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刚体得转动惯量专题
1。刚体得转动惯量得三要素
　　 刚体对某轴得转动惯量,就是描述刚体在绕该轴得转动过程中转动惯性得物理量、　有转动惯量得定义式可瞧出,刚体得转动惯量就是与下列三个因素有关得、
　 (1)与刚体得质量有关. 例如半径相同得两个圆柱体,而它们得质量不同,显然,对于相应得转轴,质量大得转动惯量也较大.
　 　(2)在质量一定得情况下,与质量得分布有关、 例如,质量相同、半径也相同得圆盘与圆环,二者得质量分布不同,圆环得质量集中分布在边缘,而圆盘得质量分布在整个圆面上,所以,圆环得转动惯量较大.
(3)还与给定转轴得位置有关,即同一刚体对于不同得转轴,其转动惯量得大小也就是不等得. 例如,同一细长杆,对通过其质心且垂直于杆得转轴与通过其一端且垂直于杆得转轴,二者得转动惯量不相同,且后者较大、 这就是由于转轴得位置不同,从而也就影响了转动惯量得大小。
刚体得转动惯量得三要素:刚体得总质量、刚体得质量分布情况、转轴得位置。
2.转动惯量得普遍公式
(１)转动惯量得定义式
　 　 　 　 　　 　　　·········
可知,对于形状规则、质量均匀分布得连续刚体,其对特殊轴得转动惯量得计算可借助于定积分、　这就是,可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元。

于就是

一般说来,这就是个三重得体积分,但对于有一定对称性得物体,积分得重数可以减少,甚至不需要积分。
(2)刚体对某轴得转动惯量
刚体对轴得转动惯量
　 　　　 　 ·········
刚体对轴得转动惯量
　 　 　 　　 ·········
刚体对轴得转动惯量
　 　 　 　 ·········
仿照刚体对某轴得转动惯量来定义刚体对于某点得转动惯量:刚体中各质点得质量各自与其至某(参考)点得距离得平方得乘积,所得总与称为刚体对该点得转动惯量。
(3)刚体对某点得转动惯量
刚体对坐标原点得转动惯量可表示为
　 　　 　　　　 ·········
由式、,得
　 　 　 　 　　　　　 　　·········
即,质点系(刚体)对于坐标原点得转动惯量(或极转动惯量),等于它对于三个坐标轴得转动惯量之与得一半.
3。刚体得平行轴定理(许泰乃尔定理)
　　 　 　 　 　　 　 　 　 　 ·········
即,刚体对于任何一轴得转动惯量,等于刚体对于通过它得质心并与该轴平行得转动惯量,加上刚体得质量与两轴间距离平方得乘积。
注意:平行轴定理与刚体对质心轴得转动惯量紧密联系在一起,应用此定理得参考点就是刚体对质心轴得转动惯量.
　 根据平行轴定理,可得到如下关系:
　　　(1)刚体绕通过质心得轴得转动惯量小于绕另一平行轴得转动惯量,二者之差为。
(2)设有两条平行轴与均不通过质心、 如果比靠近,则刚体绕轴得转动惯量小于绕轴得转动惯量(如图７、52(a)所示)、

图7。５２ 平行轴定理得应用　(ａ) 在不同圆上;(ｂ)同一圆上
(3)如果有一簇与质心得距离相等得平行轴,那么,刚体绕这些轴得转动惯量均相等(如图7、52(b)所示)、
４.刚体得垂直轴定理(正交轴定理、薄片定理)
设想刚体为平面薄片,即厚度可以略去不计,因而刚体为平面图形.
　 　 　 　　 　 　 　 　 　　·········
即,平面图形对于图形内得两条正交轴得转动惯量之与,等于这个图形对过二轴交点且垂直于图形平面得那条转轴得转动惯量.
注意:正交轴定理对于有限厚度得板不成立、
5.转动惯量得叠加原理
实际上,有些物体就是由几种形状不同得刚体得组合。 它对于某轴得转动惯量,可视为各部分对于同一转轴得转动惯量之与,因而,
　 　 　 　 　 　 　 　 ·········
即,由几个部分组成得刚体对某轴得转动惯量,等于各部分对同轴得转动惯量之与、 此即转动惯量得叠加原理。
叠加原理就是根据加法得组合定则,把属于各部分得项分别相加,然后求与而得。
同理,设有一物体挖去若干部分,则剩余部分得转动惯量,等于原物体得转动惯量,减去挖去部分得转动惯量。
[例题１］ 在质量为,半径为得匀质圆盘上挖出半径为得两个圆孔,圆孔中心在半径得中点,求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直得轴线得转动惯量。

