2022年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(理科).docx

2022年甘肃省张掖市高考数学一模试卷〔理科〕
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕假设集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2﹣6x＜0}，那么M∩N=〔　　〕
A．{x|0＜x＜4} B．{x|6＜x＜8} C．{x|4＜x＜6} D．{x|4＜x＜8}
2．〔5分〕假设〔2﹣i〕2=a+bi3〔a，b∈R〕，那么a+b=〔　　〕
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
3．〔5分〕如表是我国某城市在2022年1月份至10月份各月最低温与最高温〔°C〕的数据一览表．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，那么以下结论错误的选项是〔　　〕
A．最低温与最高温为正相关
B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差〔最高温减最低温〕的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差〔最高温减最低温〕相对于7月至10月，波动性更大
4．〔5分〕tan〔﹣θ〕=4cos〔2π﹣θ〕，|θ|＜，那么tan2θ=〔　　〕
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．〔5分〕双曲线的实轴长为8，那么该双曲线的渐近线的斜率为〔　　〕
A． B． C． D．
6．〔5分〕如下列图的程序框图，运行程序后，输出的结果等于〔　　〕
A．2 B．3 C．4 D．5
7．〔5分〕假设实数x，y满足约束条件，那么z=4x﹣y的最大值为〔　　〕
A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．12
8．〔5分〕设A，B是椭圆的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x2+y2=10的一个交点，那么||PA|﹣|PB||=〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔5分〕设w＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，那么w的最小值是〔　　〕
A． B． C． D．
10．〔5分〕f〔x〕=的局部图象大致是〔　　〕
A． B． C． D．
11．〔5分〕如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，那么该多面体外接球的外表积为〔　　〕
A．52π B．45π C．41π D．34π
12．〔5分〕函数，假设f〔m〕=g〔n〕成立，那么n﹣m的最小值为〔　　〕
A． B． C． D．
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕向量，，且，那么=．
14．〔5分〕假设〔1﹣3x〕6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，那么=．
15．〔5分〕如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，那么异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．
16．〔5分〕在△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，那么=．
三、解答题〔本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕〔一〕必考题：
17．〔12分〕等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2，{bn}为等差数列，b3=a2，b2+b6=10．
〔1〕求数列{an}，{bn}的通项公式；
〔2〕求数列{an〔2bn﹣3〕}的前n项和Tn．
18．〔12分〕“扶贫帮困〞是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖时机，一次性从箱中摸球三个〔摸完球后将球放回〕，假设有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元．
〔1〕求献爱心参与者中奖的概率；
〔2〕假设该次募捐有900为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．
19．〔12分〕如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=3，=2，PE⊥平面ABCD，PE=．
〔1〕证明：平面PAC⊥平面PBE；
〔2〕求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
20．〔12分〕设直线l的方程为x=m〔y+2〕+5，该直线交抛物线C：y2=4x于P，Q两个不同的点．
〔1〕假设点A〔5，﹣2〕为线段PQ的中点，求直线l的方程；
〔2〕证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B〔1，2〕．
21．〔12分〕函数f〔x〕=ax2﹣ex〔a∈R〕．
〔1〕假设曲线y=f〔x〕在x=1处的切线与y轴垂直，求y=f'〔x〕的最大值；
〔2〕假设对任意0≤x1＜x2都有f〔x2〕+x2〔2﹣2ln2〕＜f〔x1〕+x1〔2﹣2ln2〕，求a的取值范围．
22．〔10分〕曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．〔p∈R〕
