【甘肃省天水】2017届高三上学年期期末理科数学年试题.pdf

-1-/13 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 2017 届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）答答 案案 15BCCAD 610ABAAB 1112DC 132 141()31 2nn 151 030 16 17（1）由正弦定理，则22sinsinsincaCAbB，所以cos2cos2sinsincossinACCABB，即cos2cossi()(n2sinsincos)ACBCAB，化简可得sin2sin()()ABBC 因为ABC，所以sin2sinCA 因此sin2sinAC（2）由sin2sinAC，得2ca，由余弦定理2222cosbacacB，及1cos,24Bb，得22214444aaa解得 a=1，从而 c=2 因为1cos4B，且215sin1cos4BB，因此111515sin1 22244SacB 18（1）函数()f x的图象关于 y 轴对称，100aab 且，解得1,1ab，2()f xx，22()(111)12nSf nnnn 即有111212),1(nnnaSSnnaS也满足，21nan；（2）由（1）得212nnnb，-2-/13 231357212222122nnnnnT，234113572222221212nnnTnn，得2341132222222221222nnnTn 1111322212212121nnn 1132222121nnn 127225nn 2572nnTn 19（1）证明：连接 AC，AC 交 BD 于 O，连接 EO 底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点 在PAC 中，EO 是中位线，PAEO 而EOEDB平面且PAEDB平面，所以，PAEDB平面（2）证明：PD底面 ABCD 且 DC底面 ABCD，PDDC PD=DC，可知PDC 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线，DEPC 同样由 PD底面 ABCD，得 PDBC 底面 ABCD 是正方形，有 DCBC，BC平面 PDC 而 DE平面 PDC，BCDE 由和推得 DE平面 PBC 而 PB平面 PBC，DEPB 又 EFPB 且 DEEF=E，所以 PB平面 EFD（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角 由（2）知，DEEF，PDDB 设正方形 ABCD 的边长为 a，则PDDCa，22223,2PBPDBDa PCPDDCa 1222DEPCa 在 RtPDB 中，2633PD BDaaDFaPBa -3-/13 在 RtEFD 中，232sin,2363aDEEFDEFDDFa 所以，二面角 CPBD 的大小为3 20（1）设等比数列na的公比为 q，则11,4nnqaq 32454aaa是和的等差中项，232452=+5204aaaqq 即2，111,2,4 22nnnqqa 依题意，数列 nb为等差数列，公差1d 又2616532,(21)6322SSbb，12,1nbbn（2）124(21)2,242 1nnnnnaT 不等式22log4(1(3)77nnnTbnnnn化为 n*N 271nnn对一切n*N恒成立 而227(1)3(1)999(1)()32(1)331111nnnnnnnnnn 当且仅当911nn，即2n 时等式成立，3 21（1）()f x的定义域为(0,)，2(1)(1)()x axafxx，当 a=0 时，()0fx得1x，()f x的递增区间为(1,)，()0fx得01x，()f x的递减区间为(0,1)；当a0时，()0fx得1x，()f x的递增区间为(1,)()0fx得01x，()f x的递减区间为(0,1)；-4-/13 当102a时，()0fx得11axa，()f x的递增区间为1(1,)aa，()0fx得01x或1axa，()f x的递减区间为(0,1)和1(,)aa（2）当13a 时，由（1）知，()f x在(0,1)递减，在(1,2)递增，min2()(1)3f xf，依题意有22()(3)ming xf x 在231,x 有解2222bxx在231,x 有解，又2222 2xx当且仅当22x 时等号成立，2b 22（1）直线的斜率为3，直线 l 倾斜角为3 由曲线 C 的极坐标方程得到：22 cos)4(，利用222xy，得到曲线 C 的直角坐标方程为22()(22122)xy（2）点()20,2P在直线 l 上且在圆 C 内部，所以|PAPBAB 直线 l 的直角坐标方程为232yx 所以圆心22(,)22到直线 l 的距离64d 所以10|2AB，即10|2PAPB 23（）2|,22|xaaxa，()2f x 的解集为0,4，20,224aaa（）()|()()()52|25|33f xf xxxxx，0 xR，使得200()5()4f xf xmm，即2200()5(4)f xf xmmm成立，2()4(5)minmmf xf x，即245,5,1mmmm 解得或，实数 m 的取值范围是()(,5,)1 -5-/13 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 2017 届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）解解 析析 1【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集【解答】解：集合 A=xN|x6=0，1，2，3，4，5，6，B=xR|x23x0=xR|x0 或 x3 AB=4，5，6 2【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数=为纯虚数，a1=0，1+a0，解得 a=1 3【分析】先求 f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得 f（log212）=6，进而得到所求和【解答】解：函数 f（x）=，即有 f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）=12=6，则有 f（2）+f（log212）=3+6=9 4【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得 sin 