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七年级下册数学三角形全等动点问题 初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、 考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。等边三角形中的动点问题是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。 本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。 二、 典型例题1、单动点问题 引例：已知，如图ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动. 设点P的运动时间为（s），那么t=_时，PBC是直角 三角形？2、双动点问题 引例：已知，如图ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），那么t为何值时，PBQ是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），那么 当t为何值时，DCQ是等腰三角形?变式练习：1、已知，如图ABC是边长3cm的等边三角形.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），连接PC.请探究：在点P、Q的运动过程中PCD和QCD的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形ABC，（1）动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，连接CP、AQ交于M，如果动点P、Q都以相同的速度同时出发，则AMP=_度。(2)若动点P、Q继续运动，分别沿射线AB、BC方向运动，.AMP=60的结论还成立吗？二、 实战训练1、如图，在等腰ACB中，ACBC5，AB8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DEAC，DFBC，垂足分别为E，F，则DEDF 2、如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE连接DE、DF、EF（1）求证：ADFCEF（2）试证明DFE是等腰直角三角形 3、如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中 的大小条件不变，求证：（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 4、 如图1，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当ADE绕A点旋转到图3的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由图1 图2 图3图85、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？AQCDBP6、（2009年本溪）在中，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；（2）设，如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论AEEACCDDBB图1图2AA备用图BCBC备用图7、 如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a中的ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 8、已知，如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；CENDABM图CAEMBDN图（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 9、 直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图310、 如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.附加题之等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图，中，是中点，与交于，与 交于求证：，2. 两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结试判断的形状，并说明理由考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F. 如图141，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2. 在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）图1图2同类变式： 已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时 猜想AE与EF满足的数量关系是 . 连结点E与边得中点，猜想和满足的数量关系是.请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？E四、课后反馈教学进度： 学生掌握情况： 存在问题及改进措施：