1、2.1 指数函数知识导学 在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义. 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用. 比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借
2、助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题: (1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线. 当0a1时,x-,y0. 当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;当0a0,且a1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性. 判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=ax(a0,a1)的形式.问题导思 指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常
3、重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来. 另外,底数a对图象特征的影响也可这样来叙述:当a1时,底数越大,函数图象就越靠近y轴;当0a0且a1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_.答案:12绿色通道比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m、n的定位进行判断.黑色陷阱如果不注意原题中的条件:1nm0,而取m=2,n=3,将会出现误选B的情形.典题变式 如图2-1-5,曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y=ax、y=bx、y=cx和y=dx的图象,则a、b
4、、c、d与1的大小关系是( )图2-1-5A.ab1cd B.ab1dc C.ba1cd D.ba1dy1y2 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y2答案:D2.当x0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )A.1|a|2 B.|a|1 D.|a|2答案:D绿色通道 本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.典题变式1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )A.增加7.84% B
5、.减少7.84%C.减少9.5% D.不增不减答案:B2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.黑色陷阱解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,t的单位是年.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.
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