自动控制原理(胥布工)第二版章习题及详解.doc

第6章习题及详解
6-1 试求图6-93所示电路得频率特性表达式,并指出哪些电路得低频段增益大于高频段增益。

(a) (b)

(c) (d)
图6-93 习题6-1图
解:(a) ;(b);(c) ;(d) ;(a)与(c)低频段增益小于高频段增益;(b)与(d)低频段增益大于高频段增益。
6-2 若系统单位脉冲响应为,试确定系统得频率特性。
解:,故
6-3 已知单位反馈系统得开环传递函数为

试根据式(6-11)频率特性得定义求闭环系统在输入信号作用下得稳态输出。
解:先求得闭环传递函数。
(1),,。
(2),,。
故。
6-4 某对象传递函数为

试求:
(1) 该对象在输入作用下输出得表达式,并指出哪部分就是瞬态分量;
(2) 分析与增大对瞬态分量与稳态分量得影响;
(3) 很多化工过程对象得与都很大,通过实验方法测定对象得频率特性需要很长时间,试解释其原因。
解: (1)前一项为瞬态分量,后一项为稳态分量。
(2)与增大,瞬态分量收敛更慢;稳态分量幅值减小,且相位滞后更明显。
(3)因为瞬态分量收敛太慢。
6-5 某系统得开环传递函数为

试描点绘制:(1)奈奎斯特曲线;(2)伯德图;(3)尼科尔斯图。
解:
各图如习题6-5图解所示。

习题6-5图解
6-6 给定反馈系统得开环传递函数如下,
(a); (b); (c); (d);(e)。
(1) 试分别绘出其开环频率特性得奈奎斯特草图,并与借助Matlab绘制得精确奈奎斯特曲线进行比较。
(2) 试根据草图判断各系统得稳定性。
解:
(1)精确曲线如习题6-6图解所示。

习题6-6图解
(2)(a)临界稳定(闭环系统有一对共轭虚根),其余系统稳定。
6-7 给定反馈系统得开环传递函数如下,
(a);(b) ;(c);(d);
(1) 试绘出各系统得开环对数幅频渐近特性,并根据所得得渐近特性估算截止频率与相位裕度。
(2) 试借助Matlab绘制各系统得开环对数幅频精确特性,并确定各系统得截止频率与相位裕度。
(3) 试比较(1)、(2)所得结果得差别,并解释出现差别得原因。
解:
(1) (a),;(b),;
(c),;(d) ,;

(a) (b)

(c) (d)
习题6-7图解
(2) (a),;(b),;
(c),;(d),;
(3)因渐近特性仅为精确曲线得近似,需要修正。
6-8 测量某最小相位系统得开环对数幅频特性,并对其作渐近特性近似,所得结果如图6-94所示,试写出其开环传递函数。

图6-94 习题6-8图
解:。
6-9已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如图6-95所示,试求其各自对应得传递函数。。

(a) (b)

(c) (d)
图6-95 习题6-9图
解:(a);(b);(c),其中参数待定;(d)。
6-10 试证明图6-95(c)对应反馈系统得静态误差系数为,并求其值。
解:。
6-11设单位反馈系统得开环传递函数如下,其中各待定参数均大于零,

试分别采用奈奎斯特判据、劳斯判据与根轨迹方法确定使系统稳定得参数取值范围。
解:
（1） 奈奎斯特判据
见习题6-11图解(a),时稳定,时不稳定,时临界稳定(虚轴上存在一对闭环共轭极点)。
（2） 劳斯判据
结论同(1)。
（3） 根轨迹法
见习题6-11图解(b),结论同(1)。

(a) 奈亏斯特曲线 (b)根轨迹
习题6-11图解
6-12 设系统开环幅相频率特性如图6-96(a)~(j)所示,其中,其开环传递函数在右半平面得极点数为,系统型别为,试根据奈氏判据判定各系统得闭环稳定性,若系统闭环不稳定,确定其右半平面得闭环极点数。
(a),;(b),;(c),;(d),;
(e),;(f),;(g),;(h),;
(i),;(j),。

(a) (b) (c) (d) (e)

(f) (g) (h) (i) (j)
图6-96 习题6-12图
解:(a)不稳定,2;(b)稳定;(c)不稳定,2;(d)稳定;(e)不稳定,2;(f)稳定;
(g)稳定;(h)稳定;(i)不稳定,1;(j)稳定。
6-13给定反馈系统开环传递函数如下

