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圆的培优专题(含解答)
圆的培优专题1——与圆有关的角度计算
一 运用辅助圆求角度
1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若DAB＝，DAC＝，
则BDC＝ . （BDC＝BAC＝100）
2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若C＝，则BAD＝ . （）
3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，CBD＝，BDC＝，则

第1题 第2题 第3题
BAD＝ . （BAD＝BAC＋CAD＝40＋60＝100）Kqh7fOB。RBbB1eS。
解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！
4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若D＝，
则AEC＝ . （AEC＝2B＝2D＝120）
5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，ABC＝ADC＝，
则DAO＋DCO＝ . （所求＝360－ADC－AOC＝150）
6、如图，四边形ABCD中，ACB＝ADB＝，ADC＝，则ABC＝ .

第4题 第5题 第6题
（ABC＝ADC＝25）YlB0wbC。rLkuisO。
解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆.
二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度
7、如图，AB为⊙O的直径，C为的中点，D为半圆上一点，则ADC＝ .
8、如图，AB为⊙O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC＝ .
9、如图，AB为⊙O的直径，，则ABC＝ .

第7题 第8题 第9题

答案：7、45； 8、30； 9、22.5； 10、40； 11、150； 12、110
解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！
10、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BAC＝，则ADC＝ .
11、如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则BOC＝ .
12、如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB过圆心O，若，P＝，
则BDC＝ . （设ADC＝，即可展开解决问题）

第10题 第11题 第12题
pLyQl4E。LO4jUu6。
解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰
直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！
圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算
1、如图，AB是⊙O的弦，ODAB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若BED
＝，⊙O的半径为4，则弦AB的长是 .
略解：∵ODAB，∴AB＝2AC，且ACO＝90，
∵BED＝30，∴AOC＝2BED＝60
∴OAC＝30，OC＝OA＝2，则AC＝，因此AB＝.
2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝ .
略解：∵直径CD弦AB，∴AE＝BE＝AB=3
∴OE＝，则CE＝5＋4＝9

第1题 第2题 第3题
∴BC＝WyrLGQE。7ZAmox7。
3、如图，⊙O的半径为，弦ABCD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝ .
略解：如图，过点O作OEAB，OFCD，连接OB，OD.
则BE＝AB＝4，DF＝CD＝3，且OB＝OD＝ml8QSdh。0nLtk3m。
OE＝，OF＝
又ABCD，则四边形OEPF是矩形，则OP＝
4、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，A＝B＝，则⊙O的半径为 .
略解：如图，过点O作ODAB，连接OB，则AD＝AB＝4，因此，BD＝8，OD＝AocFOTj。cEENNfW。
∴OB＝.
5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，DCA＝，CD＝10，则BC＝
略解：如图，连接OC，OD，则ODC＝OCD
∵△ABC为等边三角形，则OCA＝OCE＝30，∴ODC＝OCD＝45
∴△OCD是等腰三角形，则OC＝

第4题 第5题 第6题
过点O作OEBC，则BC＝2CE＝UTygMSd。D2fwKL2。
6、如图，⊙O的直径AB＝4，C为的中点，E为OB上一点，AEC＝，CE的延
长线交⊙O于点D，则CD＝
略解：如图，连接OC，则OC＝2
∵C为的中点，则OCAB，又AEC＝，∴OCE＝30
如图，过点O作OFCD，则OF＝OC＝1，CF＝，∴CD＝2CF＝

7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，
并以每小时千米的速度沿北偏东的BF方向移
动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.
问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求
出受影响的时间？
解：如图，过点A作ACBF交于点C，
∵ABF＝30，则AC＝AB＝150200，因此A地会受到这次台风影响；5Q8Euec。yls6LaY。
如图，以A为圆心200千米为半径作⊙A交BF于D、E两点，连接AD，
则DE＝2CD＝2，
所以受影响的时间为（时）
圆的培优专题3——圆与全等三角形
1、如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，ACB的平分线交⊙O于D，求CD的长.

