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2.1 指数函数
知识导学
在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义.
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:
(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当0<a<1时,x→+∞,y→0;当a>1时,x→-∞,y→0.
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;当0<a<1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.
(2)熟悉指数函数y=10x,y=2x,y=()x,y=()x在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.
记忆口诀:
(1)方根口诀
正数开方要分清,根指奇偶大不同,
根指为奇根一个,根指为偶双胞生.
负数只有奇次根,算术方根零或正,
正数若求偶次根,符号相反值相同.
负数开方要慎重,根指为奇才可行,
根指为偶无意义,零取方根仍为零.
(2)指数函数性质口诀
指数增减要看清,抓住底数不放松,
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
疑难导析
用语言叙述这三个公式:
(1)非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
(2)n为奇数时,实数a的n次幂的n次方根是a本身;n为偶数时,实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.
在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.
判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=ax(a>0,a≠1)的形式.
问题导思
指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来.
另外,底数a对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小,函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响.
典题导考
绿色通道
根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些.
第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？
黑色陷阱
做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题.
典题变式
1.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2)(-6)÷(-3);
(2)()8.
答案:(1)4a;(2).
2.已知+=3,求a2+a-2的值.
答案:47.
3.已知函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.
答案:12
绿色通道
比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m、n的定位进行判断.
黑色陷阱
如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B的情形.
典题变式 如图2-1-5,曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y=ax、y=bx、y=cx和y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是( )
图2-1-5
A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<c<d D.b<a<1<d<c
答案:D
绿色通道
1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.
首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;
其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.
2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.
典题变式
1.设y1=40.9,y2=80.44,y3=()-1.5,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案:D
2.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )
A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|>2
答案:D
绿色通道
本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.
典题变式
1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
答案:B
2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.
黑色陷阱
解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.
典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,t的单位是年.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？
答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.
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