(1) 设分别取值1、0、4、0、1;试借助Matlab分别绘制各取值情况下对应得开环对数幅频特性曲线,并确定系统得截止频率与相位裕度。
(2) 截止频率附近得谐振环节会对闭环系统产生不良影响。试结合(1)得结果谈谈您对该说法得理解。
解:
(1) 时,,;时,,(前后三次穿越零分贝线,以相位较小处频率为截止频率);时,,。
(2) 截止频率附近得谐振环节会大幅降低系统相位裕度,影响平稳性。

6-14 给定单位反馈系统得开环传递函数分别为
(1);(2)
试根据奈奎斯特曲线判断闭环系统在右半平面就是否有极点。(提示:调整包围右半平面得封闭曲线)
解:两系统在右半平面均无极点。
对于系统1),当时,其开环系统得奈奎斯特曲线穿过点,表明为其闭环极点。故应使包围右半s平面得封闭曲线逆时针绕过原点。该封闭曲线与正实轴得交点处坐标为,其中为无穷小正数。又,故封闭曲线调整后得奈奎斯特曲线顺时针包围点一圈,而开环系统在右半s平面有一个极点,故闭环系统在右半s平面无极点。
对于系统(2),当时,其开环系统得奈奎斯特曲线穿过点,表明为其闭环极点。故应使包围右半s平面得封闭曲线逆时针绕过原点与这两个闭环极点。分析方法同系统(1),易知闭环系统在右半s平面无极点。
6-15 试讨论去掉6、4、3节例6-3系统开环传递函数

中得带有零点得环节,对闭环系统幅值裕度与相位裕度有何影响。
解:虚、实线分别对应于去掉零点前、后对数幅频渐近特性与相频特性。去掉该环节前后,对数幅频特性分别以与得斜率穿过零分贝线,故前者相位裕度必然远大于后者。根据相频特性也可得到同样得结论:去掉零点后相频特性迅速下降,稳定裕度大大降低。
根据对数幅频渐近特性可求得,去掉该环节前后,截止频率分别为与,进而得与。

题图6-15 题6-15系统得伯德图渐近线
6-16 设单位反馈系统得开环传递函数为

试确定:
(1)使闭环系统稳定得值取值范围。
(2)使相位裕度得值取值范围,并求出闭环系统在单位阶跃输入下得稳态误差。
(3)去掉延迟环节重复上述计算。
解:其草图如习题6-16图解所示,其中,。简单试探可知,时,;时,;分别代上述值入,可求得最大取值。
（1） 使闭环系统稳定得值取值范围约为。
（2） 使相位裕度得值取值范围约为。
（3） 去掉滞后环节,则无论取何值,,故即可。
三种情况下,稳态误差均为。

习题6-16图解 奈奎斯特曲线
6-17 系统得开环传递函数为

要求:
(1)绘制系统当时得开环对数频率特性草图,并估算系统得相位裕度。
(2)根据系统得相位裕度与截止频率估算系统得时域性能指标。
(3)设增大为10,重复上述计算。
解:增大前、后相频特性不变,幅频特性上升20分贝,分别如习题6-17图解(a)虚、实线所示。
增大前、后截止频率分别为与;相位裕度分别为:与(按精确曲线所得分别为,与,)。
增大前性能指标:因为时,对数幅频特性几乎以斜率穿过零分贝线,且第二个转折频率相对远离,因此可以将其近似为典型二阶系统处理,根据图6-59与图6-60,易知其阶跃响应最大超调量约为,调节时间约为(按精确曲线所得分别为与;实际仿真结果为,)。
增大为10后系统不稳定,因此无法讨论快速性与平稳性。

(a)对数频率特性

(b)单位阶跃响应
习题6-17图解
6-18 图6-97给出了(a)与(b)两组单位反馈系统得开环对数幅频特性。设各开环系统均为最小相位系统,
(1) 试定性比较各组内系统之间得性能。
(2) 试求出各系统得传递函数,并借助Matlab仿真判断(1)中定性分析得结果就是否正确。
(a)

(b)
图6-97 习题6-18图
解:
(1)
l 图6-97 (a):
n 平稳性:三系统得对数幅频特性均以斜率穿过零分贝线,且截止频率两端均具一定宽度,因此三系统得平稳性均比较良好;第二个系统中频段宽度相对较窄,故可预计其单位阶跃响应得最大超调量就是三个系统中最大得,而另外两系统应具有相同得最大超调量。
n 快速性: 第三个系统截止频率最高,故响应最快速;其余两系统得快速性差别不大。
n 准确性:三系统得低频段斜率亦均为,均为I型系统,稳态精度高。而第三个系统低频段增益显著高于前两个系统,故其稳态精度最高。
l 图6-97 (b):
n 平稳性:根据对数幅频特性穿过零分贝线得斜率可知第一个系统得平稳性显著优于其余两系统。其余两系统平稳性差别不大。
n 快速性:第三个系统截止频率最高,且可推出其放大系数最大,故其响应最快;第二个系统响应最慢。
n 准确性:三个系统均为II型系统,稳态精度高。而第三个系统低频段增益显著高于前两个系统,故其稳态精度最高,第二个系统稳态精度最低。
(2)
l 图6-97 (a):
,,
。
l 图6-97(b):
,,。
6-19 某控制系统得结构如图6-98所示,其中
,
试按与估算系统得时域指标与。

