(2022年5月5日下午500下发)第二学期高三数学期末练习参考答案(文科).docx

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
阅卷须知:
数 学 〔文科〕2022.5
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8 小题,每题5分,共40 分. 1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B
二、填空题:本大题共 6 小题,每题5 分,共 30 分.
5
9. 10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6
{第 13，14 题的第一空 3 分，第二空 2 分}
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解：
〔Ⅰ〕f (x) =
3sin2x+cos2x+a-1
--------------------------4 分
= 2(
3 sin 2x +1 cos 2x) +a -1
2 2
= 2sin(2x +π ) +a -1
6
∴周期T =2π = π.
2
---------------------------6 分
----------------------------7 分
〔Ⅱ〕令f(x)=0，即2sin(2x+π)+a-1=0， ------------------------------8 分
6
那么a=1-2sin(2x+π)， --------------------------------9 分
6
因为-1£sin(2x+π)£1， ---------------------------------11分
6
所以-1£1-2sin(2x+π)£3， --------------------------------12分
6
所以，假设f (x)有零点，那么实数a的取值范围是[-1,3]. -----------------------------13分
16.解：
〔Ⅰ〕上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4 分
〔Ⅱ〕从 2022年 2 月到 2022年 1 月的 12 个月中价格指数环比下降的月份有
4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分
设“所选两个月的价格指数均环比下降〞为事件 A， --------------------------------------7分
在这 12 个月份中任取连续两个月共有 11 种不同的取法，------------------------------8 分
其中事件A有〔4月，5月〕，〔5月，6月〕，〔9月，10月〕，共3种情况.---------9分
∴ P( A) =3 .
11

-----------------------------------------10 分
〔Ⅲ〕从 2022年 11 月开始，2022年 11 月,12 月,2022年 1 月这连续 3 个月的价格指数方差最大.
17.解：
〔I〕

A1A^底面 ABC，
-----------------------------------------13 分
\A1 A ^AB， -------------------------2分
AB^
A ，A1A AC =A，
\AB^面A1ACC1. --------------------------4分
（II） 面DEF//面ABC1，面ABC面DEF=DE，面ABC面ABC1=AB，
\AB // DE， ---------------------------7分
在DABC 中 E 是棱 BC 的中点，
\D是线段AC的中点. ---------------------------8分
（III） 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 A1A=AC
C1A1
B1
F
\侧面A1ACC1是菱形， C D A
B
\A1C ^AC1， --------------------------------9分 E
由〔1〕可得 AB ^A1C ，
ABA1C=，
\A1C ^面ABC1， --------------------------------11分
\A1C ^BC1. -------------------------------12 分
又 E,F分别为棱BC,CC1的中点，
\EF //BC1， ------------------------------13分
\E F^
18. 解：
A1C.------------------------------14分
〔Ⅰ〕由可得f'(x)=x2+2ax+4. ---------------------------------1分
\f'(0=)
又 f (0) =b
， ---------------------------------2分
〔Ⅱ〕
\f (x)在x=0处的切线方程为y=4x+b. ---------------------------------4 分
令 1 x3 +ax2 + 4x +b = 4x +b ，整理得(x + 3a)x2 = 0 .
3
\x=0或x=-3a， -----------------------------------5分
a ¹ 0
\-3a ¹0， ----------------------------------------6分
\f(x)与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7分
f (x) 在(-1,1) 上有且仅有一个极值点，

\f ' (x )=
x2+
2ax+在(-1,1)上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分
由二次函数图象性质可得f'(-1) f'(1)<0， -------------------------------------10分
即(5-2a)(5+2a)<0，解得a>5或a<-5， ----------------------------12分
2 2
19.解:
综上，a的取值范围是(-¥,-5) (5,+¥). -------------------------------13分
2 2
x2 2
〔Ⅰ〕由可设椭圆G的方程为： +y
a2
=1(a>1)
--------------------------------------------1 分
2
由e=，可得e2
a2-1 1
==，----------------------------------------------------------------3分
2 a2 2
解得a2 =2, -----------------------------------------------------------4分
x2 2
所以椭圆的标准方程为 +y
2
〔Ⅱ〕法一：
设C(x0, y0), 那么D(-x0, y0), x0¹0
因为 A(0,1), B(0, -1) ，
=1. ----------------------------------------------------5分
------------------------------------------------------6分
所以直线BC的方程为y=y0 +1x-1， ------------------------------------------------------7分
x0
令 y=0，得 xM
=x0
y + 1