〔Ⅰ〕求A、B两点的极坐标；
〔Ⅱ〕曲线C1与直线〔t为参数〕分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
23．函数f〔x〕=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
〔1〕当a=﹣1时，解不等式f〔x〕≤1；
〔2〕假设x∈[0，3]时，f〔x〕≤4，求a的取值范围．
2022年甘肃省张掖市高考数学一模试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕假设集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2﹣6x＜0}，那么M∩N=〔　　〕
A．{x|0＜x＜4} B．{x|6＜x＜8} C．{x|4＜x＜6} D．{x|4＜x＜8}
【解答】解：∵集合M={x|4＜x＜8}，
N={x|x2﹣6x＜0}={x|0＜x＜6}，
∴M∩N={x|4＜x＜6}．
应选：C．
2．〔5分〕假设〔2﹣i〕2=a+bi3〔a，b∈R〕，那么a+b=〔　　〕
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
【解答】解：∵〔2﹣i〕2=3﹣4i=a+bi3=a﹣bi，
∴a=3，b=4．
∴a+b=7．
应选：A．
3．〔5分〕如表是我国某城市在2022年1月份至10月份各月最低温与最高温〔°C〕的数据一览表．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，那么以下结论错误的选项是〔　　〕
A．最低温与最高温为正相关
B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差〔最高温减最低温〕的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差〔最高温减最低温〕相对于7月至10月，波动性更大
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，那么A正确；
对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：﹣3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，那么B错误；
对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C正确；
对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确；
应选：B．
4．〔5分〕tan〔﹣θ〕=4cos〔2π﹣θ〕，|θ|＜，那么tan2θ=〔　　〕
A．﹣ B． C．﹣ D．
【解答】解：∵tan〔﹣θ〕=4cos〔2π﹣θ〕，
∴=4cosθ，
又∵|θ|＜，cosθ≠0，
∴sin，cosθ==，tanθ==，
∴tan2θ===．
应选：B．
5．〔5分〕双曲线的实轴长为8，那么该双曲线的渐近线的斜率为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的实轴长为8，
可得：m2+12=16，解得m=2，m=﹣2〔舍去〕．
所以，双曲线的渐近线方程为：．
那么该双曲线的渐近线的斜率：．
应选：C．
6．〔5分〕如下列图的程序框图，运行程序后，输出的结果等于〔　　〕
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
a=2，s=0，n=1，
s=2，a=，
满足条件s＜3，执行循环体，n=2，s=2+=，a=，
满足条件s＜3，执行循环体，n=3，s=+=，a=，
此时，不满足条件s＜3，退出循环，输出n的值为3．
应选：B．
7．〔5分〕假设实数x，y满足约束条件，那么z=4x﹣y的最大值为〔　　〕
A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．12
【解答】解：实数x，y满足约束条件，
表示的平面区域如下列图，
当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，
由解得A〔3，0〕，
在y轴上截距最小，此时z取得最大值：12．
应选：D．
8．〔5分〕设A，B是椭圆的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x2+y2=10的一个交点，那么||PA|﹣|PB||=〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：A，B是椭圆的两个焦点，可知：A〔﹣，0〕、B〔，0〕，
圆M：x2+y2=10恰好经过AB两点，点P是椭圆C与圆M：x2+y2=10的一个交点，
可得PA⊥PB，
所以，
可得：2|PA||PB|=8，||PA|﹣|PB||2=32，
||PA|﹣|PB||=4．
应选：C．
9．〔5分〕设w＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，那么w的最小值是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，
∴=，那么ω=，
应选：A．
10．〔5分〕f〔x〕=的局部图象大致是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵f〔﹣x〕=f〔x〕∴函数f〔x〕为奇函数，排除A，
∵x∈〔0，1〕时，x＞sinx，x2+x﹣2＜0，故f〔x〕＜0，故排除B；
当x→+∞时，f〔x〕→0，故排除C；
应选：D
11．〔5分〕如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，那么该多面体外接球的外表积为〔　　〕
A．52π B．45π C．41π D．34π