图6-98 习题6-19图
解:截止频率,相位裕度(按渐近特性估算为,)。按典型二阶系统近似,根据图6-59与图6-60,系统单位阶跃响应最大超调量;调节时间。因按开环传递函数按典型二阶系统处理,忽略了零点与一小惯性极点得影响,故超调量与调节时间估计值与实际值会有一定得偏差(仿真结果:;调节时间)。

习题6-19图解 对数频率特性
6-20 某高阶控制系统,若要求,,试由近似公式确定频域指标与。
解:由式(6-41)与(6-42),;。
6-21 已知单位反馈系统得开环传递函数为,要求:
(1)试求其开环频率特性得与。
(2)试借助MATLAB绘制该系统得尼科尔斯图,求其闭环频率特性得与。
(3)分别用上述两组特征量估算系统得时域指标与。
解:
(1)试求其开环频率特性得与。(截止频率,相位裕度)
(2)试借助MATLAB绘制该系统得尼科尔斯图,求其闭环频率特性得与。(作尼科尔斯图,可读出开环频率特性与尼科尔斯图线得等9dB线相切,故;与-3dB线交点处频率约为)
(3)分别用上述两组特征量估算系统得时域指标与。(根据式(6-69)～式(6-72),系统单位阶跃响应最大超调量,调节时间分别约为5、8s与5、6s。)

习题6-21图解 尼科尔斯图
6-22 设单位反馈系统得开环传递函数为

要求:
(1)试手工绘制其开环对数频率渐近特性,并根据其渐近特性判断闭环系统得稳定性。
(2)试用MATLAB绘制其精确得对数频率特性,并判断闭环系统得稳定性。
(3)试根据(1)与(2)得结果讨论谐振环节对闭环系统稳定性得影响。
解:
渐近与精确曲线如习题6-22图解所示,其中折线段组合为渐近特性。按渐近特性,开环频率特性无正负穿越,故闭环系统稳定。但精确特性表明,开环频率特性在附近出现一次负穿越,故闭环系统不稳定,有两个极点落于右半s平面。

习题6-22图解 对数频率特性
6-23 已知一双回路控制系统结构如图6-99所示,试借助MATLAB软件,采用奈奎斯特判据确定使系统稳定得值取值范围。

图6-99 习题6-23图
解:

(a) 内环路奈奎斯特曲线 (b) 系统奈奎斯特曲线

(c) 系统奈奎斯特曲线局部放大图
习题6-23图解 各环路开环奈奎斯特曲线
内环传递函数:
故为保证系统稳定,值取值范围为。
6-24 试推导最大峰值指标与稳定裕度指标得关系,若,问该系统具有多大得幅稳定裕度,其相稳定裕度就是多少度？
解:由6、6、1节图6-54可知就是一个负实数,故有为正实数。由闭环传递函数得

注意到,进一步得

由于,得

又因,故有

利用图6-74所示得关系,由上式易得

归纳结果:最大峰值指标与稳定裕度指标得关系为

证毕。
若,则系统得幅与相稳定裕度分别为, 。
6-25 性能权函数也可选如下形式

试确定其倒数得伯德幅频特性曲线,与性能权函数式(6-100)比较指出两者对性能要求得区别在何处。
解 题中得性能权函数要求灵敏度函数得伯德幅频特性在中频段比式(6-100)要求得斜率更大,在最大峰值发生得位置变化不大得前提下,这意味着扩大了控制作用得带宽,因此,该性能权函数得要求比式(6-100)更侧重克服外部扰动输入得影响。
6-26 考虑图6-80所示得闭环控制系统。若不确定性对象为

即标称对象上附加了一个不确定性零点环节,其中,为标称对象,为已知得常数上界,就是满足得未知不确定常参数,即只知取值范围得常数。试求不确定性对象模型得权函数。
解:由题意可得

