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图形的性质——命题与证明1
一．选择题〔共8小题〕
1．以下命题是假命题的是〔 〕
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形
2．命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解〞，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是〔 〕
A．b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D．b=0
3．命题A：任何偶数都是8的整数倍．在以下选项中，可以作为“命题A是假命题〞的反例的是〔 〕
A．2k B．15 C．24 D．42
4．以下四个命题：
〔1〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
〔2〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
〔3〕对角线互相平分的四边形是平行四边形；
〔4〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题个数有〔 〕
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．以下命题是真命题的是〔 〕
A．等腰梯形是轴对称图形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是正方形
D．有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形
6．以下命题错误的选项是〔 〕
A．所有的实数都可用数轴上的点表示 B．等角的补角相等
C．无理数包括正无理数，0，负无理数 D．两点之间，线段最短
7．以下命题：
①假设a＞b，那么ac＞bc；
②假设a=1，那么=a；
③内错角相等；
④90°的圆周角所对的弦是直径．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是〔 〕
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．以下命题是真命题的是〔 〕
A．四边形都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的梯形是等腰梯形
二．填空题〔共7小题〕
9请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数〞是假命题，你举的反例是x= _________ 〔写出一个x的值即可〕．
10．命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．〞写出它的逆命题： _________ ，该逆命题是 _________ 命题〔填“真〞或“假〞〕．
11．以下四个命题：
①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．
②当m＞0时，y=﹣mx+1与y= 两个函数都是y随着x的增大而减小．
③正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，假设A点坐标为〔1，，那么D点坐标为〔1，．
④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，那么两次取到的小球标号的和等于4的概率为．
其中正确的命题有 _________ 〔只需填正确命题的序号〕
12．命题“对顶角相等〞的逆命题为 _________ ．
13．命题“对顶角相等〞的题设是 _________ ，结论是 _________ ．
14命题“直角三角形两个锐角互余〞的条件是 _________ ，结论是 _________ ．
15．请阅读以下语句：
①一个数的相反数是它本身，那么这个数一定是正数；
②方程ax2+bx+c=0，当b2﹣4ac＞0时，方程一定有两个不等实根；
③函数y=kx+b，当k＞0时，图象有可能不经过第二象限；
④两边一角对应相等的两个三角形全等；
⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差＞B班的方差，得出结论是：B班的成绩比A班的好．
其中正确的选项是 _________ 〔只填序号〕
三．解答题〔共5小题〕
16．写出以下命题的、求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简称：“等角对等边〞〕．
：如图， _________ ．
求证： _________ ．
证明：
17．命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，那么AB∥DE．〞判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
18．命题：“P是等边三角形ABC内的一点，假设P到三边的距离相等，那么PA=PB=PC．〞证明这个命题，并写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗假设成立，请给出证明．
19．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：
①假设a2+ab+c＞0，且c＞1，那么0＜b＜2；
②假设c＞1且0＜b＜2，那么a2+ab+c＞0；
③假设0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，那么c＞1．
试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否认．
20．如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．
题设〔〕： _________ ．
结论〔求证〕： _________ ．
证明： _________ ．
图形的性质——命题与证明1
参考答案与试题解析
一．选择题〔共8小题〕
1．以下命题是假命题的是〔 〕
A． 四个角相等的四边形是矩形 B． 对角线相等的平行四边形是矩形
C． 对角线垂直的四边形是菱形 D． 对角线垂直的平行四边形是菱形
考点： 命题与定理．
分析： 根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．
解答： 解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．
应选：C．
点评： 此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
2．命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解〞，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是〔 〕
A． b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D． b=0
考点： 命题与定理；根的判别式．
专题： 常规题型．
分析： 先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
解答： 解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．
应选：A．
点评： 此题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．
3．命题A：任何偶数都是8的整数倍．在以下选项中，可以作为“命题A是假命题〞的反例的是〔 〕
A． 2k B．15 C．24 D． 42
考点： 命题与定理．
分析： 证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．
解答： 解：42是偶数，但42不是8的倍数．
应选：D．
点评： 此题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．以下四个命题：
〔1〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
〔2〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
〔3〕对角线互相平分的四边形是平行四边形；
〔4〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题个数有〔 〕
A． 4个 B．3个 C．2个 D． 1个
考点： 命题与定理；平行四边形的判定．
专题： 常规题型．
分析： 分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
