资源描述
课堂达标(四十一) 圆的方程
[A根底稳固练]
1.(高考广东卷)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
[解析] 设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有=,解得c=±5,所以所求切线的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,应选A.
[答案] A
2.直线l:x+my+4=0,假设曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,那么m的值为( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
[解析] 因为曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,假设圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,那么直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1.
[答案] D
3.假设直线ax+2by-3=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,那么+的最小值为( )
A.1 B.5
C.4 D.3+2
[解析] 由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,
∴2a+2b-2=0,整理得a+b=1,
∴+=(a+b)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当=,即b=2-,a=-1时,等号成立.
∴+的最小值为3+2.
[答案] D
4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
[解析] 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
x+y=4,连线中点坐标为(x,y),
那么⇒
代入x+y=4中得(x-2)2+(y+1)2=1.
[答案] A
5.(2022·吉大附中第七次模拟)圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),假设圆C上存在点P,使得·=0,那么t的最小值为( )
A.3 B.2
C. D.1
[解析] 由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆,当两圆外切时有:=tmin+1⇒tmin=1,
即t的最小值为1.
[答案] D
6.(2022·绵阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上,且与x轴相切,被双曲线x2-=1的渐近线截得的弦长为,那么圆C的方程为( )
A.x2+(y-1)2=1 B.x2+(y-)2=3
C.x2+(y+1)2=1 D.x2+(y+)2=3
[解析] 依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为,倾斜角为60°,结合图形(图略)可知,所求的圆C的圆心坐标是(0,1),半径是1,因此其方程是x2+(y-1)2=1.
[答案] A
7.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两局部,使得这两局部的面积之差最大,那么该直线的方程为______.
[解析] 当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与点P连线的斜率k=1,所求直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
[答案] x+y-2=0
8.平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,那么圆C的方程为______.
[解析] 由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),
P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,
所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.
∵△OPQ为直角三角形,
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1),
半径r==,
因此圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
[答案] (x-2)2+(y-1)2=5
9.设M={(x,y)|y=,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0},那么M∩N≠∅时,a的最大值与最小值分别为______、______.
[解析] 因为集合M={(x,y)|y=,a>0},
所以集合M表示以O(0,0)为圆心,半径为r1=a的上半圆.
同理,集合N表示以Q′(1,)为圆心,
半径为r2=a的圆上的点.
这两个圆的半径随着a的变化而变化,但|OO′|=2.
如下图,当两圆外切时,由a+a=2,得a=2-2;当两圆内切时,由a-a=2,得a=2+2.
所以a的最大值为2+2,最小值为2-2.
[答案] 2+2;2-2
10.以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
[解] (1)由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).
那么直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),那么由点P在CD上得a+b-3=0. ①
又∵直线|CD|=4.
∴|PA|=2,∴(a+1)2+b2=40. ②
由①②解得或
∴圆心P(-3,6)或P(5,-2).
∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
[B能力提升练]
1.圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2,那么圆C的方程为( )
A.2+y2= B.2+y2=
C.x2+2= D.x2+2=
[解析] 由圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为π,设圆心(0,a),半径为r,
那么rsin =1,rcos=|a|,解得r=,
即r2=,|a|=,即a=±,故圆C的方程为x2+2=.
[答案] C
2.(2022·九江模拟)P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-y+1=0的两条切线(A,B是切点),C是圆心,那么四边形PACB的面积的最小值是( )
A. B.2
C. D.2
[解析] 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,
那么C(1,1),当|PC|最小时,四边形PACB的面积最小,
|PC|min==2,此时|PA|=|PB|=.
所以四边形PACB的面积S=2×××1=,应选C.
[答案] C
3.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),那么|PQ|的最小值为______.
[解析] 函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4的下半圆.
令点Q的坐标为(x,y),那么得y=-3,
即x-2y-6=0,作出图象如下图.
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,
所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
[答案] -2
4.(2022·岳阳模拟)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,那么|++|的最大值是______.
[解析] 设D(x,y),
由=(x-3,y)及||=1知(x-3)2+y2=1,
即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆,
又++=(-1,0)+(0,)+(x,y)
=(x-1,y+),
∴|++|=.
问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.
∵圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为
=,
故的最大值为+1.
[答案] +1
5.过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
[解] (1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0).
(2)设M(x,y),∵A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,
∴由圆的性质知:MC1⊥MO,∴·=0.
又∵=(3-x,-y),=(-x,-y),
∴由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.
易知直线l的斜率存在,∴设直线l的方程为y=mx,
当直线l与圆C1相切时,d==2,解得m=±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=.
当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).
又∵直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,
∴<x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中<x≤3,其轨迹为一段圆弧.
[C尖子生专练]
圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
[解] (1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).根据题意,得
,解得a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM
=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,
所以S=2|PA|,
而|PA|==,
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min==3,
所以四边形PAMB面积的最小值为
S=2=2=2.
展开阅读全文