解：如图，连接AB，BD，在CB的延长线上截取BE＝AC，连接DE
∵ACD＝BCD，∴AD＝BD
又CAD＝EBD，AC＝BE
∴△CAD≌△EBD（SAS）
∴CD＝DE，ADC＝BDE
∵AB为⊙O的直径，则ACB＝ADB＝90
∴BC＝；ADC＋CDB＝CDB＋BDE＝90，即CDE＝
∴△CDE是等腰直角三角形且CE＝14，∴CD＝
2、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且
MA＝MD，若CM＝，求BD的长.

解：如图，连接AC，则AC＝BC，C＝90，即△ABC是等腰直角三角形
过点M作MN∥AD，则NMA＝MAD
则△CMN也是等腰直角三角形，则MN＝CM＝2
∴ANC＝MBD＝135，
又MA＝MD，∴D＝NMA＝MAD
∴△AMN≌△BMD（AAS）
∴BD＝MN＝2
3、如图，AB为⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为上一点，NC＝.

求BC－AC的值.
解：如图，连接AN，BN，则△ABN是等腰直角三角形
在BC上截取BD＝AC，连接DN
∵AN＝BN，CAN＝DBN，AC＝BD
∴△ACN≌△BDN（SAS）
∴CN＝DN，CNA＝DNB，
∴CND＝CNA＋AND＝ADN＋DNB＝90，即△CND是等腰直角三角形
∴CD＝NC＝，
∴BC－AC＝BC－BD＝CD＝
4、如图，点A、B、C为⊙O上三点，，点M为上一点，CEAM于E，

AE＝5，ME＝3，求BM的长.
解：如图，在AM上截取AN＝BM，连接CN，CM.
∵，∴AC＝BC，又A＝B
∴△ACN≌△BCM（SAS）
∴CN＝CM，又CEAM
∴NE＝ME＝3，
∴BM＝AN＝AE－NE＝2
5、如图，在⊙O中，P为的中点，PDCD，CD交⊙O于A，若AC＝3，AD＝1，

求AB的长.
解：如图，连接BP、CP，则BP＝CP，B＝C
过点P作PEAB于点E，又PDCD
∴BEP＝CDP
∴△BEP≌△CDP（AAS）
∴BE＝CD＝3+1＝4，PE＝PD
连接AP，则Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），则AE＝AD＝1
∴AB＝AE+BE＝5
6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB＝10，MN＝8.

求BF－AE的值.
解：∵AEMN，BFMN，则AE∥BF，∴A＝B
如图，延长EO交BF于点G，
则AOE＝BOG，AO＝BO
∴△AOE≌△BOG（AAS），则OE＝OG
过点O作OHMN，FG＝2OH，HN＝4
连接ON，则ON＝5，OH＝，则BG－AE＝FG＝6.
圆的培优专题4——圆与勾股定理
1、如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦ACBC，点N是的中点，BNC＝，

求 的值.
解：如图，连接AB，则AB为直径，∴BNA＝90
连接AN，则BN＝AN，则△ABN是等腰直角三角形
∴BN＝AB；又BAC＝BNC＝，
∴BC＝AB， ∴＝ （方法2，过点B作BDCN，即可求解）

2、如图，⊙O的弦ACBD，且AC＝BD，若AD＝，求⊙O半径.
解：如图，作直径AE，连接DE，则ADE＝90
又ACBD，则ADB＋DAC＝ADB＋EDB＝90
∴DAC＝EDB，则，∴，
∵ AC＝BD，∴，则
∴AD＝DE，即△ADE是等腰直角三角形
∴AE＝AD＝4，即⊙O的半径为2
3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD＝，

CEAB于点E，DFAB于点F.
（1）求证：CE＝EF；（2）若DF＝2，EF＝4，求AC.
（1）证：∵ AB为⊙O的直径，CAD＝，
则△ACD是等腰直角三角形，即AC＝DC
又CEAB，则CAE＝ECB
如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G
又CEAB，DFAB，则四边形CEFG是矩形，AEC＝DGC＝90
∴EF＝CG，CE∥DG，则ECB＝CDG＝CAE
∴△ACE≌△DCG（AAS），则CE＝CG＝EF
（2）略解：AC＝CD＝.
4、如图，AB为⊙O的直径，CDAB于点D，CD交AE于点F，.

