2022年重庆市九校联盟高考数学一模试卷(文科).docx

2022年重庆市九校联盟高考数学一模试卷〔文科〕
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕集合A={﹣1，0，1，2}，，那么A∩B=〔　　〕
A．{0，1} B．{1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，2}
2．〔5分〕i为虚数单位，且〔1+i〕z=﹣1，那么复数z对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．〔5分〕的值为〔　　〕
A．﹣1 B． C． D．
4．〔5分〕随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，那么此人猜测正确的概率为〔　　〕
A．1 B． C． D．0
5．〔5分〕双曲线的一个焦点为F，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，假设A为BF的中点，那么双曲线的离心率为〔　　〕
A． B． C．2 D．
6．〔5分〕某几何体的三视图如以下图，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，假设半圆的直径为2，那么该几何体的体积等于〔　　〕
A． B． C． D．
7．〔5分〕将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再向右平移个单位，那么所得函数图象的解析式为〔　　〕
A． B． C． D．
8．〔5分〕执行如以下图的程序框图，假设输出的s=6，那么N的所有可能取之和等于〔　　〕
A．19 B．21 C．23 D．25
9．〔5分〕抛物线C：y=2px2经过点M〔1，2〕，那么该抛物线的焦点到准线的距离等于〔　　〕
A． B． C． D．1
10．〔5分〕a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，当b+c=4时，△ABC面积的最大值为〔　　〕
A． B． C． D．
11．〔5分〕设定义在〔0，+∞〕上的函数f〔x〕的导函数f′〔x〕满足xf′〔x〕＞1，那么〔　　〕
A．f〔2〕﹣f〔1〕＞ln2 B．f〔2〕﹣f〔1〕＜ln2 C．f〔2〕﹣f〔1〕＞1 D．f〔2〕﹣f〔1〕＜1
12．〔5分〕设m，θ∈R，那么的最小值为〔　　〕
A．3 B．4 C．9 D．16
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕向量，，且，那么=．
14．〔5分〕实数x，y满足，那么目标函数z=3x+y的最大值为．
15．〔5分〕奇函数f〔x〕的图象关于直线x=3对称，当x∈[0，3]时，f〔x〕=﹣x，那么f〔﹣16〕=．
16．〔5分〕半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O外表的最小距离为R，那么从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积等于．
三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔12分〕Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S5=35，a1，a4，a13成等比数列．
〔1〕求数列{an}的通项公式；
〔2〕求数列的前n项和Tn．
18．〔12分〕某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间〞，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间〞〔单位：小时〕，活动时间按照[0，0.5〕、[0.5，1〕、…、[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如以下图．
〔1〕求图中a的值；
〔2〕估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间〞的中位数；
〔3〕在[1，1.5〕、[1.5，2〕这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．
19．〔12分〕如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是正方形，A1B1⊥A1C1．
〔1〕证明：AB1⊥BC1；
〔2〕当三棱锥A﹣A1B1C1的体积为2，AA1=2时，求点C到平面AB1C1的距离．
20．〔12分〕如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP．
〔1〕求证：；
〔2〕假设kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
21．〔12分〕设函数f〔x〕=ex﹣asinx．
〔1〕当a=1时，证明：∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕＞1；
〔2〕假设∀x∈[0，+∞〕，f〔x〕≥0都成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．〔10分〕极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为〔t为参数〕．
〔1〕求直线l和圆C的直角坐标方程；
〔2〕设点P〔2，1〕，直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|2x+1|．
〔1〕解不等式f〔x〕＞x+5；
〔2〕假设对于任意x，y∈R，有，，求证：f〔x〕＜1．
2022年重庆市九校联盟高考数学一模试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕集合A={﹣1，0，1，2}，，那么A∩B=〔　　〕
A．{0，1} B．{1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，2}
【解答】解：由或x＜0，
即B={x|x＞1或x＜0}，
∵A={﹣1，0，1，2}，
∴A∩B={﹣1，2}，
应选D．
2．〔5分〕i为虚数单位，且〔1+i〕z=﹣1，那么复数z对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由〔1+i〕z=﹣1，得z=﹣，
∴复数z对应的点的坐标为〔〕，位于第二象限，
应选：B．
3．〔5分〕的值为〔　　〕
A．﹣1 B． C． D．
【解答】解：∵，
应选：B．
