高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题10等差数列与等比数列.doc

专题10 等差数列与等比数列

等差数列的概念与运算

【背一背基础知识】
1．等差数列的定义
如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.
3．等差中项
如果，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的前n项和
(1)公式的推导：等差数列的前n项和公式是用倒序相加法求得的．
(2)等差数列{an}的前n项和公式：
【讲一讲基本技能】
1. 必备技能：
(1)等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．
①通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列．
②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．
(3)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．
(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．
2. 典型例题
例1已知数列为等差数列，且，，则（ ）
（A）45 （B）43 （C）42 （D）40
分析：本题考查等差数列的通项公式，只要把用表示出来，解出，再利用通项公式就可求得.
解析：，
.
例2 已知等差数列中，，记，S13=( )
A．78 B．68 C．56 D．52
分析：从已知条件分析，可用基本量法解决问题，即由
，，可解出.

【练一练趁热打铁】
1.若是等差数列的前项和,且，则的值为 ．
【答案】44

2. 在等差数列中,已知,则_____.
【答案】
【解析】依题意,所以.
或:.

等差数列的性质

【背一背基础知识】
1.等差数列{an}的常用性质
(1)通项推广：an＝am＋(n－m)d(d为数列{an}的公差)．
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
(4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为k2d.
(5)Sn＝n＝n＝n＝….
2．等差数列的前n项和公式与函数的关系
(1)等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化为：Sn＝n2＋(a1－)n.
数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的常数项为零的二次函数，即.
(2)在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0时，an是n的一次函数．当d>0时，{an}为递增数列，当d<0时，{an}为递减数列，当d＝0时，{an}为常数列．
(2)等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n.d≠0时，Sn是n的二次函数，且常数项为零．据此特点可判断{an}是否为等差数列．同时，可用配方法或图象法求Sn的最值问题．d＝0时，Sn为n的一次函数．
(3)等差数列的单调性
等差数列公差为d，若d>0，则数列递增．
若d<0，则数列递减．
若d＝0，则数列为常数列．
(4)等差数列的简单性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d.
④S2n－1＝(2n－1)an.
⑤若n为偶数，则S偶－S奇＝d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
⑥数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．
公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．
2.典型例题
例1在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
分析：利用等差数列的性质可得，则有.
解析：在等差数列中，，答案为B
例2等差数列中，若，，则=______.
分析：直接由等差数列的性质可得，则，又，得，所以，所以.
【练一练趁热打铁】
1. 在等差数列中,若,则的值为 （　　）
A．20 B．22 C．24 D．28
【答案】C
【解析】由等差数列性质知，故，而
.
2．设等差数列的前项和为，且,则使得的最小的为（ ）
A．10 B． 11 C． 12 D． 13
【答案】

等比数列的概念与运算
【背一背基础知识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项.
3．等比中项
若，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝＝－.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．
(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式q是否等于1的判断和讨论．
(3)等比数列的判定方法：
①定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．
②中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
③通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
④前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．
2.典型例题
例1．正项等比数列的公比为2，若，则的值是
A.8 B.16 C.32 D.64
分析：由等比数列的通项公式可得，也可利用等比数列的性质解题.

例2. 已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（ ）
A． B．1 C．或1 D．
分析：由已知有，这个等式的等比数列的的前项和，我们分析下公比是否可能为1，即要分类讨论，在时，利用前项和公比可求得．
【练一练趁热打铁】
1.等比数列的前n项和为，已知 ， = 9，则= （ ）
（A） （B）- （C） （D）-
【答案】C
【解析】由S3 = a2 +10a1得，a2 +a3= a2 +10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5 = 9，所以= 9，解得，故选C.
3. 已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程 .
[答案]63

等比数列的性质
【背一背基础知识】
1. 等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：，(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{an·bn}，{}仍是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.即项数成等差数列则对应项成等比．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
(1)等比数列的单调性．
①或{an}为递增数列；
②或{an}为递减数列；
③q＝1{an}为非零常数列；
④q<0{an}为摆动数列．
(2)等比数列其他性质．
①若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，{}也是等比数列，若{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
②数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍成等比数列．
③若等比数列{an}的项数为2n，则＝q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和．
④＝qn－m(m，n∈N*)
2.典型例题
例1在正项等比数列中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
分析：这题要用到等比数列的性质：．
例2设是公差不为0的等差数列, ，且成等比数列,则的值为 .
分析：三个数成等比数列，则有，然后再借助于等差数列的基本量可得结论．

【练一练趁热打铁】
1.在各项都为正数的等比数列中，，前三项的和为，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，由于，，化简得，解得，，故选C.
2.等差数列的前n项和为.已知，且成等比数列，则的通项公式为　　　　　　.
【答案】或

（一） 选择题（12*5=60分）
1.已知数列是等差数列，且，则的值为（ ）
A. 　　　　 B. 　　　 　 C. 　　　 D.
【答案】
【解析】，所以
2．设是等差数列的前项和，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3.等差数列中，公差，且，数列是等比数列，且则＝ ．
【答案】16
【解析】在等差数列中,由,得,则,又因是等比数列，且,则,又由.
4．三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A. 1 B. 4 C. 36 D. 49
【答案】A
5．已知，，且成等比数列，则有（ ）
A、最小值 B、最小值 C、最大值 D、最大值
【答案】A
【解析】，且成等比数列，，即，，故．
6．已知等差数列的公差，若（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.
【答案】；
【解析】当时，；当时，，故；所以.
8．已知数列满足，，则的前10项和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

9．已知数列为等比数列,若则的值为 （　　）
A．10 B．20 C．60 D．100
【答案】D
【解析】是等比数列，题中又出现了数列中的两项的积，故可应用其性质，，这样就有．
10．数列前项和为，已知，且对任意正整数、，都有，若恒成立则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

11．设数列的前项和为，若，则
A. B. C. D.
【答案】B
12．已知数列的前项和，正项等比数列中，,，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D

（二） 填空题（3*5=15分）
13.等差数列中，若, ，则 .
【答案】100
【解析】根据等差数列的性质，把两条件式相加得，.

14.已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为,且 设则数列的前10项和等于______.
【答案】
【解析】数列到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和表示出来，
.
15．数列中，已知对任意, ，则
___________________.
【答案】

13