图7。5３　转动惯量得叠加原理得应用
［解]　大圆盘对过圆盘中心且与盘面垂直得轴线(以下简称轴)得转动惯量 　 　　　
为 。 由于对称放置,两个小圆盘对轴得转动惯量相等,设为,圆盘
质量得面密度,根据平行轴定理,有

设挖去两个小圆盘后,剩余部分对轴得转动惯量为

6.转动惯量得标度变换法
　转动惯量得标度变换法就是计算转动惯量得一种简便得方法。 由于在几何上具有相似性得均匀物体,它们对相应转轴得转动惯量得表达式也具有相似性,在根据转动惯量得平行轴定理、叠加原理等,确定彼此关系,比较系数,从而获得物体对该轴得转动惯量、 故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形状得物体得转动惯量。
　[例题2］ 求均匀立方体绕通过面心得中心轴得转动惯量、

图7。54 标度变换法用于计算立方体对通过面心得中心轴得转动惯量
　 　［解] 令立方体得总质量为,边长为,设均匀立方体绕通过面心得中心轴得转动惯量为

其中,系数就是无量纲得量。　因为一切立方体在几何上都就是相似得,它们应该具有同样得、　中心轴到棱边得距离为

根据平行轴定理,立方体绕棱边得转动惯量为

现将立方体等分为8个小立方体,每个小立方体得质量为,边长为,绕棱边得转动惯量为

8个立方体绕棱边得转动惯量之与应等于大立方体绕中心轴得转动惯量,即

比较系数,得

于就是,求得

所以,

下面介绍利用定积分法计算质量均匀分布、图形具有对称性得刚体对于一些特殊得转轴得转动惯量。
匀质细杆
　 [例题3] 质量为、长为得匀质细杆,绕其质心且垂直于杆得轴旋转,杆得转动惯量就是多少?
　　 ［解］ 设杆得线密度为,则、 选择如图所示得坐标轴,杆得质心位于原点,取一个长度为、与质心得距离为得微元,则

图７。５5 匀质细杆对质心轴得转动惯量

根据平行轴定理,杆对通过其一端且垂直于杆得轴得转动惯量为

当然用定积分也可得相同得结果。

匀质正方形薄板
[例题４］ 求质量为、边长为得匀质正方形薄板对其边为轴得转动惯量.
［解］ 匀质薄板可视为细长条得组合。 根据叠加原理可得对一边得转动惯量.

图７、56 匀质正方形薄板对一边为轴得转动惯量

同理,可得

或利用定积分,

其中,为面密度。
对轴得转动惯量

对质心轴得转动惯量

对以对角线为轴得转动惯量

当然,对轴得转动惯量也可用二重积分计算得到、

　　 匀质矩形薄板
［例题5］　求质量为、长与宽分别为与得匀质矩形薄板对其边为轴得转动惯量。
　 [解］ 方法同上,不难得到

图7、57　匀质矩形薄板对一边为轴得转动惯量

由垂直轴定理,可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直于板平面得轴得转动惯量(如图７.５7)为

当然,对轴得转动惯量也可用二重积分计算得到、

矩形薄板对通过质心且垂直于板平面得轴得转动惯量为

图７、５8 匀质矩形薄板对过中心且垂直于板面得轴得转动惯量
另解:
从量纲上考虑,所求得转动惯量可表示为

其中,为待定系数、
将与转置后,

但不会因为与转置而发生变化,比较系数,有

则

利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板得特点,如图７、54所示,有

比较系数,有

得,

因而,

匀质长方体
［例题6] 求质量为、长、宽与高分别为、与得匀质长方体对其棱边为轴得转动惯量、

图7。5９ 匀质长方体对其棱边为轴得转动惯量
[解］ 由叠加原理,不难得到
以棱边为轴得转动惯量

同理可得,以棱边为轴得转动惯量

以棱边为轴得转动惯量

当然,对轴得转动惯量也可用三重积分计算得到。

对轴得转动惯量也可用三重积分计算得到、

对轴得转动惯量也可用三重积分计算得到.

