(真题)2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷).pdf

20192019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（年甘肃省兰州市中考数学试卷（A A 卷）卷）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4848 分分.1（4 分）2019 的相反数是（）AB2019C2019D2（4 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，ab，180，则2（）A1303（4 分）计算：AB120（）B2C3D4C110D1004（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）ABC2D5（4 分）x1 是关于 x 的一元二次方程 x+ax+2b0 的解，则 2a+4b（）A2B3C1D66（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若A40，则C（）A1107（4 分）化简：Aa1B120（）CD（）DC135D140Ba+18（4 分）已知ABCABC，AB8，AB6，则A2BC39（4 分）九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为（）ACBD10（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将四边形 ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形 A1B1C1D1，已知A（3，5），B（4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（1，4）2D（4，1）11（4 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y（x+1）+2 上，则下列结论正确的是（）A2y1y212（4 分）如图，边长为B2y2y1Cy1y22Dy2y12的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD上的点E 处，折痕DF交 AC于点M，则OM（）ABC1D1二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分.13（4 分）因式分解：a+2a+a14（4 分）在ABC 中，ABAC，A40，则B15（4 分）如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 y（k0）的图象上，S6，则 k矩形OABC3216（4 分）如图，矩形 ABCD，BAC60，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB，AC 于点 M，N 两点，再分别以点M，N 为圆心，以大于 MN 的长作半径作弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE1，则矩形 ABCD 的面积等于三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 1212 小题，共小题，共 8686 分分.17（5 分）计算：|2|（+1）+（2）tan450218（5 分）化简：a（12a）+2（a+1）（a1）19（5 分）解不等式组：20（6 分）如图，ABDE，BFEC，BE，求证：ACDF21（6 分）2019 年 5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率22（7 分）如图，AC8，分别以A、C 为圆心，以长度5 为半径作弧，两条弧分别相交于点 B 和 D依次连接 A、B、C、D，连接 BD 交 AC 于点 O（1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由；（2）求 BD 的长23（7 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y（k0）的图象经过等边三角形 BOC 的顶点 B，OC2，点 A 在反比例函数图象上，连接AC，OA（1）求反比例函数 y（k0）的表达式；（2）若四边形 ACBO 的面积是 3，求点 A 的坐标24（7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1 班和 2班本门课程的期末成绩进行了调查分析小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段班级八年级 1 班分析数据：表二统计量班级八年级 1 班788536105.28平均数中位数众数极差方差7510360 x7070 x8080 x9090 x100小丽用同样的方法对八年级2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量班级八年级 2 班75767344146.80平均数中位数众数极差方差根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级 1 班学生的成绩在 80 x90 这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由25（7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图 1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内方案设计：如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬 CD数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 DA与遮阳蓬 CD 的夹角ADC 最大（ADC77.44）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 DB 与遮阳蓬 CD 的夹角BDC 最小（BDC30.56）窗户的高度 AB2m问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长（结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.560.51，cos30.560.86，tan30.560.59，sin77.440.98，cos77.440.22，tan77.444.49）26（9 分）如图，在ABC 中，ABAC6cm，BC8cm，点 D 为 BC 的中点，BEDE，将BDE 绕点 D 顺时针旋转 度（083），角的两边分别交直线 AB 于 M、N 两点，设 B、M 两点间的距离为 xcm，M，N 两点间的距离为 ycm小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小涛的探究过程，请补充完整（1）列表：下表的已知数据是B，M 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值：x/m00.