和 cos 的值，再利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果【解答】解：角 的终边上有一点 P（1，3），x=1，y=3，r=|OP|=，sin=，cos=，则=1，5【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解【解答】解：6【分析】利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果【解答】解：y=xsinx+cosx，设 f（x）=xsinx+cosx，则 f（x）=（x）sin（x）+cos（x）=xsinx+cosx=f（x），y=xsinx+cosx 是偶函数，故排除 D -6-/13 当 x=0 时，y=0+cos0=1，故排除 C 和 D；y=xcosx，x0 开始时，函数是增函数，由此排除 B 7【分析】利用特例法，判断选项即可【解答】解：不妨令 a=3，b=1，c=3，d=1，则，CD 不正确；=3，=A 不正确，B 正确 解法二：cd0，cd0，ab0，acbd，8【分析】已知 2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 ax+by=z（a0，b0）过直线 xy+2=0 与直线 3xy6=0 的交点（4，6）时，目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6，而=，9【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：实数满足，a，b0，2，化为：ab，当且仅当 b=2a=则 ab 的最小值为 10【分析】将原不等式整理成关于 x 的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式 ax2+2ax42x2+4x，可化为（a2）x2+2（a2）x40，当 a2=0，即 a=2 时，恒成立，合题意 -7-/13 当 a20 时，要使不等式恒成立，需，解得2a2 所以 a 的取值范围为（2，2 11【分析】由 Sn=n2，可得 a1=1，a2=3可得等差数列an的公差 d=2可得 an可得=n+，令f（x）=x+（x1），利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：由 Sn=n2，可得 a1=1，1+a2=22，解得 a2=3 等差数列an的公差 d=31=2 an=1+2（n1）=2n1=n+，令 f（x）=x+（x1），f（x）=1=，当 1x2时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x时，f（x）0，函数 f（x）单调递增 n=3 或 4 时，n+取得最小值 7 12【分析】由已知得 a1+a2+an=n（2n+1）=Sn，求出 Sn后，利用当 n2 时，an=SnSn1，即可求得通项 an，最后利用裂项法，即可求和【解答】解：由已知得，a1+a2+an=n（2n+1）=Sn 当 n2 时，an=SnSn1=4n1，验证知当 n=1 时也成立，an=4n1，=+（）+（）=1=13【分析】作出不等式组对应的平面区域，则 z=（x1）2+y2的几何意义为动点 P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 z=（x1）2+y2的几何意义为动点 P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，过点 A（1，0）作 AB 垂直直线 x+y3=0，-8-/13 则|AB|的距离最小，则圆心 A 到直线 x+y3=0 的距离 d=，此时 z=d2=2，14【分析】把已知等式两边同时除以 2n+1，可得数列是以 1 为首项，以为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得答案【解答】解：由 an+1=2an+32n，得，即，又，数列是以 1 为首项，以为公差的等差数列，则，15【分析】根据题意，分析图乙，可得其第 k 行有 k 个数，则前 k 行共有个数，第 k 行最后的一个数为 k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为 2 的等差数列；进而由 4422015452，可得 2015 出现在第 45 行，又由第 45 行第一个数为 442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第 40 个数为 2015，由前 44 行的数字数目，相加可得答案【解答】解：分析图乙，可得第 k 行有 k 个数，则前 k 行共有个数，第 k 行最后的一个数为 k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为 2 的等差数列，又由 442=1936，452=2025，则 4422015452，则 2015 出现在第 45 行，第 45 行第一个数为 442+1=1937，这行中第=40 个数为 2015，前 44 行共有=990 个数，则 2015 为第 990+40=1030 个数 16【分析】对 4 个选项，分别进行判断，即可判断命题的真假【解答】解：常数均为 0 的数列是等差数列，不是等比数列，故不正确；在ABC 中，若 sin2A+sin2B=sin2C，则 a2+b2=c2，所以ABC 为直角三角形，正确；-9-/13 因为三角形是锐角三角形，所以 A+B即：AB0，所以 sinAcosB，同理 sinBcosA，所以 tanAtanB=1，正确；若 Sn为数列an的前 n 项和，则此数列的通项 an=SnSn1（n1）；n=1，a1=S1，故不正确 17【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinC=2sinA，即可得解=2（2）由正弦定理可求 c=2a，由余弦定理解得 a=1，从而 c=2 利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）由正弦定理，则22sinsinsincaCAbB，所以cos2cos2sinsincossinACCABB，即cos2cossi()(n2sinsincos)ACBCAB，化简可得sin2sin()()ABBC 因为ABC，所以sin2sinCA 因此sin2sinAC（2）由sin2sinAC，得2ca，由余弦定理2222cosbacacB，及1cos,24Bb，得22214444aaa解得 