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课时分层作业(二十一) 简单的线性规划问题
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )
A．－6 B．－2 C．0 D．2
A [画出可行域，如图所示，
解得A(－2，2)，设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值；
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，
故选A.]
2．若x，y满足则2x＋y的最大值为( )
A．0 B．3
C．4 D．5
C [
不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，
由得
所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.]
3．设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
B [画出可行域，如图中阴影部分所示，
令t＝x－3y，则当直线t＝x－3y经过点A(－2，2)时，t＝x－3y取得最小值－8，当直线t＝x－3y经过点B(－2，－2)时，t＝x－3y取得最大值4，又z＝|x－3y|，所以zmax＝8，故选B.]
4．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9 C．10 D．12
C [
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.
由解得
故A(3，－1)，由解得故B(0，－3)，由解得故C(0，2).|OA|2＝10，|OB|2＝9，|OC|2＝4.显然，当点P与点A重合时，|OP|2即x2＋y2取得最大值．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.]
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
A．11 B．10 C．9 D．8.5
B [由已知可得x，y所满足的可行域如图阴影部分所示：
令y＝－x＋.
要使z取得最大值，只须将直线l0：y＝－x平移至A点，
联立，得A(3，1)，
∴zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.]
二、填空题
6．满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是 ．
(0，5) [首先作出可行域如图阴影所示，设直线l0：6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0，5)时截距最大，此时z最大．
]
7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是 ．
1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.]
8．若x，y满足约束条件则的最大值为 ．
3 [
画出可行域如图阴影所示，因为表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，
所以点(x，y)在点A处时最大．
由得
所以A(1，3)，所以的最大值为3.]
三、解答题
9．已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．
[解]
z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5，2)时，zmax＝2×5－2＝8，
当l移动到l2，
即过点C(1，4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝－2.4.
10．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，求a的取值范围．
[解] 先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．
∵A(2，9)，∴9＝a2，∴a＝3.
∵a>1，∴1<a≤3.
∴a的取值范围是(1，3].
1．设O为坐标原点，A(1，1)，若点B(x，y)满足则·取得最小值时，点B的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．无数个
B [如图， 阴影部分为点B(x，y)所在的区域．
∵·＝x＋y，令z＝x＋y，
则y＝－x＋z.
由图可知，当点B在C点或D点时，z取最小值，故点B的个数为2.]
2．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3
B [二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A(，)处，z取得最值．
因此＋a×＝7，
化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3.]
3．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝ ．
－2 [
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.]
4．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下，取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是 ．
(2，＋∞) [
先根据
作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n>2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或其部分．]
5．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求|PQ|的最小值．
[解] 画出不等式组所表示的平面区域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲线是以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．
如图所示，只有当点P在点A，点Q在点B(0，－1)时，|PQ|取最小值.
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