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50y/m2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.153.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.103.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数 y 关于 x 的图象（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：（4）解决问题：当 MN2BM 时，BM 的长度大约是cm（保留两位小数）27（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB90，将斜边AB 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AD，过点D作 DEAC 于点 E，可以推理得到ABCDAE，进而得到 ACDE，BCAE我们把这个数学模型成为“K 型”推理过程如下：【模型应用】如图，在RtABC 内接于O，ACB90，BC2，将斜边AB 绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到 AD，过点 D 作 DEAC 于点 E，DAEABC，DE1，连接 DO 交O于点 F（1）求证：AD 是O 的切线；（2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB求证：FG GOGB28（12 分）二次函数 yax+bx+2 的图象交 x 轴于点（1，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作MNx 轴交直线 BC 于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒22（1）求二次函数 yax+bx+2 的表达式；（2）连接 BD，当 t时，求DNB 的面积；（3）在直线 MN 上存在一点 P，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D 的坐标；2（4）当 t时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得AQC+OAC90，求点 Q 的坐标20192019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（年甘肃省兰州市中考数学试卷（A A 卷）卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4848 分分.1（4 分）2019 的相反数是（）AB2019C2019D【分析】根据相反数的概念求解可得【解答】解：2019 的相反数为 2019，故选：B【点评】本题主要考查相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数2（4 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，ab，180，则2（）A130B120C110D100【分析】先利用对顶角相等得到380，然后根据平行线的性质，利用1+2180可计算出2 的度数【解答】解：如图，180，380，ab，2+3180，218080100故选：D【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等3（4 分）计算：A（）B2C3D4【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得【解答】解：故选：A【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式加减运算顺序4（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）2，ABCD【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转180能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180不能与原图形重合，此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键5（4 分）x1 是关于 x 的一元二次方程 x+ax+2b0 的解，则 2a+4b（）A2B322C1D6【分析】先把 x1 代入方程 x+ax+2b0 得 a+2b1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【解答】解：把 x1 代入方程 x+ax+2b0 得 1+a+2b0，所以 a+2b1，所以 2a+4b2（a+2b）2（1）2故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解6（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若A40，则C（）2A110B120C135D140【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算C 的度数【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，C+A180，C18040140故选：D【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）7（4 分）化简：Aa1（）CDBa+1【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得【解答】解：原式a1，故选：A【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则8（4 分）已知ABCABC，AB8，AB6，则A2BC3（）D【分析】直接利用相似三角形的性质求解【解答】解：ABCABC，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比9（4 分）九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为（）ACBD【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，故选：C【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组10（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将四边形 ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形 A1B1C1D1，已知A（3，5），B（4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（1，4）D（4，1）【分析】根据 A 和 A1的坐标得出四边形 ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形 A1B1C1D1，则 B 的平移方法与 A 