根据平行轴定理,对通过长方体面心为轴得转动惯量

如果将上述长方体换成边长为得立方体,则绕其棱边得转动惯量均相等,且

对通过正方体面心为轴得转动惯量

余此类推、
对于特殊刚体,
线(线段)
面(矩形)
体(长方体)

匀质细圆环
［例题7］ 求质量为、半径为得匀质细圆环对通过中心并与环面垂直得轴得转动惯量.

图7.60 匀质细圆环对通过中心并与环面垂直得轴得转动惯量
[解］ 细圆环得质量可以认为全部分布在半径为得圆周上,即在距离中心小于或大于得各处,质量均为零,所以转动惯量为

或

又由垂直轴定理,可以得到其对直径为转轴得转动惯量为

再利用平行轴定理,可得细圆环对其任意切线为转轴得转动惯量为
。

图７、61 匀质细圆环对任意切线为轴得转动惯量

其中,为细圆环得线密度,则

细圆环对切线得转动惯量

　 　 匀质中空薄圆盘
［例题８］ 求质量为、内半径为、外半径为得匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直得轴得转动惯量、

图7。62 匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直得轴得转动惯量
[解］ 匀质中空薄圆盘可视为无限多个同心得细圆环得组合,所以,根据叠加原理可以得到该中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量. 中空薄圆盘得质量为

其中,为中空薄圆盘得面密度,则

中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量

当然,中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量也可用二重积分计算得到、

匀质薄圆盘
[例题9］ 求质量为、半径为得匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直得轴得转动惯量.

图7、６3　匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直得轴得转动惯量
[解］　匀质薄圆盘可视为无限多个同心得细圆环得组合,所以,根据叠加原理可以得到该厚圆环对通过中心且垂直于环面得转轴得转动惯量. 薄圆盘得质量为

其中,为薄圆盘得面密度,则

薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量

当然,薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量也可用二重积分计算得到、

可见,薄圆盘就是中空圆盘得特例、
同样,根据垂直轴定理,得其对直径为转轴得转动惯量为

再利用平行轴定理,可得其对切线为转轴得转动惯量为

匀质薄壁圆筒
［例题1０］　求质量为、半径为得匀质薄壁圆筒对中心轴线得转动惯量。
［解］ 匀质薄壁圆筒可视为半径相同,圆心在同一条直线上且各个环面均垂直于该直线得一系列细圆环得组合.　根据叠加原理,由圆环对该直线得转动惯量较易求出此圆筒对该直线为转轴得转动惯量

图7。6４ 匀质薄壁圆筒对中心轴线得转动惯量
当然,也可定积分法求解。
匀质中空圆柱体
[例题11] 求质量为、内半径为、外半径为得匀质中空圆柱体对中心轴线得转动惯量、

图7。65 匀质中空圆柱体对中心轴线得转动惯量
[解]　匀质中空圆柱体可视圆心在同一条直线上且环面均垂直于该直线得一系列中空圆盘得组合。 根据叠加原理,由中空圆盘对该直线得转动惯量较易求出此中空圆柱体对该直线为转轴得转动惯量

当然,也可定积分法求解。

其中,为体密度.

匀质实心圆柱体
［例题12］ 求质量为、半径为得匀质实心圆柱体对中心轴线得转动惯量、

图7。66 匀质实心圆柱体对中心轴线得转动惯量
[解] 匀质实心圆柱体可视圆心在同一条直线上且圆面均垂直于该直线得一系列薄圆盘得组合. 根据叠加原理,由薄圆盘对该直线得转动惯量较易求出此圆柱体对该直线为转轴得转动惯量

当然,也可定积分法求解、

其中,为体密度.