因上式对于任何频率与任意成立,故可取权函数为。
6-27 考虑图6-80所示得闭环控制系统,设,选定得性能权函数为,并设计了控制器使得闭环控制系统满足鲁棒性能要求(6-115),即等价地满足条件(6-116)。现已知在频率处,有,而在复平面上得坐标点为。试确定:
(1) 在频率处,对象不确定性部分得允许上界就是多少？
(2) 在频率处,对象不确定性相对变化得允许百分比上界就是多少？
(3) 在只需保证稳定性得前提下,(1)与(2)中得结果又就是多少？
解 注意到条件(6-116)依赖于频率,在频率处,已知,由在复平面上得坐标点为知,此时位于第三象限,其与点得距离为:。由于,由图6-81可知,

即得允许上界就是0、7。又因

即得允许百分比上界就是70%。
在保证鲁棒稳定性得前提下,条件化为得允许上界就是1,得允许百分比上界就是100%。
第7章习题及详解
7-1 考虑图7-49所示角度随动系统组成示意图,试回答:
(1)哪些元件属于系统得固有部分,哪些元件构成系统得校正装置？
(2)该系统得校正装置属于串联校正还就是局部反馈校正？
(3)试从校正环节增益随频率变化得角度简单分析校正装置得作用？(提示:在过渡过程得初期,高频信号分量占比较大,而在过渡过程后期,低频信号分量占比较大)

图7-49 习题7-1图
解:
（1） 功率放大器、减速器、角度传感器属于系统得固有部分。滤波电路若根据对象应用场合信号特点选定不变,则滤波电路亦属固有部分。两级放大器,尤其就是后一级构成串联PD校正。
（2） 串联PD校正。
（3） 由于电容得高频阻抗小而低频阻抗大,因此,在过渡过程初始阶段,信号中高频成分居多,此时阻容电路电容得作用明显,第二个运算放大器环节可以获得很高得增益,从而为电机提供更大得电枢电压,有利于加快系统得响应。而在过渡过程得中后期,信号中高频成分减少,阻容电路阻性突出,此时第二个运算放大器环节得放大倍数下降,加于电机上得电枢电压逐渐下降为稳态值,有利于抑制甚至消除电机得“过冲”现象,提高系统过渡过程得平稳性。
7-2 图7-50描述得就是一种常见得锅炉汽包水位控制系统,其中,液位变送器LT测量汽包液位,流量变送器FT测量蒸汽流量。系统根据蒸汽流量与进水流量得差值相应调整进水阀门得开度,其中,与为信号进入加法器前所乘得系数。试回答:
(1)解释该系统得工作原理。
(2)判断系统属于按扰动得复合校正,还就是按给定得复合校正。

图7-50 习题7-2图
解:
（1） 该系统目得就是稳定锅炉汽包水位,负载蒸汽流量波动会引起汽包液位得变化。LT测量汽包液位,流量计FT测量蒸汽流量。如习题7-2图解所示,为克服负载蒸汽变化对汽包液位得扰动,按一定比例叠加到控制器得输出上。若控制合理,蒸汽流量变化形成得扰动在引起锅炉汽包液位变化之前,系统就能通过前馈通道调整阀门开度,降低甚至消除扰动对液位得影响。
（2） 属于按扰动得复合校正。

习题7-2图解 按扰动补偿得复合校正
7-3 考虑图7-51(a)所示得角度随动控制系统原理图,其中采用了由测速发电机及超前阻容网络实现局部反馈校正,校正前后系统主回路及局部反馈回路开环对数幅频特性分别如图7-51(b)中得、与所示。试根据图7-51(b)解释该系统中得局部反馈校正如何提高电机角度随动系统得平稳性。

(a)

(b)
图7-51 习题7-3图
解:系统平稳性决定于中频段穿过零分贝线得斜率。由图7-51(b)易知,该系统中频段增益过大,穿过零分贝线得斜率下降过快。局部反馈通道得频率特性在该频段大于0,意味着负反馈后能降低系统开环频率特性在该频段得幅值,且就是其零分贝线得斜率上升为,有助于提高系统得平稳性。
7-4 图7-52所示得电路能提供超前得相角,它就是否能单独作为串联超前校正装置？试说明理由。