点相同，即可得到答案【解答】解：由 A（3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形 A1B1C1D1，B（4，3），B1的坐标为（2，1），故选：B【点评】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减11（4 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y（x+1）+2 上，则下列结论正确的是（）A2y1y2B2y2y1Cy1y22Dy2y122【分析】分别计算自变量为 1 和 2 对应的函数值，然后对各选项进行判断【解答】解：当 x1 时，y1（x+1）+2（1+1）+22；当 x2 时，y1（x+1）+2（2+1）+27；所以 2y1y2故选：A【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式222212（4 分）如图，边长为的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD上的点E 处，折痕DF交 AC于点M，则OM（）ABC1D1【分析】根据正方形的性质得到 ABADBCCD90，ODOC，求得 BDDEDC，DCBCODBOCAB2，得到 ODBOOC1，根据折叠的性质得到1，根据全等三角形的性质即可得到结论，DFCE，求得 OE【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABADBCCDBDAB2，DCBCODBOC90，ODOC，ODBOOC1，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，DEDCOE，DFCE，1，EDF+FEDECO+OEC90，ODMECO，在OEC 与OMD 中，OECOMD（ASA），OMOE故选：D【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分.13（4 分）因式分解：a+2a+aa（a+1）【分析】先提取公因式 a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式 完全平方公式：3221，a 2ab+b（ab）【解答】解：a+2a+a，a（a+2a+1），（提取公因式）a（a+1）（完全平方公式）故答案为：a（a+1）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式14（4 分）在ABC 中，ABAC，A40，则B70【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算B 的度数【解答】解：ABAC，BC，A+B+C180，B（18040）70故答案为 70【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合15（4 分）如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 y（k0）的图象上，S6，则 k6矩形OABC22232222【分析】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S|k|【解答】解：根据题意，知 S|k|6，k6，又因为反比例函数位于第一象限，k0，所以 k6，故答案为 6【点评】主要考查了反比例函数y中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义16（4 分）如图，矩形 ABCD，BAC60，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB，AC 于点 M，N 两点，再分别以点M，N 为圆心，以大于 MN 的长作半径作弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE1，则矩形 ABCD 的面积等于3【分析】根据矩形的性质得到BBAD90，求得ACB30，由作图知，AE是BAC 的平分线，得到BAECAE30，根据等腰三角形的性质得到AECE，过 E 作 EFAC 于 F，求得 EFBE1，求得 AC2CF2BC3，于是得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，BBAD90，BAC60，ACB30，由作图知，AE 是BAC 的平分线，BAECAE30，EACACE30，AECE，过 E 作 EFAC 于 F，EFBE1，AC2CF2AB，解直角三角形得到 AB，BC3，矩形 ABCD 的面积ABBC3故答案为：3【点评】本题主要考查矩形的性质，作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30角所对边等于斜边的一半三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 1212 小题，共小题，共 8686 分分.17（5 分）计算：|2|（+1）+（2）tan4502【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得【解答】解：原式21+414【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值性质、零指数幂的规定、乘方定义和三角函数值18（5 分）化简：a（12a）+2（a+1）（a1）【分析】先去括号，再注意到（a+1）（a1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可【解答】解：原式a2a+2（a 1）a2a+2a 2a2【点评】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键19（5 分）解不等式组：2222【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式得：x6，解不等式得：x2，所以，不等式组的解集为2x6【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键20（6 分）如图，ABDE，BFEC，BE，求证：ACDF【分析】要证明 ACDF，只要证明ACBDFE 即可，要证明ACBDFE，只要证明ABCDEF 即可，根据题目中的条件可以证明ABCDEF，本题得以解决【解答】证明：BFEC，BF+FCEC+FC，BCEF，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（SAS），ACBDFE，ACDF【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答21（6 分）2019 年 5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率【分析】（1）利用画树状图展示所有12 种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可【解答】解：（1）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件A 或事件 B 的概率22（7 分）如图，AC8，分别以A、C 