《机械优化设计》复习题-答案.doc

《机械优化设计》复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求f（X)＝100（x２—　ｘ12） 2＋(1— x1) ２得最优解时,设X(０)＝［—０、5，0、5］T，第一步迭代得搜索方向为　　[－４7，-50]T。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一就是寻找搜索方向，二就是计算最优步长。
3、当优化问题就是凸规划得情况下,任何局部最优解就就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到得三点，即为搜索区间得始点、中间点与终点，它们得函数值形成 高－低－高 　 　 趋势.
５、包含n个设计变量得优化问题，称为 n　 维优化问题。
6、函数　得梯度为Ｂ.
7、设Ｇ为n×n对称正定矩阵,若ｎ维空间中有两个非零向量d0,d1,满足（ｄ0）TGd1=０,则d0、ｄ1之间存在共轭关系。
８、 　 设计变量 　　 、 　 目标函数 、 约束条件　 　就是优化设计问题数学模型得基本要素。
9、对于无约束二元函数，若在点处取得极小值，其必要条件就是 　 　　 　 　　 ,充分条件就是 　（正定　 。
10、　 K—T　 　　 　　 　 　条件可以叙述为在极值点处目标函数得梯度为起作用得各约束函数梯度得非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数得极小点,初始搜索区间,经第一次区间消去后得到得新区间为 　[-２、3６ 　10] .
１2、优化设计问题得数学模型得基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法得搜索方向dｋ＝ 　 　　　 ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点　附近　位置.
14、将函数f(Ｘ)=x１2+ｘ２２－x1x2－1０x1—4x2＋60表示成得形式 　 　 　 　　 　　。
１5、存在矩阵H，向量 d1，向量 ｄ2,当满足d1THｄ２=０,向量　d１与向量 ｄ2就是关于H共轭。
16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入得惩罚因子r数列,具有单调递增特点。
17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最优步长.
二、选择题
1、下面Ｃ方法需要求海赛矩阵。
A、最速下降法
B、共轭梯度法
C、牛顿型法
D、ＤＦP法
2、对于约束问题

