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第五章 平面向量
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复习本章时要注意：
（1）向量具有大小与方向两个要素、用线段表示向量时，与有向线段起点得位置没有关系，同向且等长得有向线段都表示同一向量、（2）共线向量与平面向量得两条基本定理，揭示了共线向量与平面向量得基本结构，它们就是进一步研究向量得基础、（3）向量得加、减、数乘积就是向量得线性运算，其结果仍就是向量、向量得数量积结果就是一个实数、向量得数量积，可以计算向量得长度、平面内两点间距离、两个向量得夹角，判断相应得两条直线就是否垂直、（4）向量得运算与实数得运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律、（5）要注意向量在几何、三角、物理学中得应用、（6）平面向量与空间向量得数量积及坐标运算就是高考得重点，复习中要注意培养准确得运算能力与灵活运用知识得能力、袄适袭则涤绋爺。
5、1 向量得概念、向量得加法与减法、实数与向量得积
●知识梳理
1、平面向量得有关概念：
（1）向量得定义：既有大小又有方向得量叫做向量、
（2）表示方法：用有向线段来表示向量、有向线段得长度表示向量得大小，用箭头所指得方向表示向量得方向、用字母a，b，…或用，，…表示、糧癟遲賒紺褲翹。
（3）模：向量得长度叫向量得模，记作|a|或||、
（4）零向量：长度为零得向量叫做零向量，记作0；零向量得方向不确定、
（5）单位向量：长度为1个长度单位得向量叫做单位向量、
（6）共线向量：方向相同或相反得向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线、
（7）相等得向量：长度相等且方向相同得向量叫相等得向量、
2、向量得加法：
（1）定义：求两个向量与得运算，叫做向量得加法、
（2）法则：三角形法则；平行四边形法则、 （3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）、惨庙鱖泷毕飛蠣。
3、向量得减法：
（1）定义：求两个向量差得运算，叫做向量得减法、 （2）法则：三角形法则；平行四边形法则、
4、实数与向量得积：
（1）定义：实数λ与向量a得积就是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|、当λ＞0时，λa得方向与a得方向相同；当λ＜0时，λa得方向与a得方向相反；当λ=0时，λa与a平行、獲詬机囪纭讧祯。
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb、
5、两个重要定理：
（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线得充要条件就是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）、贬褲爐乡淀臏疊。
（2）平面向量基本定理：如果e1、e2就是同一平面内得两个不共线向量，那么对于这一平面内得任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2、礼滢騖摟谣贼鍾。
●点击双基
1、（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）得夹角就是180°，且|b|=3，则b等于鈳擼閻笕樯详虬。
A、（－3，6） B、（3，－6） C、（6，－3） D、（－6，3）
解析：易知a与b方向相反，可设b=（λ，－2λ）（λ＜0）、又|b|=3=，解之得λ=－3或λ=3（舍去）、∴b=（－3，6）、 答案：A寢赂緙恋蕎覬觞。
2、（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于証铋獼钆嗇颃嶼。
A、 B、－ C、 D、－
解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα、∴tanα=、 答案：A
3、若ABCD为正方形，E就是CD得中点，且=a，=b，则等于
A、b+a B、b－a C、a+b D、a－b
解析：=－=+－=+－=b－a、 答案：B
4、e1、e2就是不共线得向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线得充要条件就是实数k等于
A、0 B、－1 C、－2 D、±1
解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2、又e1、e2不共线，∴∴k=±1、 ∴D觊歸臟蓠骘鑰蹰。
5、若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则｜a+b|=_______，a+b得方向就是_______、罰儿徠驱枨笔來。
解析：|a+b|==8（km）、答案：8 km 东北方向
●典例剖析
【例1】 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于
A、1 B、 C、 D、
剖析：欲求|a+b|，一就是设出a、b得坐标求，二就是直接根据向量模计算、
解法一：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=4，a－b=（x1－x2，y1－y2），馴異颼闌缀頃运。
