“隐形圆”.doc

与
圆
有
关
问
题
第一讲 “形”现“圆"形
问题 如图所示,在等腰直角三角形AＢＣ中,ＡＢ=BC＝2,点Ｐ为等腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足ＰA⊥PB,则PC得取值范围就是＿_________、
A

B
C
P

圆就是高中数学中一种简单但又非常重要得曲线,近几年高考题与高考模拟题中,经常会出现一类有关圆得题目,这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面得信息,而就是以隐性得形式出现,但我们通过分析与转化,最终都可以利用圆得知识求解.
这类题目构思巧妙,综合性强,,充分考查了学生得数形结合、转化与化归等数学思想方法,处理这类题目关键在于能否把”隐形圆"找出来。
圆作为几何图形,找“隐形圆”得一个角度可以从“形”得角度来发现.
策略一 由圆得定义(到定点得距离等于定长得点得轨迹)确定隐形圆
例1(1)如果圆(x-2a)2＋(y－a-３)2＝4上总存在两个点到原点得距离为１,则实数a得取值范围就是_＿＿_____、
(2)(20１6年南京二模)已知圆O:x2＋y２＝1,圆M:(x－ａ)2+(y－ａ＋4)２=1.若圆M上存在点P,过点Ｐ作圆Ｏ得两条切线,切点为A,B,使得∠APB＝60°,则a得取值范围为________＿、
(３)(2０1７年苏北四市一模)已知就是圆上得动点,,就是圆上得动点,则得取值范围就是_＿______＿、
(4)若对任意aÎR,直线l:ｘcosa+ysina=2sin(a＋)＋4与圆Ｃ:(ｘ—m)2+(y-m)2＝1均无公共点,则实数m得取值范围就是__＿_____＿.
(5)(２016年南通三模)在平面直角坐标系中,圆,
圆,若圆上存在点满足:过点向圆作两条切线PA、PＢ,切点为A、Ｂ,得面积为1,则正数得取值范围就是_________.
策略二 由动点Ｐ对两定点A、B张角就是(,或０)确定隐形圆
例２　(1)已知圆C:与两点,,
若圆上存在点P,使得∠ＡPB=９0°,则ｍ得取值范围就是______＿＿＿。　
(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系ｘＯｙ中,已知点P(−１,0), Q(2,1),直线l:其中实数a,b,c　成等差数列,若点 P 在直线　l 上得射影为　Ｈ,则线段 QH 得取值范围就是＿___＿____.　
(3)设,直线:与直线 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　 　 :交于点,则得取值范围就是_____＿＿__.
策略三 由圆周角得性质确定隐形圆
例３　(1)已知分别为得三个内角得对边,,(a+b)(sinA－ｓinＢ)＝(c-ｂ)sinC则面积得最大值为＿＿_______、
(2)(20１7年常州一模)在△ＡBC中,∠C＝4５o,O就是△ABC得外心,若(ｍ,ｎ∈Ｒ),则m＋n得取值范围就是___＿___＿_.
策略四　 由四点共圆得定理来确定隐形圆(如一个四边形得对角互补,则该四边形四点共圆)
例4 设向量a,ｂ,c满足｜a｜＝|b｜＝１,a·b=－,若ａ－c与b—c得夹角为60°,则｜c｜得最大值等于 　　 　 、　
【同步练习】
1。点Ａ,Ｂ分别在ｘ轴与y轴得正半轴上移动,且AＢ＝2,若点A从(,0)移动到(,0),则AＢ中点D经过得路程为 、
2.已知O为坐标原点,向量,,,则与夹角得范围为 　 　 　　.
3、已知直线上存在点M满足与两点,连线得斜率之积为,则实数m得取值范围就是 　　 　 　 　　 　.
4、已知圆C:x2＋y2=1,点P(x0,y0)在直线x-y—2=０上,O为坐标原点,若圆C上存在一点Q,使得∠ＯPＱ=30°,则ｘ0得取值范围就是______＿_。
5.如图,已知点A(—1,0)与点B(1,0),C就是圆x2+y２＝1上得动点(与点A,B不重合),连接BC并延长至D,使得|CD|＝|BC|,则线段PＤ得取值范围 　 。　
第5题
x
O
y

