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七年级数学整式的乘法(教师讲义带答案)

第2章：整式的乘除与因式分解
一、基础知识
1.同底数幂的乘法：，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘方：，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘方：，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.整式的乘法：
（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)
（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
5.乘法公式：
（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.
（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.
（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。
乘法公式的几种常见的恒等变形有：
（1）．a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.
（2）．ab＝［(a+b)2－（a2+b2）］＝［(a+b)2－(a－b)2］＝.
（3）．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2.
　　（4）．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.
6.整式的除法：，（，m，n都是正整数，并且），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（1），任何不等于0的数的0次幂都等于1.
（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
8．常用的因式分解方法：
（1）提公因式法：把，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：
（1）常用公式 平 方 差：
完全平方：
（2）常见的两个二项式幂的变号规律：
①；②．（为正整数）
（3）十字相乘法
ⅰ 二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成

ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成：。
（4）分组分解法
ⅰ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
=，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
二、经典例题
第一部分 整式的乘除
【例1】例题下列运算正确的是（ ）
A. a5+a5=a10 B. a5 ·a5 = a10 C．a4·a5=a20 D．（a4）5=a9
【思路点拨】选支A是整式的加法运算，合并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4·a5=a9 ；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20．
【解析】本题应选Ｂ．
【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理．
【例2】下列运算正确的是（ ）
A.(－x)2x3 =x6 　　 B.
C． 　 D．
【思路点拨】选支A错在把指数相乘，实际应相加(－x)2∙x3=x2·x3=x5；选支B错在符号不对，负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，==；选支C中积的乘方运算出现漏乘项错误，==；选支D运算正确．
【解析】本题应选Ｄ．
【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同学们要真正理解幂的乘方法的性质，这样才不致混淆性质而运算出错．
【例3】下列运算在正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[错因透视]
对整式运算法则理解不深入才会出现错误，
，，
【例4】计算：（-2x2y）2·(-3xy)
【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算．
【解析】原式=4x4y2·(-3xy) (据积的乘方)
=[4×(-3)](x4·x)(y2·y) (据乘法交换律、结合律)
=-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)
【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用，如：
2a2b·(- 3ab2)·5abc
=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4c
【例5】（1）2xy(5xy2+3xy-1) （2）(a2-2bc)·(-2ab)2
【思路点拨】（1）小题单项式为2xy，多项式里含三项为：5xy2、3xy、-1，乘积仍为三项；(2)小题应先算(-3ab)2，再用乘法交换律后的计算方法是相同的．
【解析】（1）原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)
=10x2y3+6x2y2-2xy
（2）原式=(a2-2bc)·4a2b2
=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)
=4a4b2-8a2b3c
【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：①出现漏乘，而导致缺项；②出现符号错误；③运算顺序出错，造成计算有错．
【例6】计算：(1)(3x-2y)(2a+3b) (2)(x-y)(x2+xy+y2)
【思路点拨】第（1）题，先用x分别与2a、3b相乘，再用-2y分别与2a、3b相乘，然后把所得的积相加；第（2）题，可先用二项式（x-y）中的x分别与三项式中的各项相乘，再用-y分别与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加．
【解析】(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b
=6ax+9bx-4ay-6by
(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)· x2+(-y)·xy+(-y)·y2
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
=x3-y3
【规律总结】（1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号．
（2）乘积中有同类项，要合并同类项．
【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)
【思路点拨】仔细观察题目特点，凡两因式中相同项当作公式中的a，另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式，而有的，必须经过变形才能运用平方差公式．
【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2
=4y6-9x4
【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用．
【例8】化简： (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2
【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷．
【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2．2a．3b+(3b)2
=4a2+12ab+9b2
(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2
=4y2-4xy+x2
(3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2
【规律总结】（1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中(-x+2y) 2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧．
（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”．
【例9】计算：(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3
【思路点拨】先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算．题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．
【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3
(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2
【规律总结】像（2）这种题目，一定要计算到最后一步．
【例10】计算：(1)xn+2÷xn-2 (2) (x4)3·x4÷x16　　（3）用小数或分数表示：5.2×10-3
【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号．(2)中先乘方运算再做乘除法；（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果．
【解析】(1)xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4
(2) (x4)3·x4÷x16　　　
=x12·x4÷x16=x12+4-16 =x0=1　　
(3)5.2×10-3=5.2×=5.2×0.001=0.0052
【规律总结】这里要特别注意“am÷an=am-n (a≠0， m， n均为正整数，并且m>n)”括号内的条件．
【例11】计算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
【思路点拨】（1）中被除式的系数是1，可按照单项式相除法则计算;（2） 是混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计算．本题先进行乘方，再自左至右进行乘除法．
【解析】解：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)
=(1÷2)·(a2n+2÷an)·(b3÷b2)·c
=an+2bc
(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
=(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3)
=(18x3y5)÷(6x3y3)
=3y2
【规律总结】单项式相除，首先分清两工的系数、相同字母、被除式独有的字母，再进行运算，结合演算重述法则，使法则熟悉，并会用它们熟练进行计算．
【例12】计算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)
【思路点拨】对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
【解析】(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)
=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3)
=3x2yz-2xz+1 这一项易漏！
(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)
=［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy)
=［4xy］÷（xy）
=4
【规律总结】把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，在这个转化过程中，要注意符号问题．