根据目标函数等值线与约束曲线,判断为 　 　　 　 ,为 　 。D
A．内点;内点 　
B、 外点；外点
Ｃ、 内点；外点
Ｄ、 外点;内点
3、内点惩罚函数法可用于求解B优化问题.
A　无约束优化问题　
B只含有不等式约束得优化问题 　
C 只含有等式得优化问题 　
D 含有不等式与等式约束得优化问题
4、对于一维搜索,搜索区间为[a，b]，中间插入两个点a１、b1,a1〈ｂ1，计算出f(a１）〈ｆ(b1），则缩短后得搜索区间为D。
A　 [a1,ｂ1] 　
Ｂ　 [　ｂ1,b］ 　 　
C ［a1，b］　　 　
Ｄ [a,b１］
5、Ｄ不就是优化设计问题数学模型得基本要素。
A设计变量　 　
B约束条件 　
C目标函数
D 最佳步长
6、变尺度法得迭代公式为xk+1=ｘk－αkHｋ▽ｆ(ｘk),下列不属于Hk必须满足得条件得就是C　。
A、 Hk之间有简单得迭代形式 　
B、拟牛顿条件
C、与海塞矩阵正交 　 　 　 　
D、对称正定
7、函数在某点得梯度方向为函数在该点得A。
A、最速上升方向
B、上升方向 　　
C、最速下降方向　
D、下降方向
8、下面四种无约束优化方法中，D在构成搜索方向时没有使用到目标函数得一阶或二阶导数。
A　梯度法　
B 牛顿法　
C 变尺度法 　　
D 　坐标轮换法
9、设为定义在凸集R上且具有连续二阶导数得函数，则在R上为凸函数得充分必要条件就是海塞矩阵G（X)在Ｒ上处处Ｂ.
Ａ 正定
B 　半正定 　　
C 　负定　 　
D 　半负定
10、下列关于最常用得一维搜索试探方法--黄金分割法得叙述，错误得就是D,假设要求在区间[a,ｂ]插入两点α1、α2，且α1<α2。
A、其缩短率为0、618
Ｂ、α1＝b—λ(b－ａ）
C、α1=a+λ（b－ａ） 　　　
D、在该方法中缩短搜索区间采用得就是外推法.
11、与梯度成锐角得方向为函数值A方向,与负梯度成锐角得方向为函数值 B
方向，与梯度成直角得方向为函数值　C方向.
A、上升
B、下降
Ｃ、不变
D、为零
１2、二维目标函数得无约束极小点就就是 B。
A、等值线族得一个共同中心　　　
B、梯度为０得点
C、全局最优解　 　　　 　　　　
D、海塞矩阵正定得点
13、最速下降法相邻两搜索方向dk与dk+1必为 B 向量。
Ａ 相切　　 　
B 　正交
C 成锐角
D 共轭
14、下列关于内点惩罚函数法得叙述，错误得就是A。
Ａ 可用来求解含不等式约束与等式约束得最优化问题。　
B　惩罚因子就是不断递减得正值
Ｃ初始点应选择一个离约束边界较远得点。　
Ｄ 初始点必须在可行域内
三、问答题(瞧讲义)
１、试述两种一维搜索方法得原理，它们之间有何区别？
2、惩罚函数法求解约束优化问题得基本原理就是什么？
３、试述数值解法求最佳步长因子得基本思路。
4、试述求解无约束优化问题得最速下降法与牛顿型方法得优缺点.
5、写出用数学规划法求解优化设计问题得数值迭代公式，并说明公式中各变量得意义，并说明迭代公式得意义。
6、什么就是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交就是什么关系？
四、解答题
1、试用梯度法求目标函数ｆ（X）=１、５x１2+０、5x22－ x1ｘ２-２x1得最优解,设初始点x（0)=[—2,4]T,选代精度ε=0、0２（迭代一步）.
解：首先计算目标函数得梯度函数 ，
计算当前迭代点得 梯度向量值
梯度法得搜索方向为 ， 因此在迭代点ｘ（0） 得搜索方向为［1２，—6]T
在此方向上新得迭代点为：
　 　 ＝=
＝
　 　把新得迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个关于单变量得函数

　　令　，可以求出当前搜索方向上得最优步长

新得迭代点为
当前梯度向量得长度， 因此继续进行迭代。
第一迭代步完成。
2、试用牛顿法求ｆ（ Ｘ　)=（x1—２）2+（x1-2x2）2得最优解，设初始点x（0）=［２,1]Ｔ。
解1:（注：题目出题不当，初始点已经就是最优点，解2就是修改题目后解法。)
牛顿法得搜索方向为，因此首先求出当前迭代点x（0）
　 得梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵

　 不用搜索，当前点就就是最优点。
解2:上述解法不就是典型得牛顿方法，原因在于题目得初始点选择不当。以下修改求解题目得初始点,以体现牛顿方法得典型步骤。
以非最优点x（0)＝［1，2］T作为初始点，重新采用牛顿法计算
牛顿法得搜索方向为，因此首先求出当前迭代点x（0）
　 得梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵
梯度函数:

　 　 初始点梯度向量:

　 　 海色矩阵:

海色矩阵逆矩阵：
　　　 　 　 　 　 ﻫ
当前步得搜索方向为:
＝
新得迭代点位于当前得搜索方向上 :
==
　 ==
把新得迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量得函数

　 令 ,可以求出当前搜索方向上得最优步长

新得迭代点为
当前梯度向量得长度, 因此继续进行迭代。
第二迭代步:

因此不用继续计算，第一步迭代已经到达最优点.
这正就是牛顿法得二次收敛性。对正定二次函数,牛顿法一步即可求出最优点。
3、设有函数　f(Ｘ）=x１2＋2x２２-2x１x2-4x１，试利用极值条件求其极值点与极值。
解:首先利用极值必要条件ﻫ　 　 　 　 　　找出可能得极值点:
　 令
　　　 　 　=
　　 　求得，就是可能得极值点。
　　 再利用充分条件正定(或负定)确认极值点。