，所以 M(
x0
y +1

, 0) . ----------------------------------------------8分
所以 AM = (

x0
y +1
0
,-1),AD=(-x0,y0
0
-1),

-------------------------------------------9 分
0
-x 2
0
所以AM×AD= 0-y

+1， ---------------------------------------------10 分
y0 +1
x2 y2
2( y 2 -1)
0 0
又因为0 +0 =1，代入得AM×AD= 0 +1-y =y-1
--------------------11 分
2 1 y0 +1
因为-1<y0<1，所以AM×AD¹0. -----------------------------------------------------------12分
所以ÐMAN ¹， -------------------------------------------------------13分
所以点A不在以线段MN为直径的圆上. ---------------------------------------------14 分
M ( , 0)
法二：设直线BC 的方程为y=kx-1，那么1
k
. ------------------------------------------------6分
ìx2 + 2 y2 - 2 = 0,
î
由íy =kx -1,

化简得到 x2 + 2(kx -1)2 - 2 = 0 ，

所以(1+2k2)x2-4kx=0，所以x=0,x =4k

， -------------------------------------8分
1 2 2k 2+1
4k 2k 2-1
所以 y2 =kx2 -1 =k 2k 2 +1 -1 =2k 2 +1 ，
4k 2k 2-1
-4k
2k 2 -1
所以C( 2k 2 +
,
1 2k 2
) ，所以 D(
+
1 2k2
, )
+
+
12k2 1
----------------------------------------9 分
1 -4k 2k 2-1
所以AM=( ,-1),AD=( ,
-1),
---------------------------------------------10 分
k 2k 2 +1 2k 2+1
-4 2k2-1 -2
所以AM×AD =-+1=¹0， --------------------------------------12 分
2k2 +1 2k2 +1 2k 2+1
所以ÐMAN ¹， ---------------------------------------13分
所以点A不在以线段MN为直径的圆上. ------------------------------------14分
20.解：
〔Ⅰ〕①因为S5 =13<5，数列-1,3,5,2,4不是“G数列〞， ---------------------------------2分
②因为
5-1 4
S3=111 >3，又 3
3-1 128 4 4

是数列

3 32 33
2
, ,
4 4 43

中的最大项
所以数列
3 32 33
2
, ,
4 4 43
是“G数列〞. ----------------------------------------------4分
〔Ⅱ〕反证法证明：
假设存在某项ai <0，那么
a1 +a2++ai-1 +ai+1++ak -1 +ak =Sk -ai >Sk .
设aj =max{a1, a2, ,ai-1,ai+1, ,ak-1,ak}，那么
Sk-ai=a1+a2++ai-1+ai+1++ak-1+ak≤(k-1)aj，
所以(k -1)a

j >Sk

，即a j
>Sk ，
k -1
这与“G数列〞定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8 分
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕问可知b1 ³ 0, d ³ 0 ．
①当d = 0 时， b=b =
<Sm

，符合题设； ---------------------9分
1 2
< bm
②当d > 0 时， b1 <b2 <
由“ G数列〞的定义可知b £Sm
m m-1

= b
m
= Sm
m
m -1
，即(m -1)[b + (m -1)d ] £mb +1 m(m -1)d
1 1 2
整理得(m -1)(m - 2)d £ 2b1 〔*〕
显然当m = 2b1 + 3 时，上述不等式〔*〕就不成立
所以d > 0 时，对任意正整数m ³ 3， (m -1)(m - 2)d £ 2b1 不可能都成立.
综上讨论可知{bn}的公差d=0. --------------------------------------------------13分