（1）求证：AF＝CF；
（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长
（1）证：如图，延长CD交⊙O于点G，连接AC
∵直径ABCG，则
∴CAE＝ACG，则AF＝CF
（2）解：如图，连接OC交AE于点H，则OCAE，EH＝AH＝AE=4
∴ OH＝，则CH＝5－3＝2
设HF＝，则CF＝AF＝4－
则，∴，即HF＝
∴EF＝
5、如图，在⊙O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD.
（1）求证：AD＝AN；

（2）若AB＝，ON＝1，求⊙O的半径.
（1）证：∵CDAB，AMBC
∴C＋CNM＝C＋B＝90
∴B＝CNM，
又B＝D，AND＝CNM
∴D＝AND，即AD＝AN
（2） 解：∵直径CD弦AB，则AE＝
又AN＝AD，则NE＝ED
如图，连接OA，设OE＝，则NE＝ED＝
∴OA＝OD＝
∴，则
∴⊙O的半径OA＝3
圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题

1、在⊙O中，弦ABCD于E，求证：AOD＋BOC＝.
证：如图，连接AC，
∵ABCD，则CAB＋ACD＝90
又AOD＝2ACD，BOC＝2BAC
∴AOD＋BOC＝.
2、在⊙O中，弦ABCD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2.

证：∵ABCD，则CAB＋ACD＝90
如图，作直径AM，连接CM
则ACM＝ACD＋DCM＝90
∴CAB＝DCM，
∴
∴，
∴CM＝BD
∵AC2＋CM2＝AM2
∴AC2＋BD2＝4R2.
3、在⊙O中，弦ABCD于点E，若点M为AC的中点，求证MEBD.

证：如图，连接ME，并延长交BD于点F
∵ABCD，且点M为AC的中点
∴ME为Rt△AEC斜边上的中线
∴AM＝ME
∴A＝AEM＝BEF
又B＝C，A＋C＝90
∴BEF＋B＝90，即BFE＝90
∴MEBD.
4、在⊙O中，弦ABCD于点E，若ONBD于N，求证：ON＝AC.

证：如图，作直径BF，连接DF，
则DFBD，又ONBD，
∴ON∥FD，又OB＝OF
∴ON＝DF
连接AF，则AFAB，又CDAB
∴AF∥CD
∴，则AC＝FD
∴ON＝AC
5、在⊙O中，弦ABCD于点E，若AC＝BD，ONBD于N，OMAC于M.

（1）求证：MEON；
（2）求证：四边形OMEN为菱形.
证：（1）如图，延长ME交OD于点F
∵OMAC，则点M为AC的中点
∵ ABCD，则ME为Rt△ACE的斜边上中线
∴AM＝EM，
∴A＝AEM＝BEF
又B＝C，A＋C＝90
∴B＋BEF＝90，则BFE＝90
∴MFBD，又ONBD
∴MF∥ON
（2）由（1）知MF∥ON，同理可证OM∥NE，
∴四边形OMEN是平行四边形
∵AC＝BD，∴OM＝ON
∴四边形OMEN为菱形.
圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线
一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形
1、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝.

