专题：对勾函数.doc

专题：对勾函数

基本不等式与对勾函数
一、 对勾函数的图像与性质
性质：
1. 定义域：
2. 值域：
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即
4. 图像在一、三象限
当时，由基本不等式知（当且仅当取等号）， 即在x=时，取最小值
由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值
5. 单调性：增区间为（），（） 减区间是（0，），（,0）
一、 对勾函数的变形形式
类型一：函数的图像与性质
此函数与对勾函数关于原点对称，故函数图像为

性质：

类型二：斜勾函数
①作图如下
性质：

②作图如下：

类型三：函数
此类函数可变形为，则可由对勾函数上下平移得到
例1作函数的草图
解：作图如下：

类型四：函数
此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到
例2作函数的草图
解：作图如下：

例3作函数的作图：
解：

练习： 1.求函数在上的最低点坐标

2. 求函数的单调区间及对称中心

类型五：函数
此类函数定义域为，且可变形为
a.若，则的单调性和对勾函数的单调性相反，图像如下：

性质：
1．定义域：
2. 值域：
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即
4. 图像在一、三象限
当时，由基本不等式知（当且仅当取等号），
即在时，取最大值
由奇函数性质知：
当x<0时，在x=时，取最小值
5. 单调性：减区间为（），（）
增区间是
例4作函数的草图
解：

b. 若，作出函数图像：
例5作函数的草图

类型六：函数
此类函数可变形为，
则可由对勾函数左右平移，上下平移得到
例6说明函数由对勾函数如何变换而来
解：
故 此函数可由对勾函数向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.草图如下：

练习：1.已知 ，求函数的最小值

2.已知 ，求函数的最大值

类型七：函数
例7求函数在区间上的最大值
解：当时，
当时，

问：若区间改为则的最大值为

练习：1.求函数在区间上的最大值

类型八：函数
此类函数可变形为标准形式：
例8求函数的最小值
解：

练习： 1．求函数的值域

2.求函数的值域

类型九：函数
此类函数可变形为标准形式：
例9求函数的最小值
解：

练习：1. 求函数的值域

例10已知的最小值。
解：
令t=(),则
当即时，
当即时，
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