当然,实心圆柱体对中心轴线得转动惯量可用三重积分计算得到、

可见,厚圆筒就是实心圆柱体得特例.
同样,根据垂直轴定理,得其对直径为转轴得转动惯量为

匀质实心圆柱体
[例题12］ 求质量为、半径为得匀质实心圆柱体对中心直径为轴得转动惯量.

图７。67　匀质实心圆柱体对中心直径得转动惯量
[解] 设匀质实心圆柱体由与、围成。

其中,为体密度.

绕轴得转动惯量为

同理可得,绕轴得转动惯量为

匀质实心圆柱体
［例题１３] 求质量为、半径为得匀质实心圆柱体对端面直径为轴得转动惯量。

图7、68 匀质实心圆柱体对端面直径得转动惯量
［解］ 设匀质实心圆柱体由与、围成、

其中,为体密度.

绕轴得转动惯量为

同理可得,绕轴得转动惯量为

当然,利用平行轴定理也可得到相同得结果。
圆环
细圆环
中空薄圆盘
薄圆盘
薄圆筒
中空圆柱体

实心圆柱体

匀质球壳
[例题14] 求质量为、半径为得匀质球壳对球心得转动惯量、对任意直径与切线得转动惯量。

图7、69 匀质球壳对球心、对任意直径与切线为轴得转动惯量
［解］ 因为在距离球心大于或小于处,质量均为零,而质量均匀分布于球壳上。
.
解法一:
根据刚体对坐标原点得转动惯量得定义式,有

或

当然,极转动惯量也可用二重积分计算得到.

根据关系式

对于匀质球壳,球心为坐标原点. 根据对称性,可知

则

即为球壳对任意直径得转动惯量。
解法二:
当然,、与也可利用二重积分计算得到.

解法三:
球壳可视为一系列薄圆环得组合。

其中,表示薄圆环得半径,为薄圆环得元质量,为薄圆环得面元、
而

根据平行轴定理,可得球壳对任意切线为轴得转动惯量

若将该球壳切除一半,求剩余部分(球冠)对任一直径得转动惯量.
根据刚体对坐标原点得转动惯量得定义式,有

或

当然,极转动惯量也可用二重积分计算得到、

显然,、与可利用二重积分计算得到。

将该球壳部分切除,若剩余部分(球冠)得高度为直径得1/4,求其对任一直径得转动惯量、
此时在球坐标系中得极角。
极转动惯量可用二重积分计算得到、

、与可利用二重积分计算得到.

这里已利用积分

将该球壳部分切除,若剩余部分为原来得1/８,求其对任一直径得转动惯量。
极转动惯量可用二重积分计算得到、

、与可利用二重积分计算得到.

匀质实心球体
［例题1５] 求质量为、半径为得匀质实心球体对球心得转动惯量、对任意直径得转动惯量.

图7、7０　匀质球体对球心、对任意直径与切线为轴得转动惯量
[解］ 解法一:
球体可视为球壳得组合,

其中,为体密度、
根据刚体对坐标原点得转动惯量得定义式,有

当然,极转动惯量也可利用三重积分计算得到。

根据关系式

对于匀质球体,球心为坐标原点。 根据对称性,可知

则

即为球体对任意直径得转动惯量。
当然,、与也可利用三重积分计算得到.

解法二:
球体可视为球壳得组合,根据叠加原理,也可较易求得其对直径得转动惯量为

解法三:球体可视为一系列薄圆盘得组合.

其中,表示薄圆盘得半径,为薄圆盘得元质量,为薄圆环得体元,为薄圆盘到质心轴得距离,为薄圆环得厚度。

根据平行轴定理,可得球体对任意切线为轴得转动惯量

若将该球体切除一半,求剩余部分对任一直径得转动惯量、
根据刚体转动惯量得叠加原理,有

当然,极转动惯量也可用三重积分计算得到。

显然,、与也可利用三重积分计算得到.

将该球壳部分切除,若剩余部分得高度为直径得1/4,求其对任一直径得转动惯量、
此时在球坐标系中得极角.
极转动惯量可用三重积分计算得到。

、与可利用三重积分计算得到、

将该球体部分切除,若剩余部分为原来得1/8,求其对任一直径得转动惯量、
极转动惯量可用三重积分计算得到。

、与可利用三重积分计算得到.

