2022-2022学年高中数学课时分层作业6球的体积和表面积新人教A版必修2.doc

课时分层作业(六)　球的体积和表面积
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A．倍　　　B．倍　　　C．2倍　　　D．3倍
B　[设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.]
2．把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　)
A．3 cm B．6 cm
C．8 cm D．12 cm
D　[由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12.]
3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A．2π B．3π C．4π D．6π
B　[由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S＝π×12＋×4×π×12＝3π.]
4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为(　　)
A．π B． C．π D．4π
B　[根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝πr3＝π.]
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π C．8π D．10π
B　[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.]
二、填空题
6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
3　[设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.]
7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．
33π　[由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S＝×4π×32＋π×3×5＝33π.]
8．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
　[设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
∴＝＝.]
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
[解]　该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
[解]　因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，
也是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，
设O′C＝r，OC＝R，
则球半径为R，截面圆半径为r，
在Rt△O′CO中，由题设知sin ∠O′CO＝＝，
所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝，
即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10.
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10)2＝1 200π.
球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4 000π.
1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为(　　)
A．4∶3　　　B．3∶1　　　C．3∶2　　　D．9∶4
C　[作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝R，
则l＝＝2R，所以 ＝＝＝.]
2．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球. 若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.
　[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.]