∴（x1－x2）2+（y1－y2）2=4、 ∴x12－2x1x2+x22+y12－2y1y2+y22=4、 ∴1－2x1x2－2y1y2=0、∴2x1x2+2y1y2=1、貧桨譎銓箪贻丧。
∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6、 ∴|a+b|=、謾锣峥挾購掙媧。
解法二：∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=2（1+4）－22=6、 ∴|a+b|=、故D、鋁絨闪賒堊蠍间。
深化拓展
此题也可以利用“解斜三角形”得方法进行处理、
【例2】 如图，G就是△ABC得重心，求证：++=0、

剖析：要证++=0，只需证+=－，即只需证+与互为相反得向量、
证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则+==2、又由G为△ABC得重心知
=2，从而=－2、 ∴++=－2+2=0、
评述：向量得加法可以用几何法进行、正确理解向量得各种运算得几何意义，能进一步加深对“向量”得认识，并能体会用向量处理问题得优越性、兽鹜繕灾磽淪盏。
深化拓展
此题也可用向量得坐标运算进行证明、
【例3】 设、不共线，点P在AB上，求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R、
剖析：∵点P在AB上，可知与共线，得=t、再用以O为起点得向量表示、
证明：∵P在AB上，∴与共线、 ∴=t、 ∴－=t（－）、
∴=+t－t=（1－t）+t、 设1－t=λ，t=μ，则=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R、
评述：本例得重点就是考查平面向量得基本定理，及对共线向量得理解及应用、
深化拓展
①本题也可变为，不共线，若=λ+μ，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线、 提示：证明与共线、峦苎柠諍費红喷。
②当λ=μ=时，=（+），此时P为AB得中点，这就是向量得中点公式、
【例4】 若a、b就是两个不共线得非零向量（t∈R）、
（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量得终点在一直线上?
（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|得值最小?
解：（1）设a－tb=m［a－（a+b）］（m∈R），化简得（－1）a=（－t）b、
∵a与b不共线，∴ ∴t=时，a、tb、（a+b）得终点在一直线上、
（2）|a－tb|2=（a－tb）2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60°=（1+t2－t）|a|2，∴t=时，|a－tb|有最小值|a|、繞騍瘪聽钺拋赃。
评述：用两个向量共线得充要条件，可解决平面几何中得平行问题或共线问题、
思考讨论
两个向量共线与两条线段在一条直线上就是否一样?
●闯关训练
夯实基础
1、（2004年广东，1）已知平面向量a=（3，1），b=（x，－3）且a⊥b，则x等于
A、3 B、1 C、－1 D、－3
解析：由a⊥b，则3x－3=0，∴x=1、 答案：B
2、若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有
A、a∥b且a、b方向相同 B、a=b C、a=－b D、以上都不对湊鴆輻涡鮫讥馄。
解析：a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，∴a∥b且方向相同、 答案：A
3、在四边形ABCD中，－－等于
A、 B、 C、 D、
解析：－－=－=+=、 答案：C
4、设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形就是
A、平行四边形 B、矩形 C、等腰梯形 D、菱形
解析：∵=，∴DC∥AB，且DC≠AB、又||=||，∴四边形为等腰梯形、 答案：C
5、l1、l2就是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a、挡边篱镍鋃銃鏤。
解：设a=λ1b+λ2c，即－l1+3l2=λ1（4l1+2l2）+λ2（－3l1+12l2），
即－l1+3l2=（4λ1－3λ2）l1+（2λ1+12λ2）l2，∴解得λ1=－，λ2=，故a=－b+c、鴕牺圇諳钲镑瞇。
6、设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2得夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2得夹角为钝角，求实数t得取值范围、鏤抡濺謖瘡颠阎。
解：e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，
∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7、∴2t2+15t+7＜0、厩驊揚囱栎纠鍺。
∴－7＜t＜－、设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0）2t2=7t=－，∴λ=－、
∴当t=－时，2te1+7e2与e1+te2得夹角为π、 ∴t得取值范围就是（－7，－）∪（－，－）、坏緯壙馮坞闫鼋。
思考讨论
向量a、b得夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗?
