 分
3
∵ F 是CD 的中点， AB 是⊙ O 的直径
∴ CF = DF ， AF ^ CD
在 RtDACF 中，∵ ÐAFC = 90°， ÐCAB = 30° ，
∴ CF = 1 AC = 3 ，
2 2
3
∴ CD = 2CF =
， 7 分
∵ AB ∥ DE ， AF ^ CD
∴ DE ^ CD ，
∴ ÐCDE = 90° ， 在 RtDECD 中，
∵ ÐCDE = 90° ， ÐE = ÐCAB = 30°，
∴ EC = 2CD = 2
EC 2 - CD2
∴ ED =
，
3
= 3， 9 分
3
=
∴ S = 1 DE × CD = 1 ´ 3´ 3 3 ． 10 分
DCDE 2 2 2
22．（本小题 10 分）
解：（I）过 B 点作 BG ^ AD 于点G 1 分
则四边形 BGDF 是矩形
∴ BG = FD = 5 米 2 分

在 RtDABG 中， AB = 13 米
AB2 - BG 2
∴
AG = =
∴
tan ÐBAD = BG = 5
AG 12
= 12 3 分
132 - 52
5 分
（II） 在
RtDBCF
中， BF =
CF
tan ÐCBF
CF
=
tan 53°
» CF
4
3
= 3 CF
4
在 RtDCEF 中， EF =
CF
tan ÐCEF
CF
=
tan 63.4°
» CF
2
∵ BE = BF - EF
∴ 4 = 3 CF - 1 CF
4 2
解得： CF = 16 （米）
∴ DC = CF + FD = 16 + 5 = 21（米）
答： DC 的长约为 21 米 10 分
23．（本小题 10 分）解：（Ⅰ）
票价 x （元）
10
15
x
18
参观人数 y （人）
7000
4500
- 500x +12000
3000
4 分
（Ⅱ）依题意：要确保每周有 40000 元的门票收入，则 xy = 40000 ： 由（Ⅰ）可知： y = -500x +12000
∴ x(-500x +12000) = 40000
整理，得
x2 - 24x + 80 = 0
解得： x1 = 20， x2 = 4
把 x1 = 20， x2 = 4 分别代入 y = -500x +12000 中， 得： y1 = 2000 ， y2 = 10000
因为需要控制参观人数，所以取
x = 20 ,
y = 2000
答：每周应限定参观人数是 2000 人，门票价格应定为20 元. 7 分
（III）设门票收入为W
则W = x(-500x +12000) = -500x2 +12000x = -500(x -12)2 + 72000
当 x = 12 时，W 有最大值，
此时， y = -500x +12000 = -500 ´12 +12000 = 6000 （人）
答： 门票价格应该是 12 元时，门票收入最大；这样每周应有 6000 人参观
10 分
24．（本小题 10 分）
解：（Ⅰ） AB 的长是 10 ， BC 的长是 6 ； 2 分
（II）如图，过点C 作CE ^ x 轴于点 E
∵点C 的坐标为(-2 5, 4)，
5
∴ CE = 4, OE = 2 ，
OE 2 + CE 2
在 RtDCEO 中， OC = = 6
当t = 3 时，点 N 与点C 重合， OM = 3
S = S
= 1 OM × CE = 1 ´ 3´ 4 = 6 4 分
DOCM 2 2
（III）如图 2，当3 p t p 6 时，点 N 在线段 BC 上， BN = 12 - 2t ， 过点 N 作 NG ^ y 轴于点G ，过点C 作CF ^ y 轴于点 F ，
则 F (0,4)
∵ OF = 4, OB = 8,
∴ BF = 8 - 4 = 4
∵ ÐBGN = BFC = 90°，
∴ NG ∥ CF
∴ BN = BG ,
BC BF
即12 - 2t = BG ,
6 4
解得 BG = 8 - 4 t ，
3
∴ y = OG = OB - BG = 8 - (8 - 4 t) = 4 t 7 分
3 3
(IV)由（II）可知，当点 M 在OA边上、点 N 在OC 边上时，
S最大
= 6 p 48 ，
5
∴满足条件的情况有如下几种：
①如图，当点 M 在OA 边上、点 N 在 BC 边上时，
S = 1
2
OM × y =
1 ´ t ´ 4t 2 3
= 2t 2
3
若 S =

48 2t 2
，则
5 3
= 48
5
t = 6 10
解得： 5
（负根已舍去）
② 如图，当点 M 、 N 在 BC 边上，相遇之前时，
AM = t - 6 ， BN = 2t -12 ；
MN = AB - AM - BN
= 10 - (t - 6) - (2t -12)
= -3t + 28
设点O 到 AB 的距离为 h 则有OA × OB = AB × h
即： 6 ´ 8 = 10h
解得： h = 24
5
∴ S = 1 MN × h = 1 ´ (-3t + 28) ´ 24 = 12 (-3t + 28)
2 2 5 5
若 S = 48 ，则12(-3t + 28) = 48
5 5 5
t = 8
解得：
③ 如图，当点 M 、 N 在 BC 边上，相遇之后时，
AM = t - 6 ， AN = 22 - 2t ；
MN = AM - AN = t - 6 - (22 - 2t) = 3t - 28
∴ S = 1 MN × h = 1 ´ (3t - 28) ´ 24 = 12 (3t - 28)
2 2 5 5
若 S = 48 ，则12(3t - 28) = 48
5 5 5
t = 32
解得： 3
综上所述，
若 S = 48 ，此时t 的值为 6
5

10 s
5

32
8s 或 s . 10 分
、 3
25．（本小题 10 分）
解：（I）抛物线l 的对称轴为直线 x = - - 8a = 4 1 分
1 2a
∵抛物线l1 交 x 轴于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），且 AB = 6，
∴ A(1,0) ， B(7,0)
把 A(1,0) 代入 y = ax2 - 8ax - 7
2
解得： a = - 1 ，
2
∴抛物线l 的解析式为 y = - 1 x2 + 4x - 7 3 分
1 2 2
把C(5, n) 代入 y = - 1 x2 + 4x - 7 ，
2 2
解得： n = 4
∴ C(5,4)
∵抛物线l1 与l2 形状相同，开口方向不同，
∴设抛物线l 的解析式为 y = 1 x2 + bx + c
2 2
把 A(1,0) ， C(5, n) 代入 y = 1 x2 + bx + c ，
2
ì 1
0 = + b + c ìb = -2
ï 2 ï
ï
î
得 í 25 ，解得 í 3 .
ï4 =
î
+ 5b + c
2
ïc = 2
∴抛物线l 的解析式为 y = 1 x2 - 2x + 3 5 分
2 2 2
（II） 2 £ x £ 4 7 分
（III）∵直线 MN ∥ y 轴，与 x 轴、l1 、l2 分别相交于点 P(m,0) 、 M 、 N ，
∴ M (m,- 1 m2 + 4m - 7 ) ， N (m, 1 m2 - 2m + 3) 8 分
2 2 2 2
①如图 1，当1 £ m £ 5时，
MN = -m 2 + 6m - 5 = -(m - 3) 2 + 4
∴当 m = 3 时， MN 的最大值为 4 9 分
②如图 2，当5 p m £ 7 时，
MN = m2 - 6m + 5 = (m - 3)2 - 4
∵ 5 p m £ 7在对称轴 m = 3 右侧
MN 随 m 的增大而增大
∴当 m = 7 时， MN 有最大值为 12
综上所述， MN 的最大值为 12 10 分