4．〔5分〕随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，那么此人猜测正确的概率为〔　　〕
A．1 B． C． D．0
【解答】解：∵事件与事件A∪B是对立事件，
随机事件A，B发生的概率满足条件，
∴某人猜测事件发生，那么此人猜测正确的概率为：
．
应选：C．
5．〔5分〕双曲线的一个焦点为F，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，假设A为BF的中点，那么双曲线的离心率为〔　　〕
A． B． C．2 D．
【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，
过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，
且交y轴于B，如图
假设A为BF的中点，那么OA垂直平分BF，
那么双曲线C的渐近线与x轴的夹角为，
即双曲线的渐近线方程为y=±x，
那么有a=b，
那么c==a，
那么双曲线的离心率e==；
应选A．
6．〔5分〕某几何体的三视图如以下图，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，假设半圆的直径为2，那么该几何体的体积等于〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：解：由中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体，
其体积为，
应选D．
7．〔5分〕将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再向右平移个单位，那么所得函数图象的解析式为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：把函数经伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，
可得，再向右平移个单位，得=的图象，
应选：B．
8．〔5分〕执行如以下图的程序框图，假设输出的s=6，那么N的所有可能取之和等于〔　　〕
A．19 B．21 C．23 D．25
【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=cos+2cos+3cos+…得值，
由题意，S=cos+2cos+3cos+…=6，
可得：0﹣2+4﹣6+8﹣10…=6，
可得：S=cos+2cos+3cos+…+12cos，
或S=cos+2cos+3cos+…+12cos+13cos，
可得：N的可取值有且只有12，13，其和为25，
应选：D．
9．〔5分〕抛物线C：y=2px2经过点M〔1，2〕，那么该抛物线的焦点到准线的距离等于〔　　〕
A． B． C． D．1
【解答】解：根据题意，抛物线C：y=2px2经过点M〔1，2〕，
那么有2=2p×12，解可得p=1，
那么抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，
其焦点坐标为〔0，〕，准线方程为y=﹣，
该抛物线的焦点到准线的距离等于；
应选：B．
10．〔5分〕a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，当b+c=4时，△ABC面积的最大值为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：由：，利用正弦定理可得：sinAsinB=sinBcosA，
又sinB≠0，可得：tanA=，
因为：A∈〔0，π〕，
所以：A=．
故，〔当且仅当b=c=2时取等号〕，
应选：C．
11．〔5分〕设定义在〔0，+∞〕上的函数f〔x〕的导函数f′〔x〕满足xf′〔x〕＞1，那么〔　　〕
A．f〔2〕﹣f〔1〕＞ln2 B．f〔2〕﹣f〔1〕＜ln2 C．f〔2〕﹣f〔1〕＞1 D．f〔2〕﹣f〔1〕＜1
【解答】解：根据题意，函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，
即x＞0，那么，
故，即f〔2〕﹣f〔1〕＞ln2，
应选A．
12．〔5分〕设m，θ∈R，那么的最小值为〔　　〕
A．3 B．4 C．9 D．16
【解答】解：令点P〔2﹣m，2+m〕，Q〔cosθ，sinθ〕．
点P在直线上，点Q的轨迹为单位圆：x2+y2=1．
因此的最小值为：单位圆上的点到直线的距离的平方，
故其最小值==〔4﹣1〕2=9．
应选：C．
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕向量，，且，那么=　10　．
【解答】解：向量，，且，
∴1×m﹣〔﹣2〕×2=0，
解得m=﹣4，
∴=1×2+〔﹣2〕×〔﹣4〕=10．
故答案为：10．
14．〔5分〕实数x，y满足，那么目标函数z=3x+y的最大值为．
【解答】解：实数x，y满足作出可行域，目标函数z=3x+y，由解得A，
的最优解对应的点为，
故．
故答案为：．
15．〔5分〕奇函数f〔x〕的图象关于直线x=3对称，当x∈[0，3]时，f〔x〕=﹣x，那么f〔﹣16〕=　2　．
【解答】解：根据题意，函数f〔x〕的图象关于直线x=3对称，
那么有f〔x〕=f〔6﹣x〕，
又由函数为奇函数，那么f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，
那么有f〔x〕=﹣f〔6﹣x〕=f〔x﹣12〕，
那么f〔x〕的最小正周期是12，
故f〔﹣16〕=f〔﹣4〕=﹣f〔4〕=﹣f〔2〕，
即f〔﹣16〕=﹣〔﹣2〕=2；
故答案为：2．
16．〔5分〕半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O外表的最小距离为R，那么从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积等于　3πR2．
【解答】解：∵半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O外表的最小距离为R，
∴轴截面如以下图所示，
，
∴从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积为：
S=3πR2．
故答案为：3πR2．
三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔12分〕Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S5=35，a1，a4，a13成等比数列．
〔1〕求数列{an}的通项公式；
〔2〕求数列的前n项和Tn．
【解答】解：〔1〕S5=35⇒5a3=35⇒a3=7，
设公差为d，a1，a4，a13成等比数列〔舍去d=0〕．
∴an=2n+1．
〔2〕，
∴．