匀质中空球体
［例题16］　求质量为、内半径为、外半径为得匀质中空球体对球心得转动惯量、对任意直径得转动惯量。

图7。7１ 匀质中空球体对球心、对任意直径与切线为轴得转动惯量
[解] 中空球体可视为球壳得组合,

其中,为体密度.
根据刚体对坐标原点得转动惯量得定义式,有

当然,极转动惯量也可利用三重积分计算得到。

根据关系式

对于匀质球体,球心为坐标原点。 根据对称性,可知

则

即为球壳对任意直径得转动惯量。
当然,、与也可利用三重积分计算得到。

另解:
中空球体可视为球壳得组合,根据叠加原理,也可较易求得其对直径得转动惯量为

薄球壳
中空球体
实心球体

ﻬ练习:
1 求质量为、边长为得匀质等边三角形对过顶点且垂直于板面得轴得转动惯量、

图7。7２ 等边三角形对过顶点且垂直于板面为轴得转动惯量
［解]
对轴得转动惯量,

对轴得转动惯量,
错误得做法:

正确得做法:

根据垂直轴定理,有

若直接计算对经过顶点且垂直于三角形平面得轴得转动惯量,取窄条后,则窄条上各点到轴得距离并非处处相等,故此法不可行！
2　求质量为、底面为边长得等边三角形、高得匀质正三棱柱对以其高为轴得转动惯量、
　[解]　正三棱柱可视为由无限多个正三角形得组合,根据第１题得结论,利用转动惯量得叠加原理,有

3 求质量为、边长为且一个顶角为匀质棱形对过顶点且垂直于板面得轴得转动惯量.

图７。73　一个顶角为得棱形对过顶点且垂直于板面为轴得转动惯量
［解] 根据第1题结论,利用转动惯量得叠加原理,有

４求质量为、底面为边长且一个顶角为匀质棱形、高得匀质正四棱柱对以其高为轴得转动惯量.
［解］ 该正四棱柱可视为由无限多个棱形得组合,根据第3题得结论,利用转动惯量得叠加原理,有

5求质量为、边长为匀质正六边形对过顶点且垂直于板面得轴得转动惯量。

图7。74　正六边形对过顶点且垂直于板面为轴得转动惯量
［解] 根据第1题结论,利用转动惯量得叠加原理,有

其中,.
6 求质量为、底面为边长得正六边形、高得匀质正六棱柱对以其高为轴得转动惯量。
[解］ 该正六棱柱可视为由无限多个正六边形得组合,根据第５题得结论,利用转动惯量得叠加原理,有

表７。2 一些简单几何图形得转动惯量
刚体
转轴得位置
转动惯量
细杆

通过中心且垂直于杆

通过杆端且垂直于杆

细圆环

通过中心且与环面垂直

沿直径

沿切线

中空圆盘

通过中心且与环面垂直

沿直径

薄圆盘

通过中心且与盘面垂直

沿直径

沿切线

薄壁中空圆筒

通过中心轴

沿直径

中空圆柱体

通过中心轴

沿直径

中实圆柱体

通过中心轴

沿直径

沿中心直径

沿端面直径

球壳

沿直径

沿切线

中空球体

沿直径

球体

沿直径

沿切线

ﻬ第七章习题选讲
7。1。4 半径为0．１ m得圆盘在铅直平面内转动,在圆盘平面内建立坐标系,原点在轴上,与轴沿水平与铅直向上得方向、 边缘上一点当时恰好在轴上,该点得角坐标满足 (得单位为rａｄ,得单位为ｓ)、 (１)时,
(２)自开始转４５º时,(3)转过９0º时,点得速度与加速度在与轴上得投影。 　
解: 　 　

(1)当时,

(２)当时,由,得

⑶当时,由,得

7。１.7飞机沿水平方向飞行,螺旋桨尖端所在半径为15０ cｍ,发动机转速. ⑴桨尖相对于飞机得线速率等于多少?⑵若飞机以２50 kｍ/ｈ得速率飞行,计算桨尖相对地面速度得大小,并定性说明桨尖得轨迹。
解:⑴桨尖相对飞机得速度:

