资源描述
课时分层作业(二十二) 利用二分法求方程的近似解
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
C [f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1,2)．]
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的判断中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
A [使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．]
3．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内
B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，b)内
D．等于
D [因为f(c)＝0，而c＝，所以x0＝.]
4．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：
x
1.25
1.312 5
1.375
1.437 5
1.5
1.562 5
f(x)
－0.871 6
－0.578 8
－0.281 3
0.210 1
0.328 43
0.641 15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精度为0.1)可取为( )
A．1.32 B．1.37
C．1.4 D．1.44
C [∵f(1.375)<0，f(1.437 5)>0，
∴方程2x＋3x＝7的解在区间(1.375,1.437 5)．
又∵|1.437 5－1.37 5|＝0.062 5<0.1，
∴其近似解可取为1.4.]
5．已知f(x)＝－ln x在区间[1,2]内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精度为0.2)，则需要将区间等分的次数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
A [设二分的次数为n，由≤0.2，得2n≥5，又22＝4<5,23＝8>5，则二分的次数为3.]
二、填空题
6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
a2＝4b [因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，
所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴只有一个交点，
所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.]
7．用二分法求方程f(x)＝0的根的近似值时，解出f(1.125)<0，f(1.187 5)>0，f(1.356 25)<0，则方程精度为0.1的近似解为________．
1.15(答案不唯一) [因为f(1.125)·f(1.187 5)<0且f(1.187 5)·f(1.356 25)<0，又因为区间[1.125,1.187 5]的长度不大于0.1，区间[1.187 5,1.356 25]的长度大于0.1.故可取1.15作为此方程的一个近似解．]
8．用二分法求方程x2－5＝0在区间[2,3]内的近似解经过________次“二分”后精度能达到0.01?
7 [设n次“二分”后精度达到0.01，∵区间[2,3]的长度为1，∴＜0.01，即2n＞100.
注意到26＝64＜100,27＝128＞100，故要经过7次二分后精度达到0.01.]
三、解答题
9．用二分法判断函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．
[解] 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图)：
x
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
f(x)
－1.25
2
2.25
1
－0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，
即f(－1.5)·f(－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点．
同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域和内是增函数，在内是减函数，所以它共有3个零点．
10．证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精度为0.1)
[解] 证明如下：设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，
又∵f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈(1,2)，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33＞0，
f(1)·f(1.5)＜0，∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.133＞0，
f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44＜0，
f(1.125)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16＜0，
f(1.187 5)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1，
∴可取x0＝1.2，则方程的一个实数解近似可取x＝1.2.
1．函数y＝与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是( )
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
D [设f(x)＝lg x－，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．]
2．下列函数中，不适合用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝ln x＋2x－9
C．f(x)＝x4－2x3＋x2 D．f(x)＝2x－3
C [C中令f(x)＝x4－2x3＋x2＝x2(x－1)2＝0.
得x＝0或x＝1，又f(x)≥0恒成立，由二分法的定义知不适合用二分法．]
3．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精度要求至少需要计算________次．
7 [设至少需要计算n次，则n满足＜0.001，即2n＞100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．]
4．已知函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[a，b]，都有<0，且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f(x)的零点为________．
－ [由题意可知，因为对于任意的x1，x2∈[a，b]都有<0，即f(x)在[a，b]上为减函数，又因为f(a)·f(b)<0，则f(a)>0，f(b)<0.
所以即
因为f＝0，所以f(x)的零点为＝－.]
5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)．现在只有一台天平，请问：用二分法判断最多称几次就可以发现这枚假币？
[解] 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