解答： 解：〔1〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；
〔2〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；
〔3〕对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；
〔4〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此选项正确．
应选：A．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
5．以下命题是真命题的是〔 〕
A． 等腰梯形是轴对称图形
B． 对角线相等的四边形是矩形
C． 四边相等的四边形是正方形
D． 有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形
考点： 命题与定理．
专题： 常规题型．
分析： 根据等腰图形的性质对A矩形判断；根据矩形、正方形和菱形的判定方法分别对B、C、D矩形判断．
解答： 解：A、等腰梯形是轴对称图形，所以A选项正确；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、四边相等且有一个角为90°的四边形是正方形，所以C选项错误；
D、有两条相互垂直的对称轴的四边形可以是菱形或矩形，所以D选项错误．
应选：A．
点评： 此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
6．以下命题错误的选项是〔 〕
A． 所有的实数都可用数轴上的点表示 B． 等角的补角相等
C． 无理数包括正无理数，0，负无理数 D． 两点之间，线段最短
考点： 命题与定理．
专题： 常规题型．
分析： 根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；
根据补角的定义对B进行判断；
根据无理数的分类对C进行判断；
根据线段公理对D进行判断．
解答： 解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项正确；
B、等角的补角相等，所以B选项正确；
C、无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以C选项错误；
D、两点之间，线段最短，所以D选项正确．
应选：C．
点评： 此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
7．以下命题：
①假设a＞b，那么ac＞bc；
②假设a=1，那么=a；
③内错角相等；
④90°的圆周角所对的弦是直径．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是〔 〕
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 命题与定理．
专题： 常规题型．
分析： 先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．
解答： 解；①假设a＞b，那么ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；
②假设a=1，那么=a是真命题，逆命题是假命题；
③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；
④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；
应选：A．
点评： 主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．以下命题是真命题的是〔 〕
A． 四边形都相等的四边形是矩形
B． 菱形的对角线相等
C． 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D． 对角线相等的梯形是等腰梯形
考点： 命题与定理．
分析： 利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．
解答： 解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；
B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；
D、正确，是真命题．
应选：D．
点评： 此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于根底题．
二．填空题〔共7小题〕
9．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数〞是假命题，你举的反例是x=〔写出一个x的值即可〕．
考点： 命题与定理．
专题： 开放型．
分析： 先进行配方得到x2+5x+5=x2+5x+﹣=〔x﹣〕2﹣，当x=时，那么有x2+5x+5=﹣＜0．
解答： 解：x2+5x+5=x2+5x+﹣=〔x﹣〕2﹣，
当x=时，x2+5x+5=﹣＜0，
∴是假命题．
故答案为：．
点评： 此题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题为假命题时，可以举出反例．
10．命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．〞写出它的逆命题： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 ，该逆命题是 假 命题〔填“真〞或“假〞〕．
考点： 命题与定理．
分析： 交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
解答： 解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．〞写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．
点评： 此题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．
11．以下四个命题：
①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．
②当m＞0时，y=﹣mx+1与y= 两个函数都是y随着x的增大而减小．
③正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，假设A点坐标为〔1，，那么D点坐标为〔1，．
④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，那么两次取到的小球标号的和等于4的概率为．
其中正确的命题有 ① 〔只需填正确命题的序号〕
考点： 命题与定理．
专题： 推理填空题．
分析： 利用菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识分别判断后即可确定答案．
解答： 解：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，故①正确．
②当m＞0时，﹣m＜0，y=﹣mx+1是y随着x的增大而减小，y= 是在同一象限内y随着x的增大而减小，故②错误．
③正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，假设A点坐标为〔1，，那么D点坐标为〔﹣，1〕，故③错误．
④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，那么两次取到的小球标号的和等于4的概率为，故④错误，
故答案为：①．
点评： 此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识，难度一般．
12．命题“对顶角相等〞的逆命题为 如果两个角相等，那么它们是对顶角 ．
考点： 命题与定理．
分析： 把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．
解答： 解：“对顶角相等〞的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
点评： 此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．命题“对顶角相等〞的题设是 两个角是对顶角 ，结论是 这两个角相等 ．
考点： 命题与定理．
分析： 任何一个命题都可以写成如果…，那么…的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
解答： 解：命题“对顶角相等〞可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故命题“对顶角相等〞的题设是“两个角是对顶角〞，结论是“这两个角相等〞．