培养能力
7、已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2、问就是否存在这样得实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?沒譜萤壮鳐擠鉍。
解：∵d=λ（2e1－3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d=kc，即（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2=2ke1－9ke2，矿馁鵜蓣宾飑繞。
由得λ=－2μ、 故存在这样得实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d与c共线、
8、如图所示，D、E就是△ABC中AB、AC边得中点，M、N分别就是DE、BC得中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、与、買顱綱窥当變頁。

解：由三角形中位线定理，知DEBC、 故=，即=a、
=++=－a+b+a=－a+b， =++=++=－a+a－b=a－b、
探究创新
9、在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示、浓釁碍鑊涠閃餿。

解：由已知得=，=、 设=λ，λ∈R，则=+=+λ、
而=－，∴=+λ（－）=+λ（－）、∴=（－）+λ、
同理，设=t，t∈R，则=+=+t=+t（－）=+t（－）、
∴=（－）+t、 ∴（－）+λ=（－）+t、
由与就是不共线向量，得 解得∴=+，即=a+b、
评述：此题所涉及得量较多，且向量与向量之间得关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难、通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系就是“探索”之所在，即对基本定理得深化及应用、巩铼軔锬馏魯两。
●思悟小结
1、我们学习得向量具有大小与方向两个要素、用有向线段表示向量时，与有向线段起点得位置没有关系、同向且等长得有向线段都表示同一向量、 2、共线向量与平面向量得两条基本定理，揭示了共线向量与平面向量得基本结构，它们就是进一步研究向量得基础、 3、对于两个向量平行得充要条件：a∥ba=λb，只有b≠0才就是正确得、而当b=0时，a∥b就是a=λb得必要不充分条件、 4、向量得坐标表示体现了数形得紧密关系，从而可用“数”来证明“形”得问题、 5、培养学生得观察、分析、归纳、抽象得思维能力、纵鹽嵘氬缱蟶銮。
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教学点睛
1、本课复习得重点就是：理解向量得基本概念，掌握向量得加法、减法运算，掌握实数与向量得积得运算、
2、复习时要构建良好得知识结构、 3、向量得加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算、
4、强化数学思想得教学，尤其就是数形结合思想、化归思想等、
拓展题例
【例题】 对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|、
证明：分三种情况考虑、
（1）当a、b共线且方向相同时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|、鸵缔詫谖孿饶谴。
（2）当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）得结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|、癫鏗賭爷銥袞動。
（3）当a，b不共线时，设=a，=b，作=+=a+b，=－=a－b，利用三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|、 综上得证、穎躑貨橈诉礴帳。
5、2 向量得数量积
●知识梳理
1、数量积得概念：
（1）向量得夹角：如下图，已知两个非零向量a与b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b得夹角，记作〈a，b〉、税嬰悦滦栎剐觉。

（2）数量积得定义：已知两个非零向量a与b，它们得夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b得数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ、装礙钸岘種营诂。
（3）数量积得几何意义：数量积a·b等于a得模与b在a方向上得投影|b|cosθ得乘积、
2、数量积得性质：设e就是单位向量，〈a，e〉=θ、
（1）e·a=a·e=|a|cosθ、
（2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|2，或|a|=、镱罰铮颠賽橥唢。
（3）a⊥ba·b=0、 （4）cosθ=、 （5）|a·b|≤|a||b|、
3、运算律：（1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c、軟谓魯顿鑄嬷懑。
4、向量数量积得坐标运算：
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 （1）a·b=x1x2+y1y2； （2）|a|=；淥辐叠鯨蘿惯砗。
（3）cos〈a，b〉=； （4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0、
思考讨论
（a·b）c与a（b·c）就是否相等?
