2022-2022学年高中数学课时分层作业6三角形中的几何计算新人教A版必修5.doc

课时分层作业(六)　三角形中的几何计算
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)
A．60°或120°　　　B．120°　　　C．60°　　　D．30°
C　[S△ABC＝·BC·CA·sin C＝3，∴sin C＝，∵C∈(0°，90°)，
∴C＝60°.]
2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．150°
A　[4S＝b2＋c2－a2＝2bc cos A，
∴4·bc sin A＝2bc cos A，∴tan A＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.]
3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　)
A．40 B．20
C．40 D．20
A　[设另两边长为8x，5x，
则cos 60°＝＝，
解得x＝2.两边长是16与10，
三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.]
4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　　)
A． B． C． D．3
A　[面积S＝＝bc sin A＝×1×c×，∴c＝4，
∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝12＋42－2×1×4×＝13，
∴＝＝.]
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　)
A．8 B．16 C．18 D．32
B　[在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝65，
即AB2＋AD2－2AB·AD·cos B＝65，①
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝17，②
又cos A＋cos B＝0.
①＋②得AB2＋AD2＝41，
又AB＋AD＝9，
∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5.
∴cos A＝，
A∈，∴sin A＝，
∴这个平行四边形的面积S＝5·4·＝16.]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为 ．
　[画出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝.]
7．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为 ．
49　[由bc sin A＝220得c＝55，
又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2 401，
所以a＝49.]
8．在△ABC中，B＝120°，b＝7，c＝5，则△ABC的面积为 ．
　[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即49＝a2＋25－2×5×a cos 120°，
整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)，
∴S△ABC＝ac sin B＝×3×5sin 120°＝.]
三、解答题
9．已知△ABC的三内角满足cos (A＋B)cos (A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2.
[证明]　由已知得cos2A cos2B－sin2A sin2B＝1－5sin2C，
∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2A sin2B＝1－5sin2C，
∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，
∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.
由正弦定理得，所以＋＝5，即a2＋b2＝5c2.
10．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解]　(1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cosC＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．②
由①，②得cos C＝，
故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C＝·sin 60°＝2.
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin B cos C＋c sin B cos A＝b，且a>b，则B＝(　　)
A．　　 　B．　　 　C．　　 　D．
A　[由正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝sin B，又因为sin B≠0，所以sin A cos C＋sin C cos A＝，所以sin (A＋C)＝sin B＝.因为a>b，所以B＝.]
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，b＝，且1＋2cos (B＋C)＝0，则BC边上的高等于(　　)
A． B． C． D．
B　[由1＋2cos (B＋C)＝0，得1－2cos A＝0，即cos A＝，所以A＝.由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为b＜a，所以B＜A，得B＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，即3＝2＋c2－c，得c2－c－1＝0，解得c＝(c＝舍去)，所以BC边上的高h＝c sin B＝×＝.故选B.]
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，则角C的值为 ．
　[由正弦定理得1＋·＝，即＝，
∴cos A＝，A∈，
A＝，sin A＝，
由＝得sin C＝，
又c<a，C<A，∴C＝.]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为 ．
8　[在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，
所以有解得]
5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
[解]　(1)因为m∥n，
所以a sin B－b cos A＝0，
由正弦定理，得sin A sin B－sin B cos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝.
由于0<A<π，所以A＝.
(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bc sin A＝.
法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝.
又由a>b，知A>B，所以cos B＝.
故sin C＝sin (A＋B)＝sin
＝sin B cos ＋cos B sin ＝.
所以△ABC的面积为ab sin C＝.
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