1、课时分层作业(六) 球的体积和表面积
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A．倍 B．倍 C．2倍 D．3倍
B [设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.]
2．把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )
A．3 cm B．6 cm
C．8 cm D．12 cm
D [由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12.]
3．将直径为2的半圆绕直径
2、所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．2π B．3π C．4π D．6π
B [由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S＝π×12＋×4×π×12＝3π.]
4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( )
A．π B． C．π D．4π
B [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝πr3＝π.]
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
3、
A．12π B．12π C．8π D．10π
B [因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.]
二、填空题
6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
3 [设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.]
7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．
33π [由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S＝×4π×32＋π×3×5＝33π.]
8．如图，
4、在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
[设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
∴＝＝.]
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
[解] 该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．已知过球面上A，B，C三点的
5、截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
[解] 因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，
也是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，
设O′C＝r，OC＝R，
则球半径为R，截面圆半径为r，
在Rt△O′CO中，由题设知sin ∠O′CO＝＝，
所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝，
即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10.
所以球的表面积
6、为S＝4πR2＝4π×(10)2＝1 200π.
球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4 000π.
1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )
A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
C [作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝R，
则l＝＝2R，所以 ＝＝＝.]
2．在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球. 若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.
[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.]
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