为圆心，以长度5 为半径作弧，两条弧分别相交于点 B 和 D依次连接 A、B、C、D，连接 BD 交 AC 于点 O（1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由；（2）求 BD 的长【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD 为菱形；（2）根据菱形的性质得 OAOC4，OBOD，ACBD，然后利用勾股定理计算出OB，从而得到 BD 的长【解答】解：（1）四边形 ABCD 为菱形；由作法得 ABADCBCD5，所以四边形 ABCD 为菱形；（2）四边形 ABCD 为菱形，OAOC4，OBOD，ACBD，在 RtAOB 中，OBBD2OB63，【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等菱形）；四条边都相等的四边形是菱形也考查了菱形的性质23（7 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y（k0）的图象经过等边三角形 BOC 的顶点 B，OC2，点 A 在反比例函数图象上，连接AC，OA（1）求反比例函数 y（k0）的表达式；（2）若四边形 ACBO 的面积是 3，求点 A 的坐标【分析】（1）作 BDOC 于 D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD1，BD进而求得三角形 BOD 的面积，根据系数 k 的几何意义即可求得 k函数的表达式；（2）求得三角形 AOC 的面积，即可求得 A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A 的坐标【解答】解：（1）作 BDOC 于 D，BOC 是等边三角形，OBOC2，ODOC1，BD，从而求得反比例SOBDODBDSOBD|k|，|k|，反比例函数 y（k0）的图象在一三象限，k，反比例函数的表达式为y（2）SOBCOCBDSAOC32，；，SAOCOCyA2yA2把 y2，代入 y，求得 x，）点 A 的坐标为（，2【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式24（7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1 班和 2班本门课程的期末成绩进行了调查分析小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段班级八年级 1 班分析数据：表二统计量平均数中位数众数极差方差7510360 x7070 x8080 x9090 x100班级八年级 1 班78808536105.28小丽用同样的方法对八年级2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量班级八年级 2 班75767344146.80平均数中位数众数极差方差根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级 1 班学生的成绩在 80 x90 这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由【分析】（1）根据中位数的定义找出第13 个数，然后确定80 x90 这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1 班学生的成绩更为优异【解答】解：（1）共有 25 个数据，第 13 个数落在 80 x90 这一组中，此组最小的数为第 13 个数，所以八年级 1 班学生的成绩的中位数为80；故答案为 80；（2）八年级 1 班学生的成绩更为优异理由如下：八年级 1 班学生的成绩的平均数比2 班高，1 班的中位数比 2 班的中位数大，并且 1 班的众数为 85，比 2 班的众数大，1 班的方差比 2 班小，比较稳定【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了平均数、众数、中位数25（7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图 1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内方案设计：如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬 CD数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 DA与遮阳蓬 CD 的夹角ADC 最大（ADC77.44）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 DB 与遮阳蓬 CD 的夹角BDC 最小（BDC30.56）窗户的高度 AB2m问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长（结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.560.51，cos30.560.86，tan30.560.59，sin77.440.98，cos77.440.22，tan77.444.49）【分析】根据正切的定义分别用CD 表示出 BC、AC，根据题意列式计算即可【解答】解：在 RtDCB 中，tanBDC则 BCCDtanBDC0.59CD，在 RtDCA 中，tanADC，则 ACCDtanADC4.49CD，由题意得，ACBCAB，即 4.49CD0.59CD2，解得，CD0.5m，答：遮阳蓬 CD 的长约为 0.5m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键26（9 分）如图，在ABC 中，ABAC6cm，BC8cm，点 D 为 BC 的中点，BEDE，将BDE 绕点 D 顺时针旋转 度（083），角的两边分别交直线 AB 于 M、N 两点，设 B、M 两点间的距离为 xcm，M，N 两点间的距离为 ycm小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小涛的探究过程，请补充完整（1）列表：下表的已知数据是B，M 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值：x/m00.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50y/m2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.153请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数 y 关于 x 的图象3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.103.