专题七-函数、导数与零点、恒成立问题.doc

专题七-函数、导数与零点、恒成立问题

专题 函数、导数与零点、恒成立问题
函数、导数与零点问题
例1、 已知函数是实数集R上的奇函数，函数是区间[一1，1]上的减函数．
(I)求a的值；
(II) 若在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围．
(Ⅲ) 讨论关于x的方程的根的个数。

变式1、若问是否存在实数m，使得y= f（x）=的图象与
y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

变式2、已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

例2、已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

变式3．奇函数的图象E过点两点.
（1）求的表达式；
（2）求的单调区间；
（3）若方程有三个不同的实根，求m的取值范围.

例3．已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
（I）求的解析式；
（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

变式4．已知函数的一个极值点.
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围.

例4．已知函数
（Ⅰ）若，求的极大值；
（Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.

变式5、
已知两个二次函数：与，
函数y＝g（x）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为
（1）试证：在（－1，1）上是单调函数
（2）当>1时，设，是方程的两实根，且，试判断，，，的大小关系

变式6． 设函数其中
（1）求函数的最值；
（2）判断，当时，函数在区间内是否存在零点。

函数、导数与零点问题答案
例1、 解：（I）是奇函数，
则恒成立.

（II）又在[－1，1]上单调递减，

令
则

.
（III）由（I）知
令，
，
当上为增函数；
上为减函数，
当时，
而，
、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解.
②当时，方程有一个根.
③当时，方程有两个根.
变式1、令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数
当x∈（3，+∞）时，是增函数
当x=1或x=3时，
∴

又因为当x→0时，
当
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即
∴m=7或
∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。
变式2、解：（I）
当即时，在上单调递增，

当即时，
当时，在上单调递减，
综上，
（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数
的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当时，是增函数；
当时，是减函数；
当时，是增函数；
当或时，

当充分接近0时，当充分大时，
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
　　即
所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为
例2．解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x.
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为
，
整理得.
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根.
设g(x0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
，解得－3<m<－2.
故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2
变式3．解：（1）为奇函数

∴
∵图象过点、

（2）

的增区间是，减区间是（－1，1）
（3）
为使方程有三个不等根，则

的取值范围是（－2，2）
例3、解：（I）是二次函数，且的解集是
可设
在区间上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。

方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，
所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
变式4．解：（Ⅰ）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由
由
∴函数的单调递增区间为
函数的单调递减区间为[1，3]
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数在单调递增
函数在[1，3]单调递减
函数在[3，+单调递增
当x=1或x=3时，

∴要使的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只须

即
例4．解：（Ⅰ）定义域为

令 由
由
即上单调递增，在上单调递减
时，F(x)取得极大值
（Ⅱ）的定义域为(0+∞)
由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+∞)内恒成立
令，则 由
∵当时为增函数
当时 为减函数
∴当x = e时，H(x)取最大值
故只需恒成立，
又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性

变式5．（1）∵的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为，则方程有两个不同的实数根，即有
∴，∴有或，∴或
即或
于是二次函数图像的对称轴在（－1，1）的左侧或右侧，故 在（－1，1）上是单调函数
（2）∵是方程的两个实根
故有
∴，
又

∵当时，的图像开口向上，与轴的两相交点为13分
而点，在x轴下方，
∴有
变式6．解：（1）在上连续，
令，得。
当时，
当时，。①
所以，当时，取极小值也是最小值。

由①知无最大值。
（2）函数在上连续。
而
令
则
在上递增。
由得，即，
又

根据定理，可判断函数在区间上存在零点。

恒成立问题
1．（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A）　　　（B）
（C）　　　　　（D）
【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b<0时不成立。
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件
如果
如果a,b是正数，那么
2．(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则≥≥9，∴ ≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．
3．(上海卷)三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．
解：由＋25＋|－5|≥，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，，等号当且仅当时成立；故；
4.（江西卷）若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，〕成立，则a的取值范围是（ ）
A．0 B. –2 C.- D.-3
解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝
若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，
应有f（）³0Þ－£a£－1
若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝恒成立，故－1£a£0
综上，有－£a故选C
5．（全国II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　　
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．

31