图7-52 习题7-4图
解:因其低频段斜率为,极大地降低闭环系统稳态精度,故不宜单独采用。
7-5 试结合频率特性解释下述说法:
(1) PD与PID校正容易放大高频噪声,因此应用场合若具有强噪声,应增加滤波环节。
(2) 在给定输入频繁升降得场合,PID控制得微分作用会导致过大得控制量,对系统产生冲击。将微分项放到反馈通道有助于减轻这种冲击。
(3) PI控制得积分作用可以提高系统得稳态精度,但会降低系统得相位裕度。
解:
(1) PD与PID校正环节得高频段均以得斜率上升,因此会放大高频噪声。
(2) 在频繁升降得给定输入信号中,高频分量占比较高,PID控制得微分作用将显著放大这些分量而导致过大得控制量。由于被控对象通常具有低通滤波特性,将微分项放到反馈通道后,给定输入信号经过被控对象滤波才输入到PID控制器,相当于被控对象与被控对象串联,有利于降低高频段增益,从而具有降低控制量得作用。
(3) 因PI控制可提高开环频率特性得低频段增益,提高系统型次,故可改善稳态精度;但其会引入滞后相位,降低系统稳定裕度。
7-6 试证明超前校正环节

在与得几何中心对应频率处获得最大超前角,并推导与得表达式。
解:
。当 时,,而时,且有界。令得其唯一极值点处频率满足,故在处取得最大值,为。
7-7 某单位反馈系统得开环传递函数为
,
要求系统在单位斜坡输入信号作用下得稳态误差;
(1) 若同时要求相位裕度,试判断当前系统就是否满足要求;若不满足要求,试确定合适得超前校正装置得传递函数。
(2) 若要求截止频率,相位裕度,试判断单级串联超前校正装置能否满足性能要求。
解:

习题7-7图解 校正前后中低频段伯德图(部分)
(1)
① 由易知应取。令。此时,校正前对数幅频特性以斜率穿过零分贝线,故稳定裕度较低。按渐近性特性可求得,截止频率,相位裕度(精确值为,),不满足要求。可考虑采用超前校正提供穿越零分贝线得斜率,如习题7-7图解所示。
② 因存在极点,校正后截止频率应适当小于10,以保证一定得中频段宽度。初选。则根据习题7-7图解,。
③ 按相位裕度得要求,
,
故可选。由此可构造校正环节

④ 计算校正后系统相位裕度知,满足要求。
(2)
根据习题7-7图解,若,由于存在极点,无法保证足够得中频段宽度,故难以通过单级超前校正保证高达40º得相位裕度。
7-8某单位反馈控制系统得开环传递函数为,要求系统在斜坡函数输入时得稳态误差为,相角裕度。试判断应采用何种串联校正方式改善系统性能,并给出合适得校正装置得传递函数。
解:

习题7-8图解 校正前后系统伯德图
① 易求得相位裕度,不满足要求。校正环节必须提供超前相角,根据习题7-8图解,可考虑采用串联超前校正环节。
② 根据习题7-8图解易知,引入适当得超前校正环节后可使穿越零分贝线得斜率提高为。只要保证该斜率得频段在截止频率两端均具有足够宽度,即可满足相角裕度得要求。一种可行得方案为,易求得此时。
③ 检验校正方案:计算,满足要求。
7-9 试说明串联滞后校正就是否能解决习题7-7系统所提出得性能要求,若可行,试给出合适得校正装置得传递函数。
解:

习题7-9图解 校正前、后系统开环对数频率特性(部分)
（1） 可行,因为系统无快速性要求,且低频段斜率为。故可考虑引入滞后校正环节使得校正后系统以斜率穿过零分贝线,同时恰当选择参数以保证该斜率得频段在截止频率两端均具有足够宽度,即可满足相角裕度得要求。
① 取,按中频段具有足够宽度得要求,同时考虑到被控对象存在极点,可初选与。(注:由于其余转折频率与得距离均在十倍频程以上,故校正后系统相位裕度基本可根据该中频段宽度估算,,预留了足够裕度)。
② 根据习题7-9图解,成立。由此可确定校正环节为。
③ 检验:,满足要求。
（2） 不可行,因为滞后校正会使截止频率左移,不能同时满足平稳性与快速性得要求。
7-10某单位反馈系统得开环传递函数为
,
要求系统在单位斜坡输入信号作用下得稳态误差,阶跃输入下得最大超调量。
i. 试判断当前系统就是否满足要求;若不满足要求,试采用频率法设计滞后校正环节。
ii. 若增加要求调节时间,试采用频率法设计超前校正环节。
解:
按典型二阶系统将时域性能指标转换为频域指标,根据图6-59知要求。考虑一定裕度,可初选。由易知应取;令。此时,校正前对数幅频特性以斜率穿过零分贝线,故稳定裕度较低。
(1) 易求得校正前系统相位裕度,远未满足要求。可考虑采用滞后校正提高穿越零分贝线得斜率(可参考习题7-9图解)。
① 由于期望相位裕度较大,故应按宽中频段形式设计;考虑到被控对象存在极点,可初选与;如此,,预留了足够裕度。
② 参考习题7-9图解,成立。由此可确定校正环节为。
③ 基于Matlab搭建模型进行仿真验证,结果表明阶跃响应超调量稍微超过20％。为此,适当左移以增大相位裕度,重选校正环节为。重新仿真验证,可知此时超调量满足要求。
(2) 考虑采用超前校正同时提高穿越零分贝线得斜率与截止频率(可参考习题7-7图解)。
① 根据图6-60可初选。取。
② 比较校正前、后渐近特性可求得:。
③ 按相位裕度得要求,,故可选。由此可构造校正环节。
④ 基于Matlab搭建模型进行仿真验证,结果表明阶跃响应超调量约20％,但调节时间略大于1s。
⑤ 为此,重选,重复上述步骤可得。再次仿真验证知该校正环节满足要求。
7-11 本章例7-5在超前校正设计步骤⑥中需要根据根轨迹与阴影区域边缘交点计算传递系数得可调范围。
a) 若其中一对交点为,试确定参数得大小,并确定相应非主导闭环极点得位置与根轨迹增益。
b) 若其中一对交点为,试确定参数得大小,并确定相应非主导闭环极点得位置与根轨迹增益。
解:
(1) 因为阴影区斜线部分满足,所选择闭环期望极点落于该斜线上,故。
校正后系统得开环传递函数为,根据开环系统极点之与等于闭环极点之与得法则,可知第三个闭环极点。
。
。
(2) 校正后系统得开环传递函数为,代入可得,。故

