同济版高等数学件平面及其方程.pptx

如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的平面，这向量就叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：一、平面的点法式方程 平面的法向量不唯一平面的法向量不唯一;平面的法向量垂直于平面内的任一向量平面的法向量垂直于平面内的任一向量设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有平面的点法式方程平面的点法式方程已知已知平面的法向量平面的法向量及平面上一点及平面上一点解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程二、平面的一般方程是关是关于于 的的 三元三元一次一次方程方程反过来，设有三元一次方程反过来，设有三元一次方程该方程的一组数该方程的一组数，则，则两式相减即得两式相减即得该方程恰为平面的点法式方程该方程恰为平面的点法式方程表示一个平面，称为表示一个平面，称为 平面的一般方程平面的一般方程任取满足任取满足由此可知，任一三元一次方程由此可知，任一三元一次方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：通过原点的平面通过原点的平面;平行于平行于 z z 轴的平面轴的平面;当当 时时,表示表示 当当 时时,的法向量的法向量平面平行于平面平行于 轴轴;表示表示 平行于平行于 轴的平面轴的平面;表示表示 C z+D=0 表示表示 A x+D=0 表示表示 B y+D=0 表示表示平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程设平面为设平面为解解由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）化简得化简得令令所求平面方程为所求平面方程为代入体积式代入体积式定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角为两平面的夹角.三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.解解(点到平面的距离公式点到平面的距离公式)平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题5、通过、通过 _；三点的平面方程三点的平面方程练习题答案练习题答案