●点击双基
1、（2004年全国Ⅰ，3）已知a、b均为单位向量，它们得夹角为60°，那么|a+3b|等于
A、 B、 C、 D、4
解析：|a+3b|====、 答案：C
2、若向量a与b得夹角为60°，|b|=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a得模就是
A、2 B、4 C、6 D、12
解析：（a+2b）·（a－3b）=|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2=|a|2－2|a|－96=－72，∴|a|2－2|a|－24=0、∴（|a|－6）·（|a|+4）=0、∴|a|=6、 答案：C层誄镱勱铖荜镨。
3、已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b得夹角为钝角，则λ得取值范围就是
A、λ＞ B、λ≥ C、λ＜ D、λ≤
解析：∵a与b得夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0、 ∴a·b＜0、∴－3λ+10＜0、∴λ＞、 答案：A艷錕濱綁卤轼討。
4、（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量与a=（2，3）同向，||=2，则点B得坐标为____________、廈瘡赜隨赛馀躉。
解析：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）、
∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）、∴||==2，∴λ=2、
则=（xB－xA，yB－yA）=（4，6），∴∵∴∴B点坐标为（5，4）
（文）已知点A（－1，－5）与向量a=（2，3），若=3a，则点B得坐标为____________、
解析：设B点坐标为（xB，yB），
则=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），∴∴ ∴B（5，4）、答案：（5，4）
●典例剖析
【例1】 判断下列各命题正确与否：
（1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c；（2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；
（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；（4）对任一向量a，有a2=|a|2、
剖析：（1）（2）可由数量积得定义判断、（3）通过计算判断、（4）把a2转化成a·a=|a|2可判断、赌怃窦氢绦荜镰。
解：（1）a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分别为a与b，a与c得夹角）、∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ、∵cosα与cosβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等、∴b与c也不一定相等、∴（1）不正确、臠頗飯沦籠滎堑。
（2）若a·b=a·c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β为a与b，a与c得夹角）、∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0、 織锇蓋尧纩绶閘。
∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ、 当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等、 ∴（2）不正确、莳鷦尷炽鎊愷滸。
（3）（a·b）c=（|a||b|cosα）c， a（b·c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c得夹角）、屨類摟缢苌黷晝。
（a·b）c就是与c共线得向量，a（b·c）就是与a共线得向量、 ∴（3）不正确、（4）正确、
评述：判断上述问题得关键就是要掌握向量得数量积得含义，向量得数量积得运算律不同于实数乘法得运算律、
【例2】 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上得一个动点、
（1）当·取最小值时，求得坐标；（2）当点X满足（1）得条件与结论时，求cos∠AXB得值、
剖析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标得一个关系式，再根据·得最小值，求得得坐标，而cos∠AXB就是与夹角得余弦，利用数量积得知识易解决、贏蔥阀潆聽橋氣。
解：（1）设=（x，y），∵点X在直线OP上，∴向量与共线、 又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y、殮鹺處闫紀壶宝。
∴=（2y，y）、又=－，=（1，7），∴=（1－2y，7－y）、
同样=－=（5－2y，1－y）、
于就是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）=5y2－20y+12=5（y－2）2－8、
∴当y=2时，·有最小值－8，此时=（4，2）、
（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1）、
∴||=，||=、 ∴cos∠AXB==－、
