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课堂达标(四十) 两直线的位置关系
[A根底稳固练]
1．(2022·怀化模拟)直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，那么系数a＝( )
A．－3 B．－6
C．－ D.
[解析] ∵直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，∴－＝3，∴a＝－6.应选B.
[答案] B
2．(2022·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直〞的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2.
∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．
[答案] A
3．(2022·兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，那么虫子爬行的最短路程是( )
A. B．2
C．3 D．4
[解析] 点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，那么虫子爬行的最短路程为|O′A|＝＝2.
[答案] B
4．(2022·湖北武汉一模)M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，那么a等于( )
A．－6或－2 B．－6
C．2或－6 D．－2
[解析] 集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1,0)的直线ax＋2y＋a＝0.因为M∩N＝∅，所以两直线平行，或直线ax＋2y＋a＝0过点A(2,3)，因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.
[答案] A
5．(2022·绵阳模拟)假设P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，那么|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为＝≠，所以两直线平行，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为，应选C.
[答案] C
6．(2022·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，那么m＋n等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，
即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得
故m＋n＝，应选A.
[答案] A
7．点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，假设直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，那么点Q的坐标是______．
[解析] 设Q(x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上，所以x0－y0＋1＝0①.
又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－，直线PQ的斜率kPQ＝，所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，
得·＝－1②.
由①②解得x0＝2，y0＝3，即点Q的坐标是(2,3)．
[答案] (2,3)
8．(2022·忻州训练)两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，假设l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，那么a＋b＝______.
[解析] 由题意得
解得或经检验，两种情况均符合题意，
∴a＋b的值为0或.
[答案] 0或
9．(2022·宁夏固原二模)假设m>0，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么＋的最小值等于______．
[解析] 由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．
那么1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.
于是＋＝(m＋n)
＝×≥×(5＋2×2)＝.
[答案]
10．(2022·北京朝阳区模拟)△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
[解] 依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，
∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
[B能力提升练]
1．P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，那么方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
[解析] 因为P(x0，y0)是直线l1：Ax＋By＋C＝0外一点，所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.
假设方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，那么Ax＋By＋C＋k＝0.
因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，
但在y轴上的截距不相等，
故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．
因为Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，
所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，
所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P.
[答案] D
2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．假设光线QR经过△ABC的重心，那么AP等于( )
A．2 B．1
C. D.
[解析] 以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，那么A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)与△ABC的重心D共线，
所以＝，求得x＝.
[答案] D
3．如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，那么△ABC的面积的最小值为______．
[解析] 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如下图的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面积S＝·
＝·
＝≥＝6.
[答案] 6
4．(2022·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是______．
[解析] 如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．
由得Q(2,4)．
[答案] (2,4)
5．三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足以下三个条件；
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
假设能，求点P的坐标；假设不能，说明理由．
[解] (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a>0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
假设点P满足条件②，那么点P在与l1，
l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，即c＝或，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
假设点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)；
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件．
[C尖子生专练]
直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
[解析] (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
那么
解得故A′(－2,8)．
P为直线l上的一点，那么|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，那么点P就是直线A′B与直线l的交点，解得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，那么||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，那么点P就是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解得
故所求的点P的坐标为(12,10)．
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