a=1，从而 c=2 因为1cos4B，且215sin1cos4BB，因此111515sin1 22244SacB 18【分析】（1）依题意，可求得 a=1，b=1，从而得 Sn=n2，于是可求得 a1及 an=SnSn1=2n+1（n2），观察即可求得数列an的通项公式；（2）由（1）得 bn=，利用错位相减法可求得 Tn=5【解答】解：（1）函数()f x的图象关于 y 轴对称，100aab 且，解得1,1ab，2()f xx，22()(111)12nSf nnnn 即有111212),1(nnnaSSnnaS也满足，-10-/13 21nan；（2）由（1）得212nnnb，231357212222122nnnnnT，234113572222221212nnnTnn，得2341132222222221222nnnTn 1111322212212121nnn 1132222121nnn 127225nn 2572nnTn 19【分析】（1）连接 AC，AC 交 BD 于 O，连接 EO 要证明 PA平面 EDB，只需证明直线 PA 平行平面EDB 内的直线 EO；（2）要证明 PB平面 EFD，只需证明 PB 垂直平面 EFD 内的两条相交直线 DE、EF，即可；（3）必须说明EFD 是二面角 CPBD 的平面角，然后求二面角 CPBD 的大小【解答】解：（1）证明：连接 AC，AC 交 BD 于 O，连接 EO 底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点 在PAC 中，EO 是中位线，PAEO 而EOEDB平面且PAEDB平面，所以，PAEDB平面（2）证明：PD底面 ABCD 且 DC底面 ABCD，PDDC PD=DC，可知PDC 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线，DEPC 同样由 PD底面 ABCD，得 PDBC 底面 ABCD 是正方形，有 DCBC，BC平面 PDC 而 DE平面 PDC，BCDE 由和推得 DE平面 PBC 而 PB平面 PBC，DEPB 又 EFPB 且 DEEF=E，所以 PB平面 EFD -11-/13 （3）解：由（2）知，PBDF，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角 由（2）知，DEEF，PDDB 设正方形 ABCD 的边长为 a，则PDDCa，22223,2PBPDBDa PCPDDCa 1222DEPCa 在 RtPDB 中，2633PD BDaaDFaPBa 在 RtEFD 中，232sin,2363aDEEFDEFDDFa 所以，二面角 CPBD 的大小为3 20【分析】（1）利用的等差中项，求出公比，可求数列an的通项公式；数列bn为等差数列，公差 d=1，可求数列bn的通项公式；（2）不等式 nlog2（Tn+4）bn+73n 化为 n2n+7（n+1），可得对一切 nN*恒成立，利用不等式，即可得出结论【解答】解：（1）设等比数列na的公比为 q，则11,4nnqaq 32454aaa是和的等差中项，232452=+5204aaaqq 即2，111,2,4 22nnnqqa 依题意，数列 nb为等差数列，公差1d 又2616532,(21)6322SSbb，12,1nbbn（2）124(21)2,242 1nnnnnaT 不等式22log4(1(3)77nnnTbnnnn化为 n*N 271nnn对一切n*N恒成立 -12-/13 而227(1)3(1)999(1)()32(1)331111nnnnnnnnnn 当且仅当911nn，即2n 时等式成立，3 21【分析】（1）首先求导得2(1)(1)()x axafxx，再对 a 进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意1(0,2)x，存在231,x，使12()()f xg x转化为2()()ming xf x在231,x 有解，再参变量分离，即2222bxx在231,x 有解，利用基本不等式可知2222 2xx，故2b 【解答】解：（1）()f x的定义域为(0,)，2(1)(1)()x axafxx，当 a=0 时，()0fx得1x，()f x的递增区间为(1,)，()0fx得01x，()f x的递减区间为(0,1)；当 a0 时，()0fx得1x，()f x的递增区间为(1,)()0fx得01x，()f x的递减区间为(0,1)；当102a时，()0fx得11axa，()f x的递增区间为1(1,)aa，()0fx得01x或1axa，()f x的递减区间为(0,1)和1(,)aa（2）当13a 时，由（1）知，()f x在(0,1)递减，在(1,2)递增，min2()(1)3f xf，依题意有22()(3)ming xf x 在231,x 有解2222bxx在231,x 有解，又2222 2xx当且仅当22x 时等号成立，2b 22【分析】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数 t 化为普通方程可得，进而得到倾斜角由曲线 C 的极坐标方程得到：2=2cos（），利用 2=x2+y2，即可化为直角坐标方程（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答 -13-/13 【解答】解（1）直线的斜率为3，直线 l 倾斜角为3 由曲线 C 的极坐标方程得到：22 cos)4(，利用222xy，得到曲线 C 的直角坐标方程为22()(22122)xy（2）点()20,2P在直线 l 上且在圆 C 内部，所以|PAPBAB 直线 l 的直角坐标方程为232yx 所以圆心22(,)22到直线 l 的距离64d 所以10|2AB，即10|2PAPB 23【分析】（）若不等式 f（x）2 的解集为0，4，可得，即可求实数 a 的值；（）根据第一步所化出的分段函数求出函数 f（x）的最小值，若x0R，使得 f（x0）+f（x0+5）m24m 成立，只需 4m+m2fmin（x），解出实数 m 的取值范围【解答】解：（）2|,22|xaaxa，()2f x 的解集为0,4，20,224aaa（）()|()()()52|25|33f xf xxxxx，0 xR，使得200()5()4f xf xmm，即2200()5(4)f xf xmmm成立，2()4(5)minmmf xf x，即245,5,1mmmm 解得或，实数 m 的取值范围是()(,5,)1