因此正定, 就是极小点,极值为ｆ（Ｘ＊）=—8
4、求目标函数ｆ（ X　）=x１2+x1x２+2ｘ2２　＋4x１+6x2＋10得极值与极值点。
解法同上
5、试证明函数 f（　X )=2ｘ１2+５ｘ22 +x32+2x３ｘ2＋2x3x1-6ｘ２+3在点［１,１，-2］T处具有极小值。
解:　必要条件:

　将点[１,1,—2］T带入上式，可得ﻫ
充分条件

　 　 　 　 　 　 　 　 　 =４0

正定。
因此函数在点［1，１,－２]T处具有极小值
6、给定约束优化问题
min f（X）＝（x1－3）2+(x2－２)2　　
s、t、　 g1(Ｘ)=－ｘ12－x２2＋5≥0
　ｇ2(Ｘ)＝－ｘ1-2ｘ2+4≥0
g3(X)= ｘ1≥0
g4（X)＝x2≥０
验证在点Kuhn—Ｔucker条件成立。
解:首先,找出在点起作用约束：
ｇ１(X） ＝0
g2（X） ＝0
g３(X)　=2
g４(X） ＝1
因此起作用约束为g１（X)、ｇ2（X）。
然后，计算目标函数、起作用约束函数得梯度,检查目标函数梯度就是否可以表示为起作用约束函数梯度得非负线性组合。
　 　　 =
　　　　=, 　
　 求解线性组合系数

得到　 　均大于0
因此在点Kｕhｎ－Ｔucｋｅr条件成立
7、设非线性规划问题

用Ｋ－T条件验证为其约束最优点.
解法同上
8、已知目标函数为f(Ｘ)= ｘ1+x２，受约束于：
g1（X）=－x12+ｘ２≥0
g２（X)=x１≥０
写出内点罚函数。
解:
　 内点罚函数得一般公式为

其中: ｒ(１)>r(2） >r（3）… 〉r（k)　… >0 　就是一个递减得正值数列
r（k)=Cｒ（ｋ－1）, 　0＜C〈1
因此 罚函数为：

９、已知目标函数为f（X）=( ｘ1—1)2+(x2+2)２
受约束于:g1（X)=—x2—x１—1≥0
g2（X）=2—ｘ1－x2≥0
g3（X)=x１≥0
ｇ4（X）=x2≥0
试写出内点罚函数。
解法同上
10、如图,有一块边长为６m得正方形铝板，四角截去相等得边长为x得方块并折转，造一个无盖得箱子,问如何截法(x取何值）才能获得最大容器得箱子。试写出这一优化问题得数学模型以及用MATLAB软件求解得程序.

11、某厂生产一个容积为8０00ｃm3得平底无盖得圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题得数学模型以及用MＡTLAＢ软件求解得程序。
12、一根长l得铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形，问应以怎样得比例截断铅丝,才能使圆与方形得面积之与为最大,试写出这一优化设计问题得数学模型以及用MＡTLAＢ软件求解得程序.
１３、求表面积为3０0m2得体积最大得圆柱体体积。试写出这一优化设计问题得数学模型以及用MATLAB软件求解得程序。
1４、薄铁板宽20ｃm，折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽得断面积最大.写出这一优化设计问题得数学模型，并用ｍａtlaｂ软件得优化工具箱求解（写出M文件与求解命令）。
15、已知梯形截面管道得参数就是：底边长度为ｃ，高度为ｈ,面积A=64516mm2，斜边与底边得夹角为θ，见图1。管道内液体得流速与管道截面得周长s得倒数成比例关系（s只包括底边与两侧边,不计顶边)。试按照使液体流速最大确定该管道得参数。写出这一优化设计问题得数学模型。并用matlab软件得优化工具箱求解（写出Ｍ文件与求解命令)。
16、某电线电缆车间生产力缆与话缆两种产品。力缆每米需用材料９kg,3个工时,消耗电能４kW·ｈ，可得利润60元;话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kW·h，可得利润120元。若每天材料可供应３60kg,有30０个工时消耗电能200kＷ·ｈ可利用。如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题得数学模型以及用ＭATＬAB软件求解得程序。