2022年北京中考数学试题与答案.docx

2022年北京市高级中等学校招生考试
数学试题
一、选择题〔此题共30分，每题3分〕
1.如下列图，点到直线的距离是〔〕
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
2.假设代数式有意义，那么实数的取值范围是〔〕
A． B． C． D．
3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是〔〕
A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
4. 实数在数轴上的对应点的位置如下列图，那么正确的结论是〔〕
A． B． C. D．
5.以下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔〕
A．B．C. D．
6.假设正多边形的一个内角是150°，那么该正多边形的边数是〔〕
A． 6 B． 12 C. 16 D．18
7. 如果，那么代数式的值是〔〕
A． -3 B． -1 C. 1 D．3
8.下面的统计图反映了我国与“一带一路〞沿线局部地区的贸易情况.
2022-2022年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图
〔以上数据摘自 “一带一路〞贸易合作大数据报告〔2022〕 〕
根据统计图提供的信息，以下推理不合理的是〔〕
A．与2022年相比，2022年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B．2022-2022年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C. 2022-2022年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
D．2022年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9.小苏和小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离〔单位：〕与跑步时间〔单位：〕的对应关系如以下列图所示.以下表达正确的选项是〔〕
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C. 小苏前15跑过的路程大于小林前15跑过的路程
D．小林在跑最后100的过程中，与小苏相遇2次
10. 以下列图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.
下面有三个推断：
① 当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上〞的次数是308，所以“钉尖向上〞的概率是0.616；
② 随着实验次数的增加，“钉尖向上〞的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上〞的概率是0.618；
③ 假设再次用计算机模拟实验，那么当投掷次数为1000时，“钉尖向上〞的概率一定是0.620.
其中合理的是〔〕
A．① B．② C. ①② D．①③
二、填空题〔此题共18分，每题3分〕
11. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．
12. 某活动小组购置了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为____________．
13.如图，在中，分别为的中点.
假设，那么．
14.如图，为的直径，为上的点，.
假设，那么．
15.如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过假设干次图形的变化〔平移、轴对称、旋转〕得到的，写出一中由得到的过程：．
16.以下列图是“作直角三角形的外接圆〞的尺规作图过程
：，求作的外接圆.
作法：如图．
〔1〕分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；
〔2〕作直线，交于点；
〔3〕以为圆心，为半径作.
即为所求作的圆.
请答复：该尺规作图的依据是．
三、解答题〔此题共72分，第17题-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：.
18. 解不等式组：
19.如图，在中，，平分交于点.
求证：.
20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，那么所容两长方形面积相等〔如下列图〕〞这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补〞原理复原了 海岛算经 九题古证.

请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：，〔____________+____________〕．
易知，，_____________=______________，______________=_____________．
可得．
21.关于的一元二次方程.
〔1〕求证：方程总有两个实数根；
〔2〕假设方程有一根小于1，求的取值范围.
22. 如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接.
〔1〕求证：四边形为菱形；
〔2〕连接，假设平分，求的长.
23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点.
〔1〕求的值；
〔2〕点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点.
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②假设，结合函数的图象，直接写出的取值范围.
24.如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点.
〔1〕求证：；
〔2〕假设，求的半径.
25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.
收集数据
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩〔百分制〕如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩
人数
部门

甲
0
0
1
11
7
1
乙

〔说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格〕
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门
平均数
中位数
众数
甲
78.3
77.5
75
乙
78
80.5
81
得出结论：
.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为____________；
.可以推断出_____________部门员工的生产技能水平较高，理由为_____________.〔至少从两个不同的角度说明推断的合理性〕
26.如图，是所对弦上一动点，过点作交于点，连接，过点作于点.，设两点间的距离为，两点间的距离为.〔当点与点或点重合时，的值为0〕
小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
〔1〕通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：

0
1
2
3
4
5
6

0
2.0
2.3
2.1

0.9
0
〔说明：补全表格时相关数值保存一位小数〕
〔2〕建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.
〔3〕结合画出的函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____________.
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C.
〔1〕求直线BC的解析式；
〔2〕垂直于y轴的直线l与抛物线交于，，与直线BC交于点.假设，结合函数图像，求的取值范围.
28. 在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点〔与点B，C不重合〕，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
〔1〕假设∠PAC=α，求∠AMQ的大小〔用含α的式子表示〕；
〔2〕用等式表示线段MB和PQ之间的数量关系，并证明.
29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：假设在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，那么称P为图形M的关联点.
〔1〕当圆O的半径为2时，
①在点，，中，圆O的关联点是；
②点P在直线上，假设P为圆O的关联点，求点P的横坐标的取值范围；
〔2〕圆C的圆心在x轴上，半径为2，直线与x轴、y轴分别交于A，B.假设线段AB上所有点都是圆C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.