点评： 此题考查的是命题的题设与结论，解答此题目只要把命题写成如果…，那么…的形式，便可解答．
14．命题“直角三角形两个锐角互余〞的条件是 一个直角三角形中的两个锐角 ，结论是 这两个锐角互余 ．
考点： 命题与定理．
分析： 命题有条件和结论两局部组成，条件是的，结论是结果．
解答： 解：“直角三角形两个锐角互余〞的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余．
点评： 此题考查了命题的条件和结论的表达．
15．请阅读以下语句：
①一个数的相反数是它本身，那么这个数一定是正数；
②方程ax2+bx+c=0，当b2﹣4ac＞0时，方程一定有两个不等实根；
③函数y=kx+b，当k＞0时，图象有可能不经过第二象限；
④两边一角对应相等的两个三角形全等；
⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差＞B班的方差，得出结论是：B班的成绩比A班的好．
其中正确的选项是 ②③ 〔只填序号〕
考点： 命题与定理．
分析： 利用相反数的定义、根的判别式、一次函数的性质、全等三角形的判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的答案．
解答： 解：①一个数的相反数是它本身，那么这个数一定是正数，错误；
②方程ax2+bx+c=0，当b2﹣4ac＞0时，方程一定有两个不等实根，正确；
③函数y=kx+b，当k＞0时，图象有可能不经过第二象限，正确；
④两边一角对应相等的两个三角形全等，错误；
⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差＞B班的方差，得出结论是：B班的成绩比A班的好，错误，
故答案为：②③．
点评： 此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相反数的定义、根的判别式、一次函数的性质、全等三角形的判定及方差的意义，属于根底题，比较简单．
三．解答题〔共5小题〕
16．写出以下命题的、求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简称：“等角对等边〞〕．
：如图， 在△ABC中，∠B=∠C ．
求证： AB=AC ．
证明：
考点： 命题与定理；等腰三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据图示，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据∠B=∠C证明△ABC为等腰三角形，从而得出结论．
解答： 解：在△ABC中，∠B=∠C，
AB=AC，
证明：过点A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD〔AAS〕，
∴AB=AC．
点评： 此题主要考查学生对命题的定义的理解，难度适中．
17．命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，那么AB∥DE．〞判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
考点： 命题与定理．
分析： 根据平行线的性质与判定分析得出即可．
解答： 解：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，那么AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
点评： 此题主要考查了命题与定理，熟练利用平行线的判定得出是解题关键．
18．命题：“P是等边三角形ABC内的一点，假设P到三边的距离相等，那么PA=PB=PC．〞证明这个命题，并写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗假设成立，请给出证明．
考点： 命题与定理．
分析： 首先画出图形，由PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，根据角平分线的判定得出BP平分∠ABC，由BA=BC，根据等腰三角形三线合一的性质得出BP是AC的垂直平分线，同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，那么P是△ABC三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质即可证明PA=PB=PC；
将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由PA=PB，AC=BC，根据线段垂直平分线的判定得出CP是AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，那么P是△ABC三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出PD=PE=PF．
解答： 解：如图，P是等边三角形ABC内的一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD=PE=PF．求证：PA=PB=PC．
证明：∵PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，
∴BP平分∠ABC，
∵BA=BC，
∴BP是AC的垂直平分线，
同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，
∴P是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC．
逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，假设PA=PB=PC，那么P到三边的距离相等．其逆命题成立．
证明：∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分线上，
∴CP是AB的垂直平分线，
∴CP平分∠ACB，
同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，
∴PD=PE=PF．
点评： 此题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．
19．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：
①假设a2+ab+c＞0，且c＞1，那么0＜b＜2；
②假设c＞1且0＜b＜2，那么a2+ab+c＞0；
③假设0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，那么c＞1．
试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否认．
考点： 推理与论证；反证法．
专题： 推理填空题．
分析： 用反证法证明就可以代入特殊值来看看，令b=4，c=5可以证明命题①不正确，b=1，c=，可以证明命题③不正确假设，命题②正确可证明．
解答： 解：令b=4，c=5可以证明命题①不正确．
假设b=1，c=，可以证明命题③不正确．
命题②正确，证明如下
由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．
那么c＞＞，c＞＞0
故a2+ab+c=+〔c﹣〕＞0
点评： 此题考查灵活运用反例的能力以及灵活掌握不等式的能力．
20．如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．
题设〔〕： ①② ．
结论〔求证〕： ③ ．
证明： 省略 ．
考点： 命题与定理；平行线的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 可以有①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC得到AB∥CD，利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB，又BE∥CF，那么∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠FCB，即有∠1=∠2．
解答： ：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF．
求证：∠1=∠2．
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠FCB，
∴∠1=∠2．
故答案为①②；③；省略．
点评： 此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了平行线的性质．
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