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．
设AC∩BD=O，那么OA=OB=OC=OD=，OP=，
∴O该多面体外接球的球心，半径R=，∴该多面体外接球的外表积为S=4πR2=52π．
应选：A
12．〔5分〕函数，假设f〔m〕=g〔n〕成立，那么n﹣m的最小值为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设f〔m〕=g〔n〕=t，
∴e4m﹣1=+ln〔2n〕=t，〔t＞0〕
∴4m﹣1=lnt，即m=〔1+lnt〕，n=e，
故n﹣m=e﹣〔1+lnt〕，〔t＞0〕
令h〔t〕=e﹣〔1+lnt〕，〔t＞0〕，
∴h′〔t〕=e﹣，易知h′〔t〕在〔0，+∞〕上是增函数，且h′〔〕=0，
当t＞时，h′〔t〕＞0，
当0＜t＜时，h′〔t〕＜0，
即当t=时，h〔t〕取得极小值同时也是最小值，
此时h〔〕=﹣〔1+ln〕=，即n﹣m的最小值为；
应选：C．
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕向量，，且，那么=．
【解答】解：∵，∴=6﹣2m=0，
解得m=3．
∴=〔6，﹣2〕﹣2〔1，3〕=〔4，8〕．
∴==4．
故答案为：．
14．〔5分〕假设〔1﹣3x〕6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，那么=　﹣4　．
【解答】解：假设〔1﹣3x〕6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，
那么〔1﹣3x〕6的通项公式为Tr+1=〔﹣3x〕r，r=0，1，2，…，6，

a3=﹣27=﹣540，
可得=﹣4．
故答案为：﹣4．
15．〔5分〕如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，那么异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．
【解答】解：连结BC1，交B1C于点O，连结OE，
∵E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，
∴BCC1B1是正方形，∴O是BC1中点，
∵BD1∥平面B1CE，∴BD1∥OE，
∴E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
那么B〔2，2，0〕，D1〔0，0，2〕，C〔0，2，0〕，E〔0，1，2〕，
=〔﹣2，﹣2，2〕，=〔0，﹣1，2〕，
设异面直线BD1与CE所成成角为θ，
cosθ===．
∴异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．
故答案为：．
16．〔5分〕在△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，那么=．
【解答】解：△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，
那么：S△ACD=S△BCD，
所以：=，
整理得：．
故答案为：．
三、解答题〔本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕〔一〕必考题：
17．〔12分〕等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2，{bn}为等差数列，b3=a2，b2+b6=10．
〔1〕求数列{an}，{bn}的通项公式；
〔2〕求数列{an〔2bn﹣3〕}的前n项和Tn．
【解答】解：〔1〕根据题意，等比数列{an}中Sn=2an﹣2，
当n=1时，有S1=2a1﹣2=a1，解可得a1=2，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=〔2an﹣2〕﹣〔2an﹣1﹣2〕，变形可得an=2an﹣1，
那么等比数列{an}的a1=2，公比q=2，
那么数列{an}的通项公式an=2×2n﹣1=2n，
对于{bn}，b3=a2=4，b2+b6=2b4=10，即b4=5，
那么其公差d=b4﹣b3=1，
那么其通项公式bn=b3+〔n﹣3〕×d=n+1，
〔2〕由〔1〕的结论：an=2n，bn=n+1，
an〔2bn﹣3〕=〔2n﹣1〕•2n，
那么有Tn=1×2+3×22+5×23+…+〔2n﹣1〕×2n，①
那么有2Tn=1×22+3×23+5×24+…+〔2n﹣1〕×2n+1，②
①﹣②可得：﹣Tn=2+2〔22+23+…+2n〕﹣〔2n﹣1〕×2n+1，
变形可得：Tn=〔2n﹣3〕•2n+1+6．
18．〔12分〕“扶贫帮困〞是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖时机，一次性从箱中摸球三个〔摸完球后将球放回〕，假设有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元．
〔1〕求献爱心参与者中奖的概率；
〔2〕假设该次募捐有900为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．
【解答】解：〔1〕设“献爱心参与者中奖〞为事件A，
那么献爱心参与者中奖的概率．
〔2〕设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X，那么X=20，10，0，﹣80，
那么，
，
，
，
∴X的分布列为：
X
20
10
0
﹣80
P

假设只有一个参与者募捐，
学校所得善款的数学期望为元，
所以，此次募捐所得善款的数学期望为元．
19．〔12分〕如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=3，=2，PE⊥平面ABCD，PE=．
〔1〕证明：平面PAC⊥平面PBE；
