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方程与不等式——分式方程1
一．选择题〔共9小题〕
1．关于x的分式方程+=1的解是非负数，那么m的取值范围是〔 〕
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
2．分式方程的解是〔 〕
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
3．点P〔1﹣2a，a﹣2〕关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，那么关于x的分式方程=2的解是〔 〕
A．5 B．1 C．3 D．不能确定
4．分式方程的解为〔 〕
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是〔 〕
A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=3
6．方程﹣=0解是〔 〕
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
7．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的选项是〔 〕
A． B． C． D．
8．A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．假设乙车每小时比甲车多行驶12千米，那么两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的选项是〔 〕
A． B． C． D．
9．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原方案提高20%，结果提前2天完成任务．设原方案每天铺设x米，下面所列方程正确的选项是〔 〕
A．﹣=2 B．﹣=2 C．﹣=2 D．=
二．填空题〔共8小题〕
10．当m _________ 时，方程=无解．
11．关于x的分式方程﹣=1的解为负数，那么k的取值范围是 _________ ．
12．方程的解是 _________ ．
13．分式方程﹣=1的解是 _________ ．
14．假设代数式和的值相等，那么x= _________ ．
15．假设关于x的方程﹣1=0有增根，那么a的值为 _________ ．
16．假设分式方程﹣=2有增根，那么这个增根是 _________ ．
17．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．假设设第一块试验田每亩的产量为x千克，那么根据题意列出的方程是 _________ ．
三．解答题〔共9小题〕
18．解方程：．
19．解方程：．
20．解方程：=1．
21．解分式方程：+=3．
22某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大局部干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
〔1〕该种干果的第一次进价是每千克多少元
〔2〕超市销售这种干果共盈利多少元
23．为了进一步落实“节能减排〞措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温〞工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米
24．某文具厂方案加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原方案的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原方案每天加工这种画图工具的数量．
25．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购置一台，客户每购置一台可获得补贴500元．假设同样用11万元所购置此款空调，补贴后可购置的台数比补贴前前多20%，那么该款空调补贴前的售价为每台多少元
26．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少
方程与不等式——分式方程1
参考答案与试题解析
一．选择题〔共9小题〕
1．关于x的分式方程+=1的解是非负数，那么m的取值范围是〔 〕
A． m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D． m＞2且m≠3
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
解答： 解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m＞2且m≠3．
应选：C
点评： 此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
2．分式方程的解是〔 〕
A． x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D． x=1或x=2
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是〔x﹣2〕，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘〔x﹣2〕，得
2x﹣5=﹣3，
解得x=1．
检验：当x=1时，〔x﹣2〕=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=1．
应选：C．
点评： 考查了解分式方程，注意：
〔1〕解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．
〔2〕解分式方程一定注意要验根．
3．点P〔1﹣2a，a﹣2〕关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，那么关于x的分式方程=2的解是〔 〕
A． 5 B 1 C．3 D． 不能确定
考点： 解分式方程；关于原点对称的点的坐标．
专题： 计算题．
分析： 根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解．
解答： 解：∵点P〔1﹣2a，a﹣2〕关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，
∴，
解得：＜a＜2，即a=1，
当a=1时，所求方程化为=2，
去分母得：x+1=2x﹣2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
那么方程的解为3．
应选：C
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．分式方程的解为〔 〕
A． 1 B．2 C3 D． 4
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：5x=3x+6，
移项合并得：2x=6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
应选：C．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是〔 〕
A． 1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D． x﹣1+2x=3
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．
解答： 解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，
应选：B．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．方程﹣=0解是〔 〕
A． x= B．x= C．x= D． x=﹣1
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3x+3﹣7x=0，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
应选：B．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的选项是〔 〕
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．
解答： 解：根据题意，得
．
应选：C．
点评： 理解题意是解容许用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．
8．A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．假设乙车每小时比甲车多行驶12千米，那么两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的选项是〔 〕
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 行程问题．
分析： 设乙车的速度为x千米/小时，那么甲车的速度为〔x﹣12〕千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．
解答： 解：设乙车的速度为x千米/小时，那么甲车的速度为〔x﹣12〕千米/小时，
由题意得，=．
应选：B．
点评： 此题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系，列出方程．
9．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原方案提高20%，结果提前2天完成任务．设原方案每天铺设x米，下面所列方程正确的选项是〔 〕
A． ﹣=2 B． ﹣=2
C． ﹣=2 D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设原方案每天铺设x米，那么实际施工时每天铺设〔1+20%〕x米，根据实际施工比原方案提前2天完成，列出方程即可．
解答： 解：设原方案每天铺设x米，那么实际施工时每天铺设〔1+20%〕x米，
由题意得，﹣=2．
应选：A．
点评： 此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系，列出方程．
二．填空题〔共8小题〕
10．当m =2 时，方程=无解．
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 按照一般步骤解方程，用含有m的式子表示x，因为无解，所以x是能使最简公分母为0的值，从而求出m．
解答： 解：原方程化为整式方程得，x﹣1=m
因为无解即有增根，
∴x﹣3=0，
∴x=3，
当x=3时，m=3﹣1=2．
