2022高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理练习.doc

第6节 正弦定理和余弦定理
[A级　根底稳固]
1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，那么BC的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
解析：因为S＝×AB×AC×sin A＝×2×AC＝，
所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案：B
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设<cos A，那么△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：由<cos A，得<cos A，
所以sin C<sin Bcos A，
即sin(A＋B)<sin Bcos A，所以sin Acos B<0.
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
答案：A
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，那么A＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
所以由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.
所以cos A＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝.
答案：B
4．(2022·安庆模拟)假设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin 2A＝asin B，且c＝2b，那么等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，
得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.
答案：D
5．(2022·潍坊调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，那么h＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为a＝2，b＝3，c＝4，
所以cos A＝＝＝＝，
那么sin A＝＝＝＝，
那么h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝.
答案：D
6．(2022·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.bsin A＋acos B＝0，那么B＝________．
解析：根据正弦定理可得sin Bsin A＋sin AcosB＝0，
即sin A(sin B＋cos B)＝0，
显然sin A≠0，所以sin B＋cos B＝0，故B＝.
答案：
7．(2022·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，那么△ABC的面积为________．
解析：因为bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
所以由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C>0，所以sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝>0，
所以cos A＝，bc＝＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
8．△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，那么△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．
解析：因为AB＝AC＝4，BC＝2，
所以cos∠ABC＝＝，
因为∠ABC为三角形的内角，
所以sin∠ABC＝，
所以sin∠CBD＝，
故S△CBD＝×2×2×＝.
因为BD＝BC＝2，所以∠ABC＝2∠BDC.
又cos∠ABC＝，
所以2cos2∠BDC－1＝，得cos2∠BDC＝，
又∠BDC为锐角，所以cos∠BDC＝.
答案：　
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)假设cos A＝，求sin C的值．
解：(1)在△ABC中，由＝，可得asin B＝bsin A，
又由asin 2B＝bsin A，得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，
所以cos B＝，得B＝.
(2)由cos A＝，可得sin A＝，
那么sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋)＝sin A＋cos A＝.
10．(2022·佛山质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)(一题多解)假设D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值．
(1)证明：因为2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B，
所以由正弦定理得2bccos A＋a2＝2cb，
由余弦定理得2bc·＋a2＝2bc，
化简得b2＋c2＝2bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c.
故△ABC为等腰三角形．
(2)解：法一　由得BD＝2，DC＝1，因为∠ADB＝2∠ACD＝∠ACD＋∠DAC，所以∠ACD＝∠DAC，所以AD＝CD＝1.
又因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，
所以＝－，
那么＝－，得2b2＋c2＝9，
由(1)可知b＝c，得b＝.
法二　由题设得CD＝＝1，
又由(1)知，AB＝AC，那么∠B＝∠C，
因为∠DAC＝∠ADB－∠C＝2∠C－∠C＝∠C＝∠B.
所以△CAB∽△CDA，所以＝，即＝，所以b＝.
[B级　能力提升]
11．(2022·青岛调研)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，假设＝，b＝4，那么△ABC的面积的最大值为(　　)
A．4 B．2
C．3 D.
解析：由＝得2acos B－cos Bc＝bcos C，
由正弦定理得，2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B，
又知sin(B＋C)＝sin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以2sin Acos B＝sin A，那么cos B＝.
由B∈(0，π)，所以B＝.
又知cos B＝＝≥1－＝1－，
所以ac≤16，当且仅当a＝c时等号成立，
所以S△ABC＝acsin B≤×16×sin ＝×16×＝4.
故△ABC的面积的最大值为4.
答案：A
12．(2022·衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)·cos A＝0，那么A＝________．
解析：由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，
得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A.
所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A.
又＝，所以＝＝－.
从而＝－，那么tan A＝－.
由0<A<π，所以A＝π.
答案：π
13．(2022·全国大联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°.
(1)假设△ABC的面积为3，a＝，求b－c；
(2)假设△ABC是锐角三角形，求sin Bsin C的取值范围．
解：(1)由S△ABC＝3，得bcsin A＝3，
即bcsin 60°＝3，得bc＝12.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即b2＋c2－bc＝13，
所以(b－c)2＝13－bc＝1，
所以b－c＝1或b－c＝－1.
(2)因为A＝60°，所以B＋C＝120°，
所以C＝120°－B.
所以sin Bsin C
＝sin Bsin(120°－B)
＝sin B
＝sin 2B＋
＝
＝sin(2B－30°)＋.
因为△ABC是锐角三角形，
所以C＝120°－B<90°，得B>30°，
所以30°<B<90°，
那么30°<2B－30°<150°，
所以<sin(2B－30°)≤1，<sin(2B－30°)≤，
所以<sin(2B－30°)＋≤，
所以sin Bsin C的取值范围是.
[C级　素养升华]
14．(2022·北京卷)假设△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，那么∠B＝________，的取值范围是________．
解析：依题意有acsin B＝(a2＋c2－b2)＝×2accos B，
那么tan B＝，因为0<∠B<π，所以∠B＝.
＝＝＝＋＝＋·，
因为∠C为钝角，
所以－∠A>，
又∠A>0，
所以0<∠A<，
那么0<tan A<，
所以>，
故>＋×＝2.
故的取值范围为(2，＋∞)．
答案：　(2，＋∞)
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