,舍去-3。
7-12 已知某单位反馈系统得开环传递函数为

要求系统得阶跃响应稳态误差为,最大超调量,调节时间。试用根轨迹法设计串联超前校正装置得传递函数。
解:零极点形式为:
(1)
① 校正前系统根轨迹如习题7-12图解(a)所示,为突出设计要点,仅画出实部大于-4得部分。

习题7-12图解(a)校正前得根轨迹(实部大于-4得部分)
② 由可得,取。由可得,取。故期望闭环主导极点应落于习题7-12图解(a)中阴影部分区域。由于未校正系统根轨迹不穿过阴影区域,故无法通过改变使系统性能满足要求。
③ 在阴影区域得内边缘初选期望闭环主导极点为,如习题7-12图解(a)中A、B两点。可增加串联超前校正使根轨迹左移,穿过A、B两点。在A点处,

根据式(7-17)得。为方便设计,取校正环节得零点为,则如习题7-12图解(b),张角为得两条射线与负实轴分别交于与。故校正后系统开环传递函数为

习题7-12图解(b)确定校正环节零极点位置
④ 将代入得对应。
⑤ 基于Matlab搭建模型进行仿真验证,结果表明阶跃响应最大超调量约6％。为此稍稍降低,重新检验知,阶跃响应最大超调量小于4％,调节时间小于2、1s满足要求。因为I型系统,故满足阶跃响应无静差要求。
应指出得就是,由于系统对最大超调量要求较高,因此值得可调范围非常窄,只能在3附近微调。因此该系统若采用单级超前校正,其实用性不高。
7-13 已知某单位反馈系统得开环传递函数为

要求系统在单位斜坡输入下得稳态误差,单位阶跃响应得最大超调量,调节时间,
(1) 试采用频率法设计串联校正环节;
(2) 试采用根轨迹法设计串联校正环节。
解:
由易知应串联一积分环节将系统提高为I型。
(1) 频率法
① 按稳态精度要求,;令。由前述7-10题解已知可初选。根据图6-60可初选。考虑一定裕度,取。
② 由于开环系统两极点靠得很近,故其相位在1rad/s附近频段下降很快。系统对相位裕度得要求比较高,单纯得超前校正通常难以补偿这两个极点引起得滞后相位。而若仅采用滞后校正,则需要将校正后得截止频率置于1rad/s左方,并远离两极点得转折频率,如此将难以满足快速性得要求。显然,该系统得校正需要同时兼顾中低频段较宽得范围,故可考虑在积分环节得基础上再增加滞后-超前校正。
③ 为简化设计,可考虑取超前校正得零点为,以抵消被控对象得一个极点。滞后校正会引入负相位,考虑预留一定裕度,可按。初选。
④ 为保证中频段宽度,初选滞后校正环节得转折频率为。参考习题7-9图解,成立。
⑤ 由此可确定校正环节为。
⑥ 基于Matlab搭建模型进行仿真验证,结果表明阶跃响应超调量小于16％,调节时间小于8s,满足要求。
(2) 根轨迹法
增加积分环节后,被校正对象成为。
① 由可得,考虑一定裕度取。由可得。由此可确定期望闭环主导极点得候选区域。
② 初选期望闭环主导极点为,则在A点处,