求证：CA＋CB＝CD.
证：如图，在CA的延长线上截取AE＝BC，连DE，AD，BD
∵CD平分ACB，∴AD＝BD
又DAE＝DBC，AE＝BC
∴△DAE≌△DBC（SAS）
∴CD＝DE，又ACD＝45
∴△CDE是等腰直角三角形，则CA＋CB＝CE＝CD.
2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝，求的值.rH7PGg7。YESSYW4。

解：如图，在CA的延长线上截取AE＝BC，连DE，AD，BD
∵CD平分ACB，∴AD＝BD
又DAE＝DBC，AE＝BC
∴△DAE≌△DBC（SAS）
∴CD＝DE，又ACD＝60
∴△CDE是等边三角形
∴CD＝CE＝CA＋BC，即＝1

3、如图，过O、M的动圆⊙交轴、轴于点A、B，求OA＋OB的值.
解：如图，过点M作ME轴，MF轴，连AM、BM
由M（1，1）知：四边形OFME是正方形
∴OE＝OF＝4，EM＝FM，又MBF＝MAE，
∴△AEM≌△BFM（AAS），则AE＝BF
∴OA＋OB＝AE＋OE＋OF－BF＝8.
二 圆中的外角问题往往与线段的差有关

4、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝.
求证：（1）；（2）AC－BC＝PC.
证：（1）如图，连接AP，则PCQ＝PAB
又PCQ＝PCA，则PAB＝PCA
∴
（2）连接BP，由（1）得，PA＝PB
在AC上截取AD＝BC，连PD，又PAD＝PBC
∴△PAD≌△PBC（SAS），则PD＝PC
又PCD＝45，则∴PCD是等腰直角三角形，∴AC－BC＝CD＝PC.
5、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝.

求的值.
解：如图，在BC上截取BD＝AC，连AP、BP、DP
∵PCB＝PCQ＝PBA
∴AP＝BP，又CAP＝DBP
∴△CAP≌△DBP（SAS），则CP＝DP
又ACB＝120，∴PCD＝30，
∴＝ ＝

6、如图，A，B，⊙经过A、B、O三点，点 这P为上动点（异于O、A）.
求的值.
解：如图，在BP上截取BC＝AP
∵A，B，则OA＝OB＝4
又OAP＝OBC
∴△OAP≌△OBC（SAS）
∴OC＝OP，且COP＝AOB＝90，则＝ ＝.7cx4oLm。KXNg0Jc。
圆的培优专题7——与切线有关的角度计算
一 切线与一个圆 答案：1、；2、；3、；4、；5、；6、
1、如图，AD切⊙O于A，BC为直径，若ACB＝，则CAD＝ .
2、如图，AP切⊙O于P，PB过圆心，B在⊙O上，若ABP＝，则APB＝ .
3、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为上一点，若BCA＝，则APB＝ .

第1题 第2题 第3题 第4题
844teOx。D5IrRlI。

第5题

4、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为上一点，
若BCA＝，则APB＝ .
5、如图，点O是△ABC的内切圆的的圆心，若
BAC＝，则BOC＝ .
6、如图，PA切⊙O于A，若PA＝AB，PD平分

第6题
APB交AB于D，则ADP＝ . （设元，列方程）
二 切线与两个圆
7、如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC
分别切小圆于D、E，小圆的的度数为，

第7题 第8题 第9题
则大圆的的度数为 .F3Ubua8。3cEHS92。
8、如图，⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，若D＝，则C＝
9、如图，⊙O1和⊙O2外切于D，AB过点D，若AO2D＝，C为优弧上任一点，
则DCB＝ . 答案：7、；8、40；9、（过点D作两圆的切线）
圆的培优专题8——与切线有关的长度计算
1、如图，在⊙O的内接△ACB中，ABC＝，AC的延长线与过点D的切线BD交于
点D，若⊙O的半径为1，BDOC，则CD＝ . （CD＝）VQEHQlh。BC0rGwJ。
2、如图△ABC内接于⊙O，AB＝BC，过点A的切线与OC的延长线交于D，BAC＝，
CD＝，则AD＝ . （AD＝3）
3、如图，⊙O为△BCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于A，ACB＝，

