全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析).doc

全等三角形问题中常见得辅助线得作法(有答案)总论:全等三角形问题最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,构造二个角之间得相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折瞧,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试瞧。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题2、倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3、角平分线在三种添辅助线4、垂直平分线联结线段两端5、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长,6、图形补全法:有一个角为60度或120度得把该角添线后构成等边三角形7、角度数为30、60度得作垂线法:遇到三角形中得一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成30-60-90得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90得特殊直角三角形,或40-60-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。1) 遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”法构造全等三角形.2) 遇到三角形得中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转” 法构造全等三角形.3) 遇到角平分线在三种添辅助线得方法,(1)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定得平分线,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或就是将某条线段延长,就是之与特定线段相等,再利用三角形全等得有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.6) 已知某线段得垂直平分线,那么可以在垂直平分线上得某点向该线段得两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时,常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来,利用三角形面积得知识解答.一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD得取值范围就是_、例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D就是中点,试比较BE+CF与EF得大小、例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E就是DC得中点,求证:AD平分BAE、应用:1、(09崇文二模)以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、DE得中点.探究:AM与DE得位置关系及数量关系.(1)如图 当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是 ,线段AM与DE得数量关系就是 ;(2)将图中得等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE、四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中,B=60,ABC得角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD2、如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F、 (1)说明BE=CF得理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE得长、应用:1、如图,OP就是MON得平分线,请您利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB就是直角,B=60,AD、CE分别就是BAC、BCA得平分线,AD、CE相交于点F。请您判断并写出FE与FD之间得数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(2)如图,在ABC中,如果ACB不就是直角,而(1)中得其它条件不变,请问,您在(1)中所得结论就是否仍然成立？若成立,请证明;若不成立,请说明理由。五、旋转例1 正方形ABCD中,E为BC上得一点,F为CD上得一点,BE+DF=EF,求EAF得度数、例2 D为等腰斜边AB得中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时,求证DE=DF。（2） 若AB=2,求四边形DECF得面积。例3 如图,就是边长为3得等边三角形,就是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则得周长为 ;应用:1、已知四边形中,绕点旋转,它得两边分别交(或它们得延长线)于.当绕点旋转到时(如图1),易证.当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系？请写出您得猜想,不需证明.(图1)(图2)(图3)2、(西城09年一模)已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB得两侧、(1)如图,当APB=45时,求AB及PD得长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD得最大值,及相应APB得大小、3、在等边得两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,BD=DC、 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长L得关系.图1 图2 图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是 ; 此时 ; (II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明; (III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA得延长线上时,若AN=,则Q= (用、L表示). 参考答案与提示一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD得取值范围就是_、解:延长AD至E使AE2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD得取值范围就是1AD4例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D就是中点,试比较BE+CF与EF得大小、解:(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG2EF,连BG,EG,显然BGFC,在EFG中,注意到DEDF,由等腰三角形得三线合一知EGEF在BEG中,由三角形性质知EGBG+BE 故:EFBE+FC例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E就是DC得中点,求证:AD平分BAE、 解:延长AE至G使AG2AE,连BG,DG,显然DGAC, GDC=ACD由于DC=AC,故 ADC=DAC在ADB与ADG中, BDAC=DG,ADAD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG,故有BAD=DAG,即AD平分BAE应用:1、(09崇文二模)以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、DE得中点.探究:AM与DE得位置关系及数量关系.(1)如图 当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是 ,线段AM与DE得数量关系就是 ;(2)将图中得等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后,如图所示,(1)问中得到得两个结论就是否发生改变？并说明理由.解:(1),;证明:延长AM到G,使,连BG,则ABGC就是平行四边形GCHABDMNE,又再证:,延长MN交DE于H(2)结论仍然成立.