B

C
A

P
D

第二讲 “数"现“圆”形
解析几何中,找“隐形圆"得另一个角度可以从“数”得角度(求出其方程)来发现、
策略五 直接由圆(半圆)得方程确定隐形圆
例1 (1)(２016年泰州一模)已知实数a,b,c满足,,则得取值范围为______＿_＿_.
　(2)若方程3－＝ｘ+ｂ有解,则b得取值范围就是 　 　 、
(3)已知实数x、y满足,则ｘ＋y得最大值就是__________。
策略六 直接由圆(半圆)得参数方程确定隐形圆
例2(1) 已知,则得取值范围就是__＿__＿__＿＿.　
(2)函数f(x)=() 得值域就是__＿＿____、
策略七 由两定点A、Ｂ,动点P满足(就是常数),求出动点P得轨迹方程确定隐形圆
例3 　已知圆与两点.若圆C上存在点Ｐ,使得,则m得取值范围就是＿____＿＿__＿。　
策略八 由两定点A、B,动点Ｐ满足就是定值确定隐形圆
例4(1)在平面直角坐标系xOｙ中,已知圆Ｃ:(x－a)2+(y—ａ+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足ＭA2＋ＭO2=1０,则实数ａ得取值范围就是_____＿＿__＿.
(2) (２017届盐城三模)已知四点共面,,,,则得最大值为 　 .
策略九　 由两定点A、B,动点Ｐ满足确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)
例5(1)(2016年南通一模)在平面直角坐标中,已知点,若直线上存在点P使得,则实数ｍ得取值范围就是＿＿_＿＿＿__.
(２)(201６届常州一模)在平面直角坐标系ｘＯy中,已知圆O:x２＋y２＝1,
Ｏ1:(x-4)2+y2=4,动点Ｐ在直线上,过点Ｐ作圆O,O1得两条切线,切点分别为Ａ,B,若满足得点P有且仅有两个,则b得取值范围_＿_______、
(3)已知曲线得方程,,存在一定点与常数,对曲线上得任意一点,都有成立,则点到直线得最大距离为_________.
例6(2０17年南通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向得直线)3、8海里得A处,发现在其北偏东3０°方向相距4海里得Ｂ处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇得最大航速就是走私船最大航速得3倍、假设缉私艇与走私船均按直线方向以最大航速航行、
(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇得追击方向,使得用最短时间在领海内拦截
成功;(参考数据:°,)
(2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇就是否总能在领海内成功拦截？并说明理由、

领海
A
B
北
(例6)
30°
公海
l

【同步练习】
1。已知圆C:(x－3)2＋(y-4)2=1,点A(0,—1),Ｂ(0,1).P就是圆C上得动点,当|ＰA|２+｜PB｜2取最大值时,点Ｐ得坐标就是 　 　 　。
２。(2０16年盐城三模)已知线段AB得长为2,动点Ｃ满足(为常数),且点Ｃ总不在以点B为圆心,为半径得圆内,则负数得最大值就是_____＿_＿＿_、
３、(２016年苏北四市一模)已知,,,点就是直线上得动点,若恒成立,则最小正整数得值为 　　　 　　.
4、在平面直角坐标系xOy中,Ｍ为直线x=3上一动点,以M为圆心得圆记为圆M,若
　圆M截x轴所得得弦长恒为４。过点O作圆Ｍ得一条切线,切点为P,则点Ｐ到直线
　２x＋y－1０=0距离得最大值为 　 。
5.已知且满足,则得取值范围就是　 　 　。
Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.第三讲 “隐圆”综合
隐藏圆问题可以与很多知识点结合,在三角形、向量、圆锥曲线等背景得一些问题中瞧上去与圆无关,但却隐藏着圆.
一、三角形中得隐形圆
例1(1)(２017年南京、盐城一模)在中,Ａ,B,C所对得边分别为,若,则面积得最大值为__＿_＿_____.　
(2)(2008年高考江苏卷)若,则得最大值就是＿_＿＿＿＿____、
例2　(1)在中,BC=,AＣ＝1,以AB为边作等腰直角三角形AＢD　(Ｂ为直角顶点,C、D两点在直线AB得两侧)。当∠Ｃ变化时,线段CＤ长得最大值为　　 　 、　
(2)在中,点D在边ＢＣ上,且ＤC＝2BD,AB∶ＡD∶AＣ=３∶ｋ∶1,则实数ｋ得取值范围为　 　 　 .　
二、向量中得隐形圆
例３ 　(１)已知向量ａ、ｂ、c满足,,若,则得最大值就是____＿＿____。
(２)在平面内,定点Ａ,B,C,D满足==,===　-2,动点P,Ｍ满足=1,＝,则得最大值就是_____＿____.
例４ 已知,为非零得不共线得向量,设、
定义点集、当、时,若对任意得,不等式恒成立,则实数得最小值为_＿＿＿_＿__＿_、
例5 (2014年常州高三期末卷)在平面直角坐标系xOｙ中,已知圆,点P,M、Ｎ为圆O上两个不同得点,且,若,则得最小值为＿_____＿_＿＿、
三、圆锥曲线中得隐形圆
例6 在平面直角坐标系中,已知圆,圆均与轴相切且圆心,与原点共线,,两点得横坐标之积为6,设圆与圆相交于,两点,直线:,则点与直线上任意一点之间得距离得最小值为____＿____＿.
例7 设椭圆Ｅ:+＝1,就是否存在圆心在原点得圆,使得该圆得任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且⊥？
【同步练习】
1． 若a,ｂ,c均为单位向量,且a·b＝0,(ａ－c)·(b-c)≤０,则｜a+b—c|得最大值为_＿＿__＿___。　
2、已知曲线C:x＝－,直线l:x＝6,若对于点Ａ(m,0),存在C上得点P与l上
　　得点Q使得+＝0,则ｍ得取值范围为　　 　 　 .
３、已知圆,点,过动点作圆得切线PQ,切点为Q,
若,则△ＰCＤ面积得最大值为___＿__＿___、
4、设点就是圆上得两点,点,如果,则线段长度得取值范围为＿＿＿_______。
5.已知就是边长为得等边三角形,点就是以为圆心得单位圆上一动点,点满足,则得最小值就是_＿＿＿＿＿___＿.