第1题 第2题 第3题 第4题
ABC＝，则 的值为 . （＝）U9g1VH2。0z5iUal。
4、如图，AB为⊙O的直径，弦DC交AB于E，过C作⊙O的切线交DB的延长线于M，
若AB＝4，ADC＝，M＝，则CD＝ . （CD＝）
5、如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，ADBD于D，AD交⊙O于E，⊙O
的半径为1，则AE＝ . （AE＝1）
6、如图，△ABC中，C＝，BC＝5，⊙O与ABC的三边相切于D、E、F，若⊙O的
半径为2，则△ABC的周长为 . （C＝30）
7、如图，△ABC中，C＝，AC＝12，BC＝16，点O在AB上，⊙O与BC相切于D，
连接AD，则BD＝ . （示：过D作DEAB，设CD＝DE＝，BD＝10）

第5题 第6题

第7题

解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.

圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理
1、如图，AB为⊙O的直径，C为的中点，CDBE于D.
（1）判断DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若DC＝3，⊙O的半径为5，求DE的长.
解：（1）DC是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OC，BC，则ABC＝CBD＝OCB
∴OC∥BD，又CDBE
∴OCCD，又OC为⊙O的半径
∴DC是⊙O的切线
（2）如图，过O作OFBD，则四边形OFDC是矩形，且BE＝EF
∴OF＝CD＝3，DF＝OC＝5，
∴EF＝BF＝，∴DE＝DF－EF＝1
2、如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，⊙O的切线

BF交AD的延长线于点F.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE＝3，⊙O的半径为5，求DF的长.
（1）证：显然，CAD＝OAD＝ODA
∴OD∥AE，又DEAC，
∴ODDE，又OD为⊙O半径
∴DE为⊙O的切线
（2）解：如图，过点O作OGAC，则OGDE是矩形，即OG＝DE＝3，DE＝OD＝5
∴AG＝，则AE＝5＋4＝9，∴
连接BD，则BDAD，∴BD＝
设DF＝，则＝BF＝，∴DF＝.
3、 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AECD于E，DA平分BDE.

（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，DE＝1，求CD的长.
（1）证：如图，连接OA，则ADE＝ADO＝OAD
∴OA∥CD，又AECD
∴OAAE，又OA为⊙O的半径
∴AE是⊙O的切线
（2）解：如图，过点O作OFCD，则CD＝2DF，且四边形OFEA是矩形
∴EF＝OA＝OD，OF＝AE＝2
设DF＝，则OD＝EF＝
∴，∴
∴CD＝2CF＝
4、如图，AE是⊙O的直径，DF切⊙O于B，ADDF于D，EFDF于F.

（1）求证：EF＋AD＝AE；
（2）若EF＝1，DF＝4，求四边形ADFE的周长.
（1）证：如图，连接CE，则四边形CDFE是矩形
连接OB交CE于点G，
∵DF是⊙O的切线
∴OBDF，OBCE
∴BG＝CD＝EF，OG∥AC，又AO＝OE
∴AC＝2OG
∴EF＋AD＝AC＋CD＋EF＝2OG＋2BG＝2OB＝AE.
（2）解：显然CE＝DF＝4，CD＝EF＝1
设AC＝，则AD＝，AE＝
∴，则，则AC＝3，AD＝4，AE＝5
∴四边形CDFE的周长为14.
圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理
1、如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，
AC＝OB.
（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若ACD＝，OC＝2，求弦CD的长.
（1）证：∵OC＝OB，
∴AC为OAB的OB边上的中线，又AC＝OB
∴△OAB是直角三角形，且OAB＝90，又OA为⊙O的半径

∴AB是⊙O的切线
（2）解：显然，OA＝OC＝AC，即△OAC是等边三角形
∴AOC＝60，∴D＝30
如图，过点A作AECD于点E，
∵ACD＝45，∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝AC＝OC＝，DE＝AE＝
∴CD＝
2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，点M在PB上，且OMAP，MNAP于N.