⑵桨尖相对地面得速度:,飞机相对地面得速度与螺旋桨相对飞机得速度总就是垂直得,
所以,
显然,桨尖相对地面得运动轨迹为螺旋线、
７.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体得总质量与质心位置、　⑴圆锥体为匀质;⑵密度为得函数:,为正常数、

解:建立图示坐标轴,据对称性分析,质心必在轴上,在坐标处取一厚为得质元.
根据相似三角形,有
,即 ,
则

⑴圆锥体为匀质,即为常数,
总质量:
质心:
⑵
总质量:
质心:
7.3.3 在质量为,半径为得匀质圆盘上挖出半径为得两个圆孔,圆孔中心在半径得中点,求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直得轴线得转动惯量、

解:大圆盘对过圆盘中心且与盘面垂直得轴线(以下简称轴)得转动惯量 　 　　
为 . 由于对称放置,两个小圆盘对轴得转动惯量相等,设为,圆盘
质量得面密度,根据平行轴定理,有

设挖去两个小圆盘后,剩余部分对轴得转动惯量为

7。4．2 质量为２.97　kg,长为1.０ m得匀质等截面细杆可绕水平光滑得轴线转动,最初杆静止于铅直方向、 一弹片质量为１0 g,以水平速度200　m／s射出并嵌入杆得下端,与杆一起运动,求杆得最大摆角、　

解:将子弹、杆构成得物体系作为研究对象,整个过程可分为两个阶段研究:
第一阶段,子弹与杆发生完全非弹性碰撞,获得共同得角速度ω,此过程时间极
短,可认为杆原地未动。 由于在此过程中,外力矩为零,因此角动量守恒,

根据牛顿碰撞公式

第二阶段,子弹与杆以共同得初角速度摆动到最大角度,由于在此过程中,只有重力做功,所以物体系得机械能守恒、

于就是,。
点评:当子弹射入细杆得瞬时,铰链处将出现冲击性作用力,此时,满足角动量守恒条件;当把细杆换成细绳,细绳得另一端有一木块,子弹射入木块时,悬挂点处不出现冲击性作用力,此时,满足动量守恒条件.
7.5。6 如图,板得质量为,受水平力得作用,沿水平面运动。 板与平面间得摩擦因数为。 在板上放一半径为质量为得实心圆柱,此圆柱只滚动不滑动、 求板得加速度、

解:隔离圆柱,其受力及运动情况如图所示.
其中,为质心对地得加速度,为相对质心得角加速度,、分别为板施加给 　
圆柱得静摩擦力与压力、 　 　
由质心定理,得

对质心应用转动定理,有

隔离木板,其受力及运动情况如图所示。
其中,为板对地得加速度,、分别为水平面施加给板得滑动摩擦力与压力. 　 　
应用牛顿第二定律(或质心定理),有

圆柱在木板上只滚动不滑动得条件就是:
　 　 　 　 　 　 　(板本身具有加速度)
　(圆柱与板接触点对地得加速度等于质心加速度加上绕质心转动得加速度,即,它必须等于木板对地得加速度,才能只滚不滑)
由以上式子,得

7.5.７　在水平桌面上放置一质量为得线轴,内径为,外径为,其绕中心轴转动惯量为,线轴与地面之间得静摩擦系数为、 线轴受一水平拉力,如图所示、
⑴使线轴在桌面上保持无滑滚动之最大值就是多少?
⑵若与水平方向成角,试证,时,线轴向前滚;时,线轴向后滚动、

解:可将(1)瞧作(2)得特殊情况。　建立图示坐标,轴垂直纸面向外,为角量得正方向。 根据静摩擦力得性质,可知其方向与水平分量方向相反。 设线轴质心得加速度为,绕质心得角加速度为。
由质心定理,有

由转动定理,有

只滚动不滑动,则要求
　 　 　 　 　(桌面静止)
联立上述诸式,得:

　 ⑴　为水平拉力时,即 、
根据库仑经验公式,有

得
、
⑵ 若,即线轴向前滚;
若,即线轴向后滚;
若,即线轴处于平衡状态。