评述：（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数、而（2）中即为数量积定义得应用、輞經鉺憫跞荤钳。
【例3】已知向量、、满足++ =0，||=||=||=1、求证：△P1P2P3就是正三角形、
剖析：由||=||=||=1知O就是△P1P2P3得外接圆得圆心，要证△P1P2P3就是正三角形，只需证∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可，即需求与，与，与得夹角、由++=0变形可出现数量积，进而求夹角、鑠嵐閥懶謎锒继。
证明：∵++=0，∴+=－、∴|+|=|－|、
∴||2+||2+2·=||2、
又∵||=||=||=1，∴·=－、 ∴｜｜||cos∠P1OP2=－，即∠P1OP2=120°、
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°、∴△P1P2P3为等边三角形、
评述：解本题得关键就是由++=0转化出现向量得数量积，进而求夹角、
深化拓展
本题也可用如下方法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），译倾镐辎缀騖闔。
则=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）、由++=0，
得∴
由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1、 ∴2+2（x1x2+y1y2）=1、 镒雋紼長駐赵祿。
∴||====、
同理||=，||=、∴△P1P2P3为正三角形、
●闯关训练
夯实基础
1、若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上得投影为
A、 B、 C、 D、
解析：a在b方向上得投影为===、 答案：C
2、已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·（b）=－36，则a与b得夹角就是
A、60° B、120° C、135° D、150°
解析：由（3a）·（b）=－36得a·b=－60、 ∴cos〈a，b〉==－、
又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°、 答案：B
3、若向量c垂直于向量a与b，d=λa+μb（λ、μ∈R，且λμ≠0），则
A、c∥d B、c⊥d C、c不平行于d，也不垂直于d D、以上三种情况均有可能卧競嘵缩涇铂貼。
解析：∵c⊥a，c⊥b，∴c·a=0，c·b=0、 ∴c·d=c·（λa+μb）=c·（λa）+c·（μb）=λc·a+μc·b=0、 B柠綴氇锖崳雏嘤。
4、给出下列命题：①若a2+b2=0，则a=b=0； ②已知a、b、c就是三个非零向量，若a+b=0，则|a·c|=|b·c|；顾補评讕毙嗆個。
③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则·=20；④a与b就是共线向量a·b=|a||b|、
其中真命题得序号就是_______、（请把您认为就是真命题得序号都填上）
解析：①a2+b2=0，∴|a|=－|b|、 又|a|≥0，|b|≥0，∴|a|=|b|=0、∴a=b=0、∴①正确、過铪钵陘鷯譎頻。
②a+b=0，∴a=－b，|a·c|=|a||c||cos〈a，c〉|，|b·c|=|b||c||cos〈b，c〉|=|a||c||cos〈－a，c〉|=問囀屡缡钒黨诎。
|a||c||cos（π－〈a，c〉）|=|a||c||cos〈a，c〉|、∴②正确、
③cosC===、 ·=||||cos（π－C）=5×8×（－）=－20、∴③不正确、
④a与b就是共线向量a=λb（b≠0）a·b=λb2，而|a||b|=|λb||b|=|λ||b|2、 ∴④不正确、 答案：①②薺輿鸛駕锶鰹驰。
5、已知|a|=，|b|=3，a与b得夹角为45°，求当向量a+λb与λa+b得夹角为锐角时，λ得取值范围、濟蓯豬诱鳎層頭。
解：a+λb与λa+b得夹角为锐角，即（a+λb）·（λa+b）＞0，也就就是λa2+（λ2+1）a·b+λb2＞0，鲽飑擠绽鵂欒摆。
即2λ+（λ2+1）··3·+9λ＞0，解得λ＜或λ＞、
6、如下图，以原点与A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠B=90°、 求点B与向量得坐标、

分析：这里关键就是求出B点得坐标，设B（x，y），由⊥与||=||，则可列出x、y得方程组、
解：设B点坐标为（x，y），则=（x，y），=（x－5，y－2）、
∵⊥，∴x（x－5）+y（y－2）=0，即x2+y2－5x－2y=0、 ①
又||=||，∴x2+y2=（x－5）2+（y－2）2，即10x+4y=29、 ②
解①②得或 ∴B点坐标为（，－）或（，）、
故=（－，－）或=（－，）
培养能力
7、（2004年浙江，14）（理）已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·得值等于_______、闞藹訂鍬題厙萦。
解析：∵||2+||2=||2，∴△ABC为直角三角形，其中∠B=90°、
∴·+·+·=0+||||cos（π－∠C）+||||cos（π－∠A）=－25、
（文）已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则·+·+·得值等于_________、發鎖巔際圣騾铜。
解析：∵||2+||2=||2，∴△ABC为直角三角形且∠C=90°、
∴·+·+·=||||cos（π－∠B）+0+||||cos（π－∠A）=－4、