（1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O的半径，PA＝9，求OM的长.
（1）证：如图，连接OA，∵PA为⊙O的切线，
∴OAAP，又MNAP
∴OA∥MN，又OMAP，
∴四边形OANM是矩形，即OM＝AN
（2）解：如图，连接OB，∵PB、PA为⊙O的切线
∴OBM＝MNP＝90，PB＝PA＝9
∵OMAP，∴OMB＝P，又OB＝OA＝MN，∴△OBM≌△MNP（AAS）
∴OM＝PM，则32＋OM2＝（9－OM）2，∴OM＝5
3、如图，AB为⊙O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，
E为切点，连接CE交AB于F.
（1）求证：DE＝DF；（2）连接AE，若OF＝1，BF＝3，求DE的长.

（1）证：如图，连接OE
∵PE为⊙O的切线，
∴OEDE，又OCAB
∴C＋CFO＝OEF＋DEF＝90
又C＝OCF，CFO＝DFE
∴DEF＝DFE，∴DE＝DF
（2）解：显然，OE＝OB＝OF＋BF＝4
设BD＝，则DE＝DF＝，OD＝
∴，∴
∴DE＝7.5
4、如图，正方形ABCO的顶点分别在轴、轴上，以AB为弦的⊙M与轴相切于F，

已知A，求圆心M的坐标.
解：如图，连接FM交延长交AB于点E
∵⊙M与轴相切，即OC是⊙M的切线
∴EFOC，
又四边形ABCO是正方形
∴EFAB，
又A（0，8）即AB＝EM＝OA＝8
∴ AE＝4
设MF＝AM＝，则EM＝8－
∴，∴，即MF＝5
∴点M的坐标为（－4，5）
圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形
1、如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，AD交BC于E，过D作⊙O的切线，交BC
的延长线于F. （1）求证：DF＝EF；（2）若AE＝2，DE＝4，求DB的长.

（1）证：如图，连接AB
∵BD为⊙O的直径，DF为⊙O的切线
∴BAD＝BDF＝90
∴ABC＋AEB＝ADB＋FDE＝90
又ABC＝ADB，AEB＝DEF
∴DFE＝DEF，∴DE＝EF
（2）解：如图，过点F作FGED，则EG＝GD＝2＝AE，
又BAE＝FGE＝90，AEB＝GEF，
∴△ABE≌△GFE（ASA），
∴BE＝EF，即DE为R△BDF的斜边上中线
∴DF＝EF＝DE＝4，BF＝8，则BD＝
2、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O的一点，OCAD，CFDB于F.
（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若BF＝1，DB＝3，求⊙O的半径.

（1）证：∵AB为⊙O的直径
∴DFAD，又OCAD
∴OC∥DF，又CFDB
∴OCCF，又OC为⊙O的半径
∴CF为⊙O的切线
（2）解：如图，过点C作CEBD于点E，
则BE＝DE＝1.5，EF＝2.5
又OCCF，CFEF
∴四边形OCFE是矩形
∴⊙O有半径OC＝EF＝2.5
3、如图，以⊙O的弦AB为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC＝OD；

（2）过D作DM切⊙O于M，若AB＝2，DM＝，求⊙O的半径.
（1）证：如图，连接OA、OB，则OA＝OB
∴OAB＝OBA
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝BC，DAB＝CBA＝90
∴OAD＝OBC
∴△OAD≌△OBC（SAS）
∴OC＝OD
（2）解：如图，连接OM、BD，则OMDM，且BD＝AB＝＝DM
又OM＝OB，OD＝OD，△ODM≌△ODB（SSS）
∴OBBD，又ABD＝45
∴OAB＝45，即△OAB是等腰直角三角形
∴OA＝AB＝
4、如图，在△ABC中，AC＝BC，ACB＝，以BC为直径的⊙O交AB于D.
（1）求证：AD＝BD；（2）弦CE交BD于M，若，求 .
（1）略证：连接CD，则CDAB

又AC＝BC，ACB＝，∴AD＝BD
（2）解：如图，连接BE，过A作ANCE于N，
∵，∴
∴AN＝2BE
∵CAN＝BCE，AC＝BC，ANC＝CEB
∴△ANC≌△CEB（AAS）
∴BE＝CN，CE＝AN
设CN＝BE＝，则CE＝AN＝BE＝，
∴BC＝，∴AB＝BC＝，即BD＝
∴ ＝.
圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D，与边AC交于E，
过D作DFAC于F.