根据式(7-17)得。为方便设计,取校正环节得零点为,则张角为得两条射线与负实轴分别交于与(准确值为-5、8)。此时,校正后系统开环传递函数为。
③ 按稳态精度要求,,若已取,则滞后校正环节参数应满足,取,采用滞后校正环节。
④ 基于Matlab搭建模型进行仿真验证,结果表明阶跃响应超调量小于20％,调节时间小于10s,满足要求。
7-14 考虑本章例7-9,若反馈校正装置由原来得调整为

要求:
(1)求调整后系统得开环传递函数。
(2)与调整前系统比较,开环传递系数就是否下降？
解:
（1） 调整后内部环路得传递函数为

故调整后系统开环传递函数为:

（2） 调整前得开环传递系数为。调整后,开环传递系数减小为,稳态精度将显著降低。
7-15 设某典型二阶系统如图7-53所示。为使阶跃响应调节时间下降为,且保持原最大超调量不变,试确定反馈校正装置得传递函数。

图7-53 习题7-15图
解:该系统为典型二阶系统,其开环传递函数为,其开环对数频率特性曲线如习题7-15图解(a)所示。

习题7-15图解(a) 校正前与期望系统对数频率特性曲线
按渐近性特性可得,,相位裕度(精确值为,)。根据式(6-37)或图6-61,阶跃响应调节时间约为3s,不满足要求。最大超调量不变,即相位裕度不变,为缩短调节时间至1s,截止频率应增大为校正前得3倍,即,。
若能将对数频率特性整体右移至转折频率约为,如习题7-15图解(a)中虚线所示,即开环传递函数为,则截止频率与相位裕度满足要求。根据习题7-15图解(b),易求得,。

习题7-15图解 (b) 校正后系统结构图
7-16 某单位反馈系统得开环传递函数为

试设计PID控制方案,使系统满足下列性能指标:
(1)在最大指令速度为时,位置滞后误差不超过;
(2)相位裕度不小于;
(3)幅值裕度不低于;
(4)阶跃响应调节时间不超过。
解:采用PID校正后,系统无差度型次提高为II型,若系统稳定,则必然满足稳态精度要求。
① 计算期望性能指标
按要求(2),期望相位裕度。按要求(4),将校正后系统近似为典型二阶系统,按图6-61或式(6-37),时,阶跃响应调节时间与校正后期望截止频率近似满足,故取。
串联PID校正环节传递函数为
② 选择微分时间常数
为最大程度地利用零点所提供得超前相位,应使。又因,故可假设。校正后系统相位裕度
,
可得。为留一定余地,初选。
③ 选择积分时间常数
初选。
④ 确定比例系数
选择合适得使校正后系统开环对数幅频特性正好在穿过零分贝线,即

解之得。
⑤ 检验设计结果。
校正后系统开环传递函数为,对应对数幅频特性如习题7-16图解所示。其截止频率为,相位裕度约为,满足给定要求。
⑥ 控制实现。
若采用数字控制器编程实现,则其连续形式得控制规律为

其中,为偏差,也就是PID控制器得输入;为控制器得输出。

习题7-16图解 校正后系统开环频率特性
7-17 为方便操作人员进行PID参数整定,工程师们根据经验总结出了一些口诀如下:
参数整定找最佳,从小到大顺序查,先就是比例后积分,最后再把微分加;
曲线振荡很频繁,比例度盘要放大,曲线漂浮绕大湾,比例度盘往小扳;
曲线偏离回复慢,积分时间往下降,曲线波动周期长,积分时间再加长;
曲线振荡频率快,先把微分降下来,动差大来波动慢。微分时间应加长;
理想曲线两个波,前高后低4比1,一瞧二调多分析,调节质量不会低。
其中,比例度盘。若可将被校正对象得传递函数近似为,试通过PID得频率特性曲线解释上述说法。
解:
通常可将机械或热力学系统近似为,其对数频率特性如习题7-17图解(a)所示。