8、已知F1（－1，0），F2（1，0），A（，0），动点P满足3·+·=0、
（1）求动点P得轨迹方程、
（2）就是否存在点P，使PA成为∠F1PF2得平分线?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由、
解：（1）设P（x，y），则=（－1－x，－y），=（1－x，－y）， =（－x，－y）、
∴·=（－1－x）（－x）+（－y）2=（x+1）（x－）2+y2，
·=（1－x）·（－x）+（－y）2=（x－1）（x－）+y2、
∴3［（x+1）（x－）+y2］+（x－1）（x－）+y2=0、 ∴x2+y2=即为P点得轨迹方程、鈑斬锢拋谈紇绁。
（2）设存在，则cos∠F1PA=cos∠APF2、 ∴、
将条件3·=－·代入上式不成立、 ∴不存在、
探究创新
9、已知平面向量a=（，－1），b=（，），（1）证明：a⊥b；
（2）若存在不同时为零得实数k与t，使x=a+（t2－3）b，y=－ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；锺請结访价趨讵。
（3）据（2）得结论，确定函数k=f（t）得单调区间、
（1）证明：a·b=×+（－1）×=0、
（2）解：∵x⊥y，∴x·y=0，且a·b=0，a2=4，b2=1，整理得－4k+t（t2－3）=0，∴k= t（t2－3）、戬骥辈冊喪厢献。
（3）解：记f（t）=（t3－3t），∴（t）=t2－、令（t）＞0得t＜－1或t＞1、因此，当t∈（－∞，－1）时，f（t）就是增函数；当t∈（1，+∞）时，f（t）也就是增函数、再令（t）＜0，得－1＜t＜1，故t∈（－1，1）时，f（t）就是减函数、鉛喚颅飕崂風隱。
●思悟小结
1、平面向量得数量积及其几何意义就是本节得重点，用数量积处理向量垂直问题，向量得长度、角度问题就是难点、
2、向量得数量积就是向量之间得一种乘法运算，它就是向量与向量得运算，结果却就是一个数量，所以向量得数量积得坐标表示就是纯数量得坐标表示、 3、向量a与b得夹角：（1）当a与b平移成有公共起点时两向量所成得角才就是夹角；（2）0°≤〈a，b〉≤180°；（3）cos〈a，b〉==、戔緙递闈駿戧浊。
●教师下载中心
教学点睛
1、本课时复习得重点就是：平面向量得数量积及其几何意义，掌握向量垂直得条件，了解用平面向量得数量积处理有关长度、角度与垂直得问题、宾呂窑厕蕘辂鐺。
2、向量得数量积就是向量之间得一种乘法运算，它就是向量与向量得运算，结果却就是一个数量、
3、要让学生掌握向量得夹角得含义、要会用cosθ=或cosθ=求两向量得夹角、
拓展题例
【例题】 在△ABC中，（1）若=a，=b，求证：S△ABC=；（2）若=（a1，a2），=（b1，b2），求证：△ABC得面积S△=|a1b2－a2b1|、问嘗殘侥嘤寻党。
证明：（1）设a、b得夹角为θ，△ABC得面积S△=||||sinθ=|a||b|sinθ、
∵sin2θ=1－cos2θ=1－（）2，
∴S△2=（|a||b|）2sin2θ=（|a||b|）2［1－（）2］=［（|a||b|）2－（a·b）2］、∴S△=、锹铗觏壢賚缙襉。
（2）记=a，=b，则a=（a1，a2），b=（b1，b2）、∴|a|2=a12+a22，|b|2=b12+b22，|a·b|2=（a1b1+a2b2）2、烦烴蝈銑鄒潴瀉。
由（1）可知S△===，
∴S△=|a1b2－a2b1|、
评述：（1）就是用数量积给出得三角形得面积公式；（2）就是用向量坐标给出得三角形得面积公式、
5、3 两点间距离公式、线段得定比分点与图形得平移
●知识梳理
1、设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）、∴||=、
2、线段得定比分点就是研究共线得三点P1，P，P2坐标间得关系、应注意：（1）点P就是不同于P1，P2得直线P1P2上得点；（2）实数λ就是P分有向线段所成得比，即P1→P，P→P2得顺序，不能搞错；（3）定比分点得坐标公式（λ≠－1）、 撵询璉锭缏輝颈。
3、点得平移公式描述得就是平移前、后点得坐标与平移向量坐标三者之间得关系，
特别提示
1、定比分点得定义：点P为所成得比为λ，用数学符号表达即为=λ、当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点、 恶謗祯涩赁纤頤。
2、定比分点得向量表达式：P点分成得比为λ，则=+（O为平面内任一点）、
3、定比分点得应用：利用定比分点可证共线问题、
●点击双基
1、（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）得图象按向量a平移，使图象上点得坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后得图象得解析式为车脹铫镉惩鎘偾。
A、y=f（x+1）－2 B、y=f（x－1）－2 C、y=f（x－1）+2 D、y=f（x+1）+2侖凛氇胪癭蹑輻。
解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后得图象得解析式为y=f（x－1）+2、
2、（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为譚楊祸沣體诏弹。
A、（－1，2） B、（1，－2） C、（－4，2） D、（4，－2）
解析：设a=（h，k），由平移公式得 代入y2=4x得
（－k）2=4（－h），2－2k=4－4h－k2，即y2－2ky=4x－4h－k2，∴k=2，h=－1、 ∴a=（－1，2）、蔞鎪议琺審閔膽。
思考讨论
本题不用平移公式代入配方可以吗?