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87（3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：0 x1.65 时，y 随x 最大而减小，当 1.65x4.10 时，y 随 x 最大而增大（4）解决问题：当MN2BM 时，BM 的长度大约是1.33 或 4cm（保留两位小数）【分析】（1）当 xBM0 时，则 yMNBN则 yMNMDtan，即可求解；3；MD HD+EH 222，（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势；（3）MN2BM，即 y2x，在上图中作直线 y2x，即可求解【解答】解：（1）当 xBM0 时，连接 AD，则 ADBC，BDCDBC4，cosABDcos，则 sin，则 yMNBNxBM，3；在MBD 中，BD4，BM，cosBcos，tan过点 M 作 MHBD 于点 H，则 BHBMcosMD HD+EH 则 BD BM+MD，故BMD90，222222，则 EH，则 yMNMDtan（DBsin）tan故：答案为 3，；（2）描点出如下图象，（3）从图象可以看出：0 x1.65 时，y 随 x 最大而减小，当 1.65x4.10 时，y 随 x 最大而增大（数值是估值，不唯一）；（4）方法一：MN2BM，即 y2x，在上图中作直线 y2x，直线与曲线交点的横坐标1.33 和 4故答案为：1.33 或 4方法二：如图 3，DN 与 CA 的延长线交于点 H设 BMx，MN2xEN3x3，AN63xNDBH+C（外角的性质）NDBMDB+NDMMDB+NDMH+CMDBH，BCMDBDHC，CH，HAHCAC6又HANDEN33x 16x+160解得 x14，x2故答案为：1.33 或 4【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，弄懂 x、y 代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据27（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB90，将斜边AB 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AD，过点D作 DEAC 于点 E，可以推理得到ABCDAE，进而得到 ACDE，BCAE我们把这个数学模型成为“K 型”推理过程如下：【模型应用】如图，在RtABC 内接于O，ACB90，BC2，将斜边AB 绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到 AD，过点 D 作 DEAC 于点 E，DAEABC，DE1，连接 DO 交O于点 F（1）求证：AD 是O 的切线；（2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB求证：FG GOGB【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在 AB 上，AB 为O 直径，故只需证ADAB即可 由ABC+BAC90和DAEABC可证得DAE+BAC90，而 E、A、C 在同一直线上，用 180减去 90即为BAD90，得证（2）依题意画出图形，由要证的结论 FG GOGB 联想到对应边成比例，所以需证FGOBGF其中FGOBGF 为公共角，即需证FOGBFGBFG 为圆周角，所对的弧为弧 BC，故连接 OC 后有BFGBOC，问题又转化为证FOGBOC 把 DO 延长交 BC 于点 H 后，有FOGBOH，故问题转化为证BOHBOC只要 OHBC，由等腰三角形三线合一即有BOHBOC，故问题继续转化为证 DHCE联系【模型呈现】发现能证 DEAACB，得到AEBC2，ACDE1，即能求ADAB又因为O 为 AB 中点，可得到，再加上第（1）22题证得BAD90，可得DAOAED，所以ADOEAD，DOEA，得证【解答】证明：（1）O 为 RtABC 的外接圆O 为斜边 AB 中点，AB 为直径ACB90ABC+BAC90DAEABCDAE+BAC90BAD180（DAE+BAC）90ADABAD 是O 的切线（2）延长 DO 交 BC 于点 H，连接 OCDEAC 于点 EDEA90AB 绕点 A 旋转得到 ADABAD在DEA 与ACB 中DEAACB（AAS）AEBC2，ACDE1ADABO 为 AB 中点AOABDAOAED90DAOAEDADOEADDOEAOHBACB90，即 DHBCOBOCOH 平分BOC，即BOHBOCFOGBOH，BFGBOCFOGBFGFGOBGFFGOBGF2FG GOGB【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理其中第（2）题证明 DOEA 进而得到 DO 垂直 BC 是解题关键28（12 分）二次函数 yax+bx+2 的图象交 x 轴于点（1，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作MNx 轴交直线 BC 于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒2（1）求二次函数 yax+bx+2 的表达式；（2）连接 BD，当 t时，求DNB 的面积；（3）在直线 MN 上存在一点 P，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D 的坐标；（4）当 t时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得AQC+OAC90，求点 Q 的坐标【分析】（1）将点（1，0），B（4，0）代入 yax+bx+2 即可；（2）由已知分别求出M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据DNB 的面积DMB的面积MNB 的面积即可求解；（3）由已知可得 M（2t1，0），设 P（2t1，m），根据勾股定理可得 PC（2t1）2222+（m2），PB（2t5）+m，再由 PBPC，得到 m 与 t 的关系式：m4t5，1 求出 t1 或 t2，即可求 D 点坐标；2222因为 PCPB，则有（4）当 t时，M（，0），可知点 Q 在抛物线对称轴 x上；过点A 作 AC 的垂线，以 M 为圆心 AB 为直径构造圆，圆与x的交点分别为 Q1与 Q2，由AB5，可得圆半径 AM，即可求 Q 点坐标分别为（，），（，）【解答】解：（1）将点（1，0），B（4，0）代入 yax+bx+2，a，b，yx+x+2；（2）C（0，2），BC 的直线解析式为 yx+2，当 t时，AM3，AB5，MB2，M（2，0），N（2，1），D（2，3），DNB 的面积DMB 的面积MNB 的面积222；（3）BM52t，M（2t1，0），设 P（2t1，m），PC（2t1）+（m2），PB（2t5）+m，PBPC，（2t1）+（m2）（2t5）+m，m4t5，P（2t1，4t5），PCPB，1222222222222MBDMMBMNt1 或 t2，M（1，0）或 M（3，0），D（1，3）或 D（3，2）；（4）当 t时，M（，0），点 Q 在抛物线对称轴 x上，如图：过点 A 作 AC 的垂线，以 M 为圆心 AB 为直径构造圆，圆与 x的交点分别为Q1与 Q2，AB5，AM，AQ1C+OAC90，OAC+MAG90，AQ1CMAG，又AQ1CCGAMAG，Q1（，），Q1与 Q2关于 x 轴对称，Q2（，），Q 点坐标分别为（，），（，）；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键