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专题七-函数、导数与零点、恒成立问题专题 函数、导数与零点、恒成立问题函数、导数与零点问题 例1、 已知函数是实数集R上的奇函数，函数是区间一1，1上的减函数 (I)求a的值； (II) 若在x一1，1上恒成立，求t的取值范围 () 讨论关于x的方程的根的个数。变式1、若问是否存在实数m，使得y= f（x）=的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.变式2、已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。例2、已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.变式3奇函数的图象E过点两点. （1）求的表达式； （2）求的单调区间； （3）若方程有三个不同的实根，求m的取值范围.例3已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。变式4已知函数的一个极值点. （）求a； （）求函数的单调区间； （）若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围.例4已知函数 （）若，求的极大值； （）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.变式5、已知两个二次函数：与，函数yg（x）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为（1）试证：在（1，1）上是单调函数（2）当1时，设，是方程的两实根，且，试判断，的大小关系变式6 设函数其中 （1）求函数的最值； （2）判断，当时，函数在区间内是否存在零点。函数、导数与零点问题答案 例1、解：（I）是奇函数，则恒成立. （II）又在1，1上单调递减，令则. （III）由（I）知令，当上为增函数；上为减函数，当时，而，、在同一坐标系的大致图象如图所示，当时，方程无解. 当时，方程有一个根. 当时，方程有两个根.变式1、令因为x0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点当x（0，1）时，是增函数；当x（1，3）时，是减函数当x（3，+）时，是增函数当x=1或x=3时，又因为当x0时，当所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须即m=7或当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。变式2、解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 例2解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=2对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=4 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2变式3解：（1）为奇函数图象过点、（2）的增区间是，减区间是（1，1）（3）为使方程有三个不等根，则的取值范围是（2，2）例3、解：（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。变式4解：（） （）由（）知由由函数的单调递增区间为函数的单调递减区间为1，3 （）由（）可知函数在单调递增函数在1，3单调递减函数在3，+单调递增当x=1或x=3时，要使的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只须即例4解：（）定义域为 令 由由 即上单调递增，在上单调递减时，F(x)取得极大值 （）的定义域为(0+) 由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+)内恒成立 令，则 由当时为增函数当时 为减函数 当x = e时，H(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性变式5（1）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为，则方程有两个不同的实数根，即有，有或，或即或于是二次函数图像的对称轴在（1，1）的左侧或右侧，故 在（1，1）上是单调函数（2）是方程的两个实根故有，又 当时，的图像开口向上，与轴的两相交点为13分而点，在x轴下方，有变式6解：（1）在上连续，令，得。当时，当时，。所以，当时，取极小值也是最小值。由知无最大值。 （2）函数在上连续。而令则在上递增。由得，即，又根据定理，可判断函数在区间上存在零点。恒成立问题1（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C）（D）【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b0恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0综上，有a故选C5（全国II）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， (i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax (ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，1 31