（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE＝，AB＝5，求AE的长.
（1）证：如图，连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴ADBC，又AB＝AC，OA＝OB
∴EAD＝DAB＝ADO
∴OD∥AC，又DFAC
∴ODDF，又OD为⊙O的直径
∴DF为⊙O的切线
（2）解：∵EAD＝DAB，∴BD＝DE＝，又AB＝5，∴AD＝
∵DF×AC＝AD×CD，∴DF＝2，CF＝EF＝，∴AE＝5－2＝3
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于D，过D作DEAE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OC，若CAB＝，求 的值.msCa81O。ggddKUJ。
（1）证：如图，连接AD，OD，则ADBC
又AB＝AC，∴CD＝BD，又AO＝OB
∴OD∥AC，又DEAE
∴ODDF，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OFBD于F，则BD＝2BF
∵AB＝AC，CAB＝，∴B＝30
设OF＝，则BF＝，OB＝，
∴AC＝AB＝，CD＝BD＝，则CF＝
由勾股定理，得OC＝，由面积法，得DE＝，∴＝.
3、如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别交BC于D、AB于E，DFAC.
（1）证：DF为⊙O的切线；（2）若AC切⊙O于G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC.

（1）证：如图，连接OD，∵ AB＝AC，OB＝OD
∴B＝C＝ODB
∴OD∥AC，又DFAC
∴ODDF，又OD为⊙O的半径
∴DF为⊙O的切线
（2）解：如图，连接OG，∵AC为⊙O的切线
∴OGAC，又ODDF，DFAC，OG＝OD
∴四边形ODFG是正方形，即OB＝OG＝GF＝3
设AG＝，则AB＝AC＝，则AO＝
∴，∴，则AC＝8
4、如图，CD是⊙O的弦，A为的中点，E为CD延长线上一点，EG切⊙O于G.
（1）求证：KG＝GE；（2）若ACEG，＝ ，AK＝，求⊙O的半径.FftHiqs。hRXvV3O。

（1）证：如图，连接OG，OA交CD于点F
∵A为的中点，EG是⊙O的切线
∴OACD，OGGE
∴OAG＋AKF＝OGA＋EGK
又OAG＝OGA，AKF＝EKG
∴EGK＝EKG
∴KG＝GE
（2）解：∵AC∥EG，∴CAK＝EGK，又EGK＝EKG＝CKA
∴CAK＝CKA，∴CA＝CK
设CK＝CA＝，则DK＝，∴CD＝，CF＝，EG＝
∴AF＝
在Rt△AFK中，，∴
∴CE＝8，AE＝6，
设⊙O的半径为R，则R2＝82＋（R－6）2，∴R＝
圆的培优专题13——圆与三角形的内心
1、如图，AB是⊙O的直径，，点M为BC上一点，且CM＝AC.

（1）求证：M为△ABE的内心；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求△BEM的面积.
（1）证：如图，连接CE，则AC＝CE＝CM
∴CME＝CEM，CEA＝CBE
∴CBE＋BEM＝CEA＋AEM
∴AEM＝BEM，又ABC＝CBE
∴点M为△ABE的内心.
（2）解：如图，过点M作MNBE于点N，则MN为△ABE的内切圆的半径.
∵AB＝10，AE＝8，则BE＝
∴MN＝， ★★ MN＝＝＝2
∴BME的面积为×6×2＝6.
2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分BAC点M是△ABC的内心.

（1）求证：BC＝DM；（2）若DM＝，AB＝8，求OM的长.
（1）证：如图，连接BD，CD，