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专题二-数列-极限-数学归纳法

自学专题二 函数 不等式 数列 极限数学归纳法

一 能力培养
1,归纳猜想证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力
二 问题探讨
问题1数列{}满足,,().
(I)则{}的通项公式= ;
(II)则的最小值为 ;
(III)设函数是与的最大者,则的最小值为 .

问题2已知定义在R上的函数和数列{}满足下列条件:
, (=2,3,4,),,
=(=2,3,4,),其中为常数,为非零常数.
(I)令(),证明数列是等比数列;
(II)求数列{}的通项公式; (III)当时,求.

问题3已知两点M,N,且点P使,,成公差小
于零的等差数列.
(I)点P的轨迹是什么曲线? (II)若点P坐标为,记为与的夹角,求.

三 习题探讨
选择题
1数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是
A, B, C, D,
2等差数列,的前项和分别为,,若,则=
A, B, C, D,
3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是
A, B, C, D,
4在等差数列中,,第10项开始比1大,记,则的取值范围是
A, B, C, D,
5设A,B,C是椭圆)上三个点,F为焦点,
若成等差数列,则有
A, B, C, D,
6在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为
第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是
A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对
填空
7等差数列前()项和,且前6项和为36,后6项和为180,则 .
8,则 .
9在等比数列中,,则的取值范围是 .
10一个数列,当为奇数时,;当为偶数时,.则这个数列的前
项之和 .
11等差数列中,是它的前项和且,,则①此数列的公差,
②,③是各项中最大的一项,④一定是中的最大项,其中正确的是 .
解答题
12已知,且组成等差数列(为正偶数).
又,,(I)求数列的通项;(II)试比较与3的大小,并说明理由.

13已知函数是偶函数,是奇函数,正数数列满足
,.
(I)若前项的和为,则= ;
(II)若,求中的项的最大值和最小值.

14设函数的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数,,都有
,且存在,使得,数列中,,,
求证:对于任意的自然数,有: (I); (II).

参考答案:
问题1解:(I),得=
当时,=,有,即.
于是=.又,得=.
由于也适合该式,故=.
(II)==
所以当或50时,有最小值.
(III)因是与的最大者,有,
有==1.
问题2(I)证明:由,得.
由数学归纳法可证().
而,当时,
因此,数列是一个公比为的等比数列.
(II)解:由(I)知,
当时,
当时,()
而,有
当时,= ;当时,=.
以上两式对时也成立,于是
当时,=
当时,=.
(III)解:当时,.
问题3解:(I)设点P(),由M,N得
,,
有,,.
于是,,成公差小于零的等差数列等价于
,即
所以点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆C.
(II)设P(),则由点P在半圆C上知,
又==,
得, 又,,有,
,,由此得.
习题解答:
1由,恒成立,有,得,选D.
2,选B.
3设三边长分别为,且
①当时,由,得;
②当时,由,得,于是得,选D.
4由,且,而,
又,于是,选D.
5由椭圆第2定义得,选A.
6由条件得,有,.
得,于是为锐角三角形,选B.
7由,有
,即=216,得=36,
又,解得.
8,得.
9由条件知,公比满足,且,当时,;
当时,.于是的取值范围是.
10当为奇数时,相邻两项为与,由得
=10,且.所以中的奇数项构成以为首项,公差的等差数列.
当为偶数时,相邻两项为与,由= ,得,且
所以中的偶数项构成以为首项,公比的等比数列.
由此得.
11由,得,有;;是中的最大值,选①②④.
12解:(I)由=,再依题意有=,即①
又,为正偶数)得,代入①有.
(II),

得
于是.
13解: (I)可得,,由已知,得
,而,有,于是.
(II),
由知的最大值为,最小值为.
14证明:用数学归纳法
(I)当时,命题成立.
假设当()时,成立,那么当时,由,
得,又,有,
而,得,
于是,即,又,
有,即,于是当时,命题也成立.
综上所述,对任意的,.
(II)由,得,
又,得,
又,得,即,
有,而,得,
故.由明

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