〔2〕求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】〔1〕证明：连接BE交AC于F，
∵四边形ABCD是矩形，AB=，BC=1，，
∴CE=，那么，
∵∠ABC=∠BCD=，
∴△ABC∽△BCE，那么∠BEC=∠ACB，
∵∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE=，
∴AC⊥BE，
∵PE⊥平面ABCD，∴AC⊥PE，
∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PBE，
∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBE；
〔2〕解：取PB中点G，连接FG，AG，CG，
∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥DC，
∵PE=，∴PC=3=BC，得CG⊥PB，
∵CG∩AC=C，∴PB⊥平面ACG，那么AG⊥PB，
∴∠AGC是二面角A﹣PB﹣C的平面角，
∵AB∥CD，AB=CD，DE=2EC，
∴，
∵CE=，AC=6，∴CF=，AF=，
∵BC⊥CD，BC⊥PE，∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PC，
∴PB=，那么CG=，
∵FG⊥AC，∴FG=FC=，
在Rt△AFG和Rt△CFG中，求得tan∠AGF=3，tan∠CGF=1．
∴tan∠AGC=tan〔∠AGF+∠CGF〕=．
∴cos∠AGC=．
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．
20．〔12分〕设直线l的方程为x=m〔y+2〕+5，该直线交抛物线C：y2=4x于P，Q两个不同的点．
〔1〕假设点A〔5，﹣2〕为线段PQ的中点，求直线l的方程；
〔2〕证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B〔1，2〕．
【解答】解：〔1〕联立方程组，消去x得y2﹣4my﹣4〔2m+5〕=0
设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，那么y1+y2=4m，y1y2=﹣8m﹣20
因为A为线段PQ的中点，所以，解得m=﹣1，
所以直线l的方程为x+y﹣3=0．
〔2〕证明：因为，
，
所以，
即
所以，
因此BP⊥BQ，即以线段PQ为直径的圆恒过点B〔1，2〕．
21．〔12分〕函数f〔x〕=ax2﹣ex〔a∈R〕．
〔1〕假设曲线y=f〔x〕在x=1处的切线与y轴垂直，求y=f'〔x〕的最大值；
〔2〕假设对任意0≤x1＜x2都有f〔x2〕+x2〔2﹣2ln2〕＜f〔x1〕+x1〔2﹣2ln2〕，求a的取值范围．
【解答】解：〔1〕由f'〔x〕=2ax﹣ex，得，，
令g〔x〕=f'〔x〕=ex﹣ex，那么g'〔x〕=e﹣ex，
可知函数g〔x〕在〔﹣∞，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减，
所以g'〔x〕max=g'〔1〕=0．
〔2〕由题意得可知函数h〔x〕=f〔x〕+x〔2﹣2ln2〕=ax2+x〔2﹣ln2〕﹣ex在[0，+∞〕上单调递减，
从而h'〔x〕=2ax+〔2﹣2ln2〕﹣ex≤0在[0，+∞〕上恒成立，
令F〔x〕=2ax+〔2﹣2ln2〕﹣ex，那么F'〔x〕=2a﹣ex，
当时，F'〔x〕≤0，所以函数F〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，那么F〔x〕max=F〔0〕=1﹣2ln2＜0，
当时，F'〔x〕=2a﹣ex=0，得x=ln2a，所以函数F〔x〕在[0，ln2a〕上单调递增，
在[ln2a，+∞〕上单调递减，
那么F〔x〕max=F〔ln2a〕=2alo2a+2﹣2ln2﹣2a≤0，
即2aln2a﹣2a≤2ln2﹣2，
通过求函数y=xlnx﹣x的导数可知它在[1，+∞〕上单调递增，故，
综上，实数a的取值范围是〔﹣∞，1]．
22．〔10分〕曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．〔p∈R〕
〔Ⅰ〕求A、B两点的极坐标；
〔Ⅱ〕曲线C1与直线〔t为参数〕分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
【解答】解：〔Ⅰ〕由得：，
∴ρ2=16，
即ρ=±4．
∴A、B两点的极坐标为：或．
〔Ⅱ〕由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2〔cos2θ﹣sin2θ〕=8，
得到普通方程为x2﹣y2=8．
将直线代入x2﹣y2=8，
整理得．
∴|MN|==．
23．函数f〔x〕=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
〔1〕当a=﹣1时，解不等式f〔x〕≤1；
〔2〕假设x∈[0，3]时，f〔x〕≤4，求a的取值范围．
【解答】解：〔1〕当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；
当x≤﹣3时，不等式转化为﹣〔x+1〕+〔x+3〕≤1，不等式解集为空集；
当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣〔x+1〕﹣〔x+3〕≤1，解之得；
当x≥﹣1时，不等式转化为〔x+1〕﹣〔x+3〕≤1，恒成立；
综上所求不等式的解集为．
〔2〕假设x∈[0，3]时，f〔x〕≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，
又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，
所以a的取值范围为[﹣7，7]．