2022届高考数学总复习课时跟踪练二十五解三角形的综合应用文含解析新人教A版.doc

课时跟踪练(二十五)
A组　基础巩固
1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)
A. km B. km
C. km D．2 km
解析：如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝，

所以AC＝2×＝ (km)．
答案：A
2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)

A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
答案：D
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，

解得BC＝10(海里)．
答案：A
4.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A．5 B．15
C．5 D．15
解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案：D
5．(2019·广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(＋1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D.

由题意，得DC＝60×tan 60°＝60(m)，DB＝60×tan 15°＝60×tan(45°－30°)＝60×＝60×＝120－60(m)．
所以BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120－120＝120(－1)(m)．
答案：C
6．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：由题意画示意图，如图，

OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得
MN＝ ＝
＝10 (m)．
答案：10
7.(2019·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.

解析：设坡底需加长x m，
由正弦定理得＝，解得x＝100.
答案：100
8.(2019·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人进行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

解析：如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.

答案：50
9．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取＝1.4，＝1.7)

解：如图，作CD垂直于直线AB于点D，

因为∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，AB＝50×420＝21 000.
所以BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin ∠DBC＝10 500×(－)×＝10 500×(－1)＝7 350.
故山顶的海拔高度为h＝10 000－7 350＝2 650 m.
10.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14海里/时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，
所以sin α＝＝＝.
B组　素养提升
11．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40 m．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为(　　)

A．210(＋) m B．140 m
C．210 m D．20(－) m
解析：由题意，设AC＝x m，则BC＝(x－40) m，在△ABC内，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(m)．
在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，
∠CHA＝90°－30°＝60°，
由正弦定理，＝，
可得CH＝AC·＝140(m)．
答案：B
12．(2019·泉州质检)△ABC中，D是BC上的点，DA＝DB＝2，DC＝1，则AB·AC的最大值是________．
解析：因为cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
所以＋＝0⇒AB2＋2AC2＝18，
AB2＋2AC2＝18≥2＝2AB·AC，
即AB·AC≤，当且仅当AB＝AC时取等号，
所以AB·AC的最大值是.
答案：
13.校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀升旗．

解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
所以AC＝·sin ∠AEC＝20 m.
所以在Rt △ABC中，AB＝AC·sin ∠ACB＝20×＝30 m.
因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为＝0.6 m/s.
答案：0.6
14.(2019·成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.

(1)求sin ∠BCE的值；
(2)求CD的长．
解：(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝因为B＝，BE＝1，CE＝，
所以sin ∠BCE＝＝＝.
(2)因为∠CED＝B＝，所以∠DEA＝∠BCE，
所以cos ∠DEA＝＝＝＝.
因为A＝，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，所以ED＝＝＝2.
在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos ∠CED＝7＋28－2××2×＝49.
所以CD＝7.