第二部分：因式分解
【例1】将下列各式分解因式：
（1）_______；
（2）；
（3）_______；
（4）_______。
[答案]
（1）
（2）
（3）
（4）
[错因透视]
因式分解是中考中的热点内容，有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误：①公因式没有全部提出，如；②因式分解不彻底，如；③丢项，如；④分组不合理，导致分解错误，如，无法再分解下去。
【例2】连一连：
a2－1 (a＋1)(a－1)
a2＋6a＋9 (3a＋1)(3a－1)
a2－4a＋4 a(a－b)
9a2－1 (a＋3)2
a2－ab (a－2)2
【思路点拨】由于因式分解是整式乘法的逆运算，我们可以先运用整式乘法法则计算出第二列中各整式相乘的结果，看跟第一列中的哪个多项式相等，然后用线连接起来.
【解析】(a＋1)(a－1)＝a2－1，(3a＋1)(3a－1)＝9a2－1，a(a－b)＝a2－ab，(a＋3)2＝a2＋6a＋9，(a－2)2＝a2－4a＋4.
【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，根据题目的需要，有时多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式，有时几个多项式的积要通过整式乘法化成多项式的形式.
【例3】分解因式：（1）5x－5y＋5z （2） （3）
【思路点拨】观察上面的各个多项式，我们可以发现每个多项式的各项都含有公因式，我们可以运用提公因式的方法来做这道题目. 第（3）小题分解因式的关键是寻找公因式，本题的公因式可以看作，也可以看作
【解析】（1）原式＝5（x－y＋z）
（2）原式＝
（3）方法一：原式＝＝
=
方法二：原式＝＝
＝
【规律总结】运用提公因式分解因式时，找对公因式是关键，提公因式后的各项中不能再含有其它公因式.有些表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解．其一般原则：（1）首项一般不化成含负号的形式；（2）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变．
【例4】把下列各式因式分解：
（1） （2）
【思路点拨】此题中两项都可以表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解
【解析】（1）
=
=
（2）
=
=
=（24a + 2b）(2a + 24b)
=4(12a + b)(a + 12b)
【规律总结】第（2）小题中的（24a + 2b）(2a + 24b)，将括号内提取公因式“2”后，应把两个2相乘，而不要当成提公因式，误写成2(12a + b)(a + 12b)．
【例5】把下列各式分解因式：
（1） （2）
【思路点拨】此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式，应考虑用完全平方公式．
【解析】（1）
=
=
（2）
=
=
= （8m + 3n）2
【规律总结】第（2）小题中的2m＋n应看作一个整体，而不要利用整式乘法进行计算，否则分解比较困难，多项式各项没有公因式且是三项式，应考虑用完全平方公式．
【例6】因式分解：（1） （2）
【思路点拨】只要（1）把和，（2）把看作整体就不难套用平方差公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步，但本题中的两小题都能继续因式分解，因此要特别注意分解要彻底．
【解析】（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
==
【规律总结】因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可继续因式分解的多项式。
中考考点解读：

整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：
考点1、幂的有关运算
例1．（2014年湘西）在下列运算中，计算正确的是（　　）
（A） （B）
（C） （D）
分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.
解：根据同底数幂的乘法运算法则知，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知，所以（C）错；故选（D）.
例2.（2014年齐齐哈尔）已知，，则____________．
分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则,将指数相加化为幂相乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.
解： .
考点2、整式的乘法运算
例3．（2014年贺州）计算： = ．
分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.
解：＝＝.
考点3、乘法公式
例4. (2014年山西省)计算：
分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.
解： =
==.
例5. (2014年宁夏)已知：，，化简的结果是　　　．
分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（）与，以便求值.
解：===.
考点4、利用整式运算求代数式的值
例6．（2014年长沙）先化简，再求值：，其中．
分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用.
解：

当，时，.
考点5、整式的除法运算
例7. (2014年厦门)计算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.
解：[(2x－y)( 2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x
＝(4x2－6xy)÷2x
＝2x－3y.
考点6、定义新运算
例8.（2014年定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．
分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式可知，在本题中“”定义的是平方差运算，即用“”前边的数的平方减去 “”后边的数的平方.
解：∵ ， ∴ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．
考点7、乘法公式
例3（1）(2014年白银市) 当时，代数式的值是　　　　．
（2）(2014年十堰市) 已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.
解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵，∴.
说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.
考点8、因式分解
例4（1）(2014年本溪市) 分解因式： ．
（2）(2014年锦州市) 分解因式：a2b-2ab2+b3=____________________.
解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.
（1） x (y 2-9)= ．
（2）a2b-2ab2+b3= b(a2-2ab +b2) =b(a-b)2．
说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

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