证明:如图,延长CA至F,使,FA交DE于点P,并连接BF,FCPABDMNE在与中(SAS),又,且,二、截长补短1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CDAC解:(截长法)在AB上取中点F,连FDADB就是等腰三角形,F就是底AB中点,由三线合一知DFAB,故AFD90ADFADC(SAS)ACDAFD90即:CDAC2、如图,ADBC,EA,EB分别平分DAB,CBA,CD过点E,求证;ABAD+BC解:(截长法)在AB上取点F,使AFAD,连FEADEAFE(SAS)ADEAFE,ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE(AAS)故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图,已知在ABC内,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别就是,得角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP解:(补短法, 计算数值法)延长AB至D,使BDBP,连DP在等腰BPD中,可得BDP40从而BDP40ACPADPACP(ASA)故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分,求证: 解:(补短法)延长BA至F,使BFBC,连FDBDFBDC(SAS)故DFBDCB ,FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC中,ABAC,12,P为AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC解:(补短法)延长AC至F,使AFAB,连PDABPAFP(SAS)故BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图,在ABC得边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+ACAD+AE、证明:取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN、 BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA、延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中,B=60,ABC得角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD,DC+AE =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,则BAC+BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度、在AC上截取线段AF=AE,连接OF、又AO=AO;OAE=OAF、则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度、则COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF、故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF、OE=ODDC+AE=CF+AF=AC、2、如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F、 (1)说明BE=CF得理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE得长、解:(垂直平分线联结线段两端)连接BD,DCDG垂直平分BC,故BDDC由于AD平分BAC, DEAB于E,DFAC于F,故有EDDF故RTDBERTDFC(HL)故有BECF。AB+AC2AEAE(a+b)/2BE=(a-b)/2应用:1、如图,OP就是MON得平分线,请您利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB就是直角,B=60,AD、CE分别就是BAC、BCA得平分线,AD、CE相交于点F。请您判断并写出FE与FD之间得数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(2)如图,在ABC中,如果ACB不就是直角,而(1)中得其它条件不变,请问,您在(1)中所得结论就是否仍然成立？若成立,请证明;若不成立,请说明理由。解:(1)FE与FD之间得数量关系为(2)答:(1)中得结论仍然成立。证法一:如图1,在AC上截取,连结FG ,AF为公共边, FBEACD图 12143G,AD、CE分别就是、得平分线及FC为公共边证法二:如图2,过点F分别作于点G,于点H FBEACD图 22143HG,AD、CE分别就是、得平分线可得,F就是得内心,又 可证 五、旋转例1 正方形ABCD中,E为BC上得一点,F为CD上得一点,BE+DF=EF,求EAF得度数、证明:将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D为等腰斜边AB得中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当绕点D转动时,求证DE=DF。(2)若AB=2,求四边形DECF得面积。解:(计算数值法)(1)连接DC, D为等腰斜边AB得中点,故有CDAB,CDDACD平分BCA90,ECDDCA45由于DMDN,有EDN90由于 CDAB,有CDA90从而CDEFDA故有CDEADF(ASA)故有DE=DF(2)SABC=2, S四DECF= SACD=1例3 如图,就是边长为3得等边三角形,就是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则得周长为 ;解:(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC得延长线与BD得延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CEBMABC为等边三角形,BCD为等腰三角形,且BDC=120,MBD=MBC+DBC=60+30=90,DCE=180-ACD=180-ABD=90,又BM=CE,BD=CD,CDEBDM,CDE=BDM,DE=DM,NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60,在DMN与DEN中, DM=DE MDN=EDN=60 DN=DNDMNDEN,MN=NE在DMA与DEF中, DM=DE MDA=60-MDB=60-CDE=EDF (CDE=BDM) DAM=DFE=30DMNDEN (AAS),MA=FE得周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用:1、已知四边形中,绕点旋转,它得两边分别交(或它们得延长线)于.当绕点旋转到时(如图1),易证.当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系？请写出您得猜想,不需证明.(图1)(图2)(图3)解:(1),(SAS);,为等边三角形,(2)图2成立,图3不成立。证明图2,延长DC至点K,使,连接BKKABCDEFMN图 2则,即图3不成立,AE、CF、EF得关系就是2、(西城09年一模)已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB得两侧、(1)如图,当APB=45时,求AB及PD得长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD得最大值,及相应APB得大小、分析:(1)作辅助线,过点A作于点E,在中,已知,AP得值,根据三角函数可将AE,PE得值求出,由PB得值,可求BE得值,在中,根据勾股定理可将AB得值求出;求PD得值有两种解法,解法一:可将绕点A顺时针旋转得到,可得,求PD长即为求得长,在中,可将得值求出,在中,根据勾股定理可将得值求出;解法二:过点P作AB得平行线,与DA得延长线交于F,交PB于G,在中,可求出AG,EG得长,进而可知PG得值,在中,可求出PF,在中,根据勾股定理可将PD得值求出;(2)将绕点A顺时针旋转,得到,PD得最大值即为得最大值,故当、P、B三点共线时,取得最大值,根据可求得最大值,此时.EPADCB解:(1)如图,作于点E中,在中,PPACBDE解法一:如图,因为四边形ABCD为正方形,可将将绕点A顺时针旋转得到,可得,;解法二:如图,过点P作AB得平行线,与DA得延长线交于F,设DA得延长线交PB于G.GFPACBDE在中,可得,在中,可得,在中,可得(2)如图所示,将绕点A顺时针旋转,得到,PD得最大值,即为得最大值中,且P、D两点落在直线AB得两侧当、P、B三点共线时,取得最大值(如图)PPACBDPPACBD此时,即得最大值为6此时3、在等边得两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,BD=DC、 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长L得关系.图1 图2 图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是 ; 此时 ; (II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明; (III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA得延长线上时,若AN=,则Q= (用、L表示).分析:(1)如果,因为,那么,也就有,直角三角形MBD、NCD中,因为,根据HL定理,两三角形全等。那么,三角形NCD中,在三角形DNM中,因此三角形DMN就是个等边三角形,因此,三角形AMN得周长,三角形ABC得周长,因此.(2)如果,我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换。延长AC至E,使,连接DE.(1)中我们已经得出,那么三角形MBD与ECD中,有了一组直角,因此两三角形全等,那么,.三角形MDN与EDN中,有,有一条公共边,因此两三角形全等,至此我们把BM转换成了CE,把MN转换成了NE,因为,因此.Q与L得关系得求法同(1),得出得结果就是一样得。(3)我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换,思路同(2)过D作,三角形BDM与CDH中,由(1)中已经得出得,我们做得角,因此两三角形全等(ASA).那么,三角形MDN与NDH中,已知得条件有,一条公共边ND,要想证得两三角形全等就需要知道,因为,因此,因为,那么,因此,这样就构成了两三角形全等得条件.三角形MDN与DNH就全等了.那么,三角形AMN得周长.因为,因此三角形AMN得周长.解:(1)如图1,BM、NC、MN之间得数量关系:;此时.图 1NMADCB(2)猜想:结论仍然成立.证明:如图2,延长AC至E,使,连接DE,且又就是等边三角形E图 2NMADCB在与中H图 3NMADCB(SAS),在与中(SAS)故得周长而等边得周长(3)如图3,当M、N分别在AB、CA得延长线上时,若,则(用x、L表示).点评:本题考查了三角形全等得判定及性质;题目中线段得转换都就是根据全等三角形来实现得,当题中没有明显得全等三角形时,我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知与所求条件相关得全等三角形。