习题7-17图解(a)一阶惯性滞后组合系统开环频率特性
串联P、I、D三环节得作用可通过其对系统开环频率特性得影响来分析。
串联PID得频率特性如习题7-17图解所示。通常,,故 。记校正后系统截止频率为,各参数调整得效果如下:
1） 增大,则幅频特性下降,截止频率减小,快速性下降,但间接增大相位裕度,提高平稳性;反之幅频特性上升,截止频率增大,相位裕度减小,系统响应快速,但稳定性下降。“曲线振荡很频繁”反映出闭环系统阻尼系数过小,系统响应不平稳;而“曲线漂浮绕大湾”反映出闭环系统阻尼系数过大,响应过缓。因此应分别增大与减小。
2） 环节会引入负相位,增大可以减小该负相位对相位裕度得影响,但就是也会降低各频段得增益,使系统快速性变差。“曲线偏离回复慢”表明过渡过程得后半段变化缓慢,反映出系统低频段增益过低;此时,若不方便减小,可考虑减小,以达到仅提高低频段增益而尽量不影响其她频段得效果。“曲线波动周期长”表明相位裕度与截止频率均过低,故而存在低频振荡;此时若单纯调整,则难以同时兼顾相位裕度与截止频率;为此,可联动增大减小,不改变中频段增益,达到提高相位裕度但不降低截止频率得作用。
3） 若校正前系统截止频率大于,则增大微分时间将可能使变大,且提高超前相角。若被校正对象相频特性在附近下降缓慢,则增大微分时间可同时改善系统平稳性与快速性,但若相频特性在附近下降很快,则增大微分时间可能极大地降低系统平稳性。“曲线振荡频率快”表明响应不够平稳,且截止频率较大,很可能落于被校正对象相频特性迅速下降得频段,因此,应减小,降低截止频率,间接改善平稳性。“动差大来波动慢”表明响应过于缓慢且在振荡,截止频率较低;此时若改变作用不明显,则可增大,同时改善平稳性与快速性。

习题7-17图解(b) 串联PID对数频率特性
7-18 试借助MATLAB重新对习题7-16得系统设计滞后-超前校正装置。
解:
① 计算期望性能指标:
按要求(1),斜坡输入下稳态误差为。按要求(2),期望相位裕度。按要求(4),将校正后系统近似为典型二阶系统,按图6-61或式(6-37),时,阶跃响应调节时间与校正后期望截止频率近似满足,故取。
② 初定校正方案
取。校正前系统频率特性如习题7-18图解(a)所示;其截止频率,相位裕度(按渐近特性计算为,)。易知校正前系统不满足相位裕度要求,且若单纯采用超前校正,则需要补偿得相位超过,物理上难以实现且容易放大高频噪声。若单纯采用滞后校正,则根据习题7-16图解,校正后系统截止频率须小于,不满足快速性要求。因此,初定采用滞后-超前校正,利用超前部分补偿相角,同时降低截止频率,间接增大相位裕度。
根据习题7-18图解(a),处校正前系统相位约为,故超前部分仍需要提供约得超前相角,考虑一定得裕度,可令。

习题7-18图解(a)校正前系统频率特性
③ 确定超前部分校正参数
根据图7-7,可选。令其相位峰值处频率为,则根据式(7-3)易知,超前部分转折频率,,故超前部分传递函数为。加入串联超前校正部分后,系统频率特性如习题7-18图解(b)所示。

习题7-18图解(b)超前校正后系统频率特性
④ 确定滞后部分校正参数
超前校正后系统频率特性在处幅频特性约为,令,故选。初选滞后部分转折频率为,,故滞后部分传递函数为。
⑤ 检验校正方案
计算得实际,,幅值裕度满足要求。

习题7-18图解(c)滞后-超前校正后系统频率特性
7-19 试借助MATLAB,采用根轨迹法对习题7-13所述系统设计滞后-超前校正环节。
7-20 某单位反馈温度控制系统得开环传递函数为

试借助MATLAB采用PID参数整定法设计PID控制规律。
解:
① 利用MATLAB绘制阶跃响应曲线,如习题7-20图解(a)所示。

习题7-20图解(a)被校正对象单位阶跃响应
② 由图可近似得到一阶延迟系统得参数分别为:,,;。根据表7-2,可采用
PI控制:,。
PID控制:,,。
③ 系统闭环传递函数及其阶跃响应如习题7-20图解(b)所示。

习题7-20图解(b)校正后系统单位阶跃响应(虚线部分对应PI控制)
7-21 试参考7、7节所介绍程序,在MATLAB中仿真检验例7-5与例7-6校正后系统就是否满足预定得时域性能指标要求。
解:满足。
第8章习题及详解
8-1 试举一个生活中得例子说明数字控制系统得工作原理,并绘制系统功能方块图。
解:参考第8、1节。
8-2 设采样周期为,试绘出图8-49中信号与得大致形状。

图8-49 习题8-2图
解:

习题8-2图解
8-3 试分析下述与采样相关得问题