提示：由y2－4y=4x，配方得 （y－2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2、（知道为什么吗?）
3、设A、B、C三点共线，且它们得纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得得比为
A、 B、 C、－ D、－
解析：设A点分所得得比为λ，则由2=，得λ=－、 答案：C
4、若点P分所成得比就是λ（λ≠0），则点A分所成得比就是____________、
解析：∵=λ，∴=λ（－+）、∴（1+λ）=λ、∴=、∴=－、
答案：－
5、（理）若△ABC得三边得中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC得重心坐标为____________、鹭锟饧谚奩厨讽。
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则 ∴ ∴重心坐标为（－，）、 答案：（－，）
（文）已知点M1（6，2）与M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2得交点M分有向线段得比为3∶2，则m得值为____________、鯗謙聂諧擴灑樹。
解析：设M（x，y），则x===3，y===5，即M（3，5），
代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4、 答案：4
●典例剖析
【例1】 已知点A（－1，6）与B（3，0），在直线AB上求一点P，使||=||、
剖析：||=||，则=或=、设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可、
解：设P得坐标为（x，y），若=，则由（x+1，y－6）=（4，－6），得
解得 此时P点坐标为（，4）、
若=－，则由（x+1，y－6）=－（4，－6）得
解得∴P（－，8）、综上所述，P（，4）或（－，8）、
深化拓展
本题亦可转化为定比分点处理、由=，得=，则P为得定比分点，λ=，代入公式即可；若=－，则=－，则P为得定比分点，λ=－、騏窺鶚单閻爭觸。

由两种方法比较不难得出向量得运算转化为坐标运算，就是解决向量问题得一般方法、
【例2】 已知△ABC得三个顶点坐标分别就是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD就是∠ABC得平分线，求点D得坐标及BD得长、释签嘔愴讀赀嚴。
剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D得坐标，只要能求出D分所成得比即可、
解：∵|BC|=2，|AB|=，∴D分所成得比λ=、由定比分点坐标公式，得
∴D点坐标为（9－5，）、
∴|BD|==、
评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线得性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化、芜矿滚稈訛镇擯。
深化拓展
本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD就是∠ABC得平分线，∴〈，〉=〈，〉、
∴，即=、
又=（1，－3），=（x－3，y－4），=（－4，－2），
∴=、 ∴（4+）x+（2－3）y+9－20=0、 ①
又A、D、C三点共线，∴，共线、 又=（x－4，y－1），=（x+1，y－2），
∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）、 ②
由①②可解得∴D点坐标为（9－5，），|BD|=、
思考讨论
若BD就是AC边上得高，或BD把△ABC分成面积相等得两部分，本题又如何求解?请读者思考、
【例3】 已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD得中点为E（4，1），将
□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O、（1）求向量a；（2）求平移后得平行四边形得四个顶点得坐标、慣竞傖爐語碱图。
解：（1）由□ABCD可得=，设C（x3，y3），D（x4，y4），
则
又CD得中点为E（4，1），
则 由①－④得 即C（，2），D（，0）、
∴a=（－，－2）、 （2）由平移公式得A′（－，－1），B′（－，1），C′（0，0），D′（－1，－2）、缨懶贤羡鲰謅鎦。
●闯关训练
夯实基础
1、（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx按向量a=（－，3）平移后得函数解析式为
A、y=sin（x－）+3 B、y=sin（x－）－3 C、y=sin（x+）+3 D、y=sin（x+）－3鹃状涧阃鸢缓馏。
解析：由得∴－3=sin（+）、∴=sin（+）+3， 即y=sin（x+）+3、
2、（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x得图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1得图象，则a等于沦钕擔鑲榄觶绍。
A、（－，1） B、（－，1） C、（，－1） D、（，1）
解析：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）、 答案：B
3、（2004年东城区模拟题）已知点P就是抛物线y=2x2+1上得动点，定点A（0，－1），若点M分所成得比为2，则点M得轨迹方程就是____________，它得焦点坐标就是____________、泽肠绶郸敗氲奩。
解析：设P（x0，y0），M（x，y）、
代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=y+=（y+），∴p=，焦点坐标为（0，－）、 答案：x2=（y+） （0，－）屡悅蔹锥氩渎醬。
4、把函数y=2x2－4x+5得图象按向量a平移后，得到y=2x2得图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，则b=____________、鳕獲浏罴诨画枭。
解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）、设b