∴，
=．
18．〔12分〕某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间〞，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间〞〔单位：小时〕，活动时间按照[0，0.5〕、[0.5，1〕、…、[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如以下图．
〔1〕求图中a的值；
〔2〕估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间〞的中位数；
〔3〕在[1，1.5〕、[1.5，2〕这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．
【解答】〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间〞在[0，0.5〕的频率为0.08×0.5=0.04．
同理，在[0.5，1〕，[1.5，2〕，[2，2.5〕，[3，3.5〕，[3.5，4〕，[4，4.5〕等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，
由1﹣〔0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02〕=0.5×a+0.5×a．
解得a=0.30．
〔2〕设中位数为m小时．
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．
由0.50×〔m﹣2〕=0.5﹣0.47，解得m=2.06．
故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间〞的中位数为2.06小时．
〔3〕由题意得平均户外活动时间在[1，1.5〕，[1.5，2〕中的人数分别有15人、20人，
按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，
从7人中随机抽取2人，共有21种，分别为：
〔A，B〕，〔A，C〕，〔A，a〕，〔A，b〕，〔A，c〕，〔A，d〕，〔B，C〕，〔B，a〕，〔B，b〕，〔B，c〕，〔B，d〕，
〔C，a〕，〔C，b〕，〔C，c〕，〔C，d〕，〔a，b〕，〔a，c〕，〔a，d〕，〔b，c〕，〔b，d〕，〔c，d〕，
同时在同一组的有：
〔A，B〕，〔A，C〕，〔B，C〕，〔a，b〕，〔a，c〕，〔a，d〕，〔b，c〕，〔b，d〕，〔c，d〕．共9种，
故抽取的两人恰好都在同一个组的概率．
19．〔12分〕如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是正方形，A1B1⊥A1C1．
〔1〕证明：AB1⊥BC1；
〔2〕当三棱锥A﹣A1B1C1的体积为2，AA1=2时，求点C到平面AB1C1的距离．
【解答】〔1〕证明：如图，由ABB1A1是正方形得AB1⊥BA1，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥A1C1，又AA1∩A1B1=A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，且AB1⊂平面ABB1A1，
故AB1⊥A1C1，且BA1∩A1C1=A1，
故AB1⊥平面BA1C1，且BC1⊂平面BA1C1，
∴AB1⊥BC1．
〔2〕解：∵三棱锥A﹣A1B1C1的体积为2，得．
如图，设AB1∩BA1=O，连接OC1，那么，
设点A1到平面AB1C1的距离为d，
那么，
由对称性知：点C到平面AB1C1的距离为．
20．〔12分〕如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP．
〔1〕求证：；
〔2〕假设kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
【解答】证明：〔1〕设Q〔x1，y1〕，
由椭圆，得B〔﹣2，0〕，A〔2，0〕，
∴；
〔2〕由〔1〕知：．
设P〔x2，y2〕，直线PQ：x=ty+m，
代入x2+4y2=4，得〔t2+4〕y2+2mty+m2﹣4=0，
∴，，
由kAP•kAQ=﹣1得：〔x1﹣2〕〔x2﹣2〕+y1y2=0，
∴，
∴〔t2+1〕〔m2﹣4〕+〔m﹣2〕t〔﹣2mt〕+〔m﹣2〕2〔t2+4〕=0，
∴5m2﹣16m+12=0，解得m=2或m=．
∵m≠2，∴，
∴直线PQ：，恒过定点．
21．〔12分〕设函数f〔x〕=ex﹣asinx．
〔1〕当a=1时，证明：∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕＞1；
〔2〕假设∀x∈[0，+∞〕，f〔x〕≥0都成立，求实数a的取值范围．
【解答】〔1〕证明：由a=1知f〔x〕=ex﹣sinx，
当x∈[0，+∞〕时，f'〔x〕=ex﹣cosx≥0〔当且仅当x=0时取等号〕，
故f〔x〕在[0，+∞〕上是增函数，
又f〔0〕=1，故∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕＞f〔0〕=1，
即：当a=1时，∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕＞1．
〔2〕解：当a=0时，f〔x〕=ex，符合条件；
当a＞0时，设与y2=asinx在点〔x0，y0〕处有公切线，
那么，
故；
当a＜0时，设与y2=asinx在点〔x0，y0〕处有公切线，
同法可得；
综上所述，实数a的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．〔10分〕极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为〔t为参数〕．
〔1〕求直线l和圆C的直角坐标方程；
〔2〕设点P〔2，1〕，直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
【解答】〔本小题总分值10分〕【选修4﹣4：坐标系与参数方程】
解：〔1〕∵直线l的参数方程为〔t为参数〕．
∴直线l的直角坐标方程为，
∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0．
〔2〕将代入x2+y2﹣4x=0，
整理得：，
∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|2x+1|．
〔1〕解不等式f〔x〕＞x+5；
〔2〕假设对于任意x，y∈R，有，，求证：f〔x〕＜1．
【解答】〔Ⅰ〕解：f〔x〕＞x+5⇒|2x+1|＞x+5
⇒2x+1＞x+5或2x+1＜﹣x﹣5，
∴解集为{x|x＞4或x＜﹣2}．
〔Ⅱ〕证明：．