点评： 增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．关于x的分式方程﹣=1的解为负数，那么k的取值范围是 k＞且k≠1 ．
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数确定出k的范围即可．
解答： 解：去分母得：〔x+k〕〔x﹣1〕﹣k〔x+1〕=x2﹣1，
去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k=x2﹣1，
移项合并得：x=1﹣2k，
根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1
解得：k＞且k≠1
故答案为：k＞且k≠1．
点评： 此题考查了分式方程的解，此题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
12．方程的解是 x=2 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是x〔x+2〕，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘x〔x+2〕，得
2x=x+2，
解得x=2．
检验：把x=2代入x〔x+2〕=8≠0．
∴原方程的解为：x=2．
故答案为：x=2．
点评： 此题考查了分式方程的解法，注：
〔1〕解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．
〔2〕解分式方程一定注意要验根．
13．分式方程﹣=1的解是 x=﹣1.5 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x〔x+2〕﹣1=x2﹣4，
整理得：x2+2x﹣1=x2﹣4，
移项合并得：2x=﹣3
解得：x=﹣1.5，
经检验x=﹣1.5是分式方程的解．
故答案为：x=﹣1.5
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．假设代数式和的值相等，那么x= 7 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：根据题意得：=，
去分母得：2x+1=3x﹣6，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解．
故答案为：x=7．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15．假设关于x的方程﹣1=0有增根，那么a的值为 ﹣1 ．
考点： 分式方程的增根．
分析： 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
解答： 解：方程两边都乘〔x﹣1〕，得
ax+1﹣〔x﹣1〕=0，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=﹣1．
点评： 增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．假设分式方程﹣=2有增根，那么这个增根是 x=1 ．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 根据分式方程有增根，让最简公分母为0确定增根，得到x﹣1=0，求出x的值．
解答： 解：根据分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，
那么方程的增根为x=1．
故答案为：x=1
点评： 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．假设设第一块试验田每亩的产量为x千克，那么根据题意列出的方程是=．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设第一块试验田每亩的产量为x千克，那么第二块试验田每亩的产量为〔x+200〕千克，根据两块地的面积相同，列出分式方程．
解答： 解：设第一块试验田每亩的产量为x千克，那么第二块试验田每亩的产量为〔x+200〕千克，
由题意得，=．
故答案为；=．
点评： 此题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系，列出分式方程．
三．解答题〔共9小题〕
18．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 此题的最简公分母是3〔x+1〕，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解答： 解：方程两边都乘3〔x+1〕，
得：3x﹣2x=3〔x+1〕，
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是方程的解，
∴原方程的解为x=﹣．
点评： 当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
19．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是〔x+1〕〔x﹣1〕，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘〔x+1〕〔x﹣1〕，得
x〔x+1〕+1=x2﹣1，
解得x=﹣2．
检验：把x=﹣2代入〔x+1〕〔x﹣1〕=3≠0．
∴原方程的解为：x=﹣2．
点评： 此题考查了分式方程的解法，〔1〕解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．
〔2〕解分式方程一定注意要验根．
20．解方程：=1．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x〔x﹣1〕﹣4=x2﹣1，
去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．
21．解分式方程：+=3．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大局部干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
〔1〕该种干果的第一次进价是每千克多少元
〔2〕超市销售这种干果共盈利多少元
考点： 分式方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 〔1〕设该种干果的第一次进价是每千克x元，那么第二次进价是每千克〔1+20%〕x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
〔2〕根据利润=售价﹣进价，可求出结果．
解答： 解：〔1〕设该种干果的第一次进价是每千克x元，那么第二次进价是每千克〔1+20%〕x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
〔2〕[+﹣600]×9+600×9×80%﹣〔3000+9000〕
=〔600+1500﹣600〕×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=5820〔元〕．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
点评： 此题考查分式方程的应用，分析题意，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
23．为了进一步落实“节能减排〞措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温〞工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米
考点： 分式方程的应用．
专题： 工程问题．
分析： 设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5x米2．那么依据“乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务〞列出方程．
解答： 解：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2，根据题意得．
﹣=15，
解得x=160，
经检验，x=160，是所列方程的解．
答：甲队每天完成160米2．
点评： 此题考查了分式方程的应用．分析题意，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
24．某文具厂方案加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原方案的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原方案每天加工这种画图工具的数量．
考点： 分式方程的应用．
专题： 工程问题．
分析： 根据题意设出该文具厂原方案每天加工x套这种画图工具，再根据条件列出方程即可求出答案．
解答： 解：设文具厂原方案每天加工x套这种画图工具．
根据题意，得﹣=4．
解得 x=125．
经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．
答：文具厂原方案每天加工125套这种画图工具．
点评： 此题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是此题的关键．
25．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购置一台，客户每购置一台可获得补贴500元．假设同样用11万元所购置此款空调，补贴后可购置的台数比补贴前前多20%，那么该款空调补贴前的售价为每台多少元
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： 设该款空调补贴前的售价为每台x元，根据补贴后可购置的台数比补贴前前多20%，可建立方程，解出即可．
解答： 解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：×〔1+20%〕=，
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
点评： 此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
26．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
解答： 解：设特快列车的平均速度为xkm/h，那么动